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1、1 2005 年全国初中数学联赛试题及答案 一、选择题： (每题 7 分，共 42 分) 1、化简： 11 459+302366402 的结果是。 A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数 2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为。 A、78.5B、97.5C、90D、102 3、设 r4，a 11 rr+1 ，b 11 rr+1 ， c 1 r(r+r+1) ，则下列各式一定成立的是。 A、abc B、bcaC、cabD、cba 4、 图中的三块阴影部分由两个半径为1 的圆及其外公 切线分割而成， 如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公 共弦长是。 A
2、、 5 2 B、 6 2 C、 21 25 2 D、 21 16 2 5、已知二次函数 f(x)ax 2bxc 的图象如图所示， y 记 p|abc|2ab|，q|abc|2ab|，则。 A、pq B、pq C、pbc B 、bca C、cab D、 cba 解法 1：用特值法，取r=4，则有 a= 111 4520 ， b 2 52 5 1552 51.036 25102020 ， c 552 1521.18 42020 4(2+5) cba，选 D 解法 2：a 111 1 1 rr r r ， b 1111 1 111 rr rr r rr rrr c 1 r(r+r+1) 4 ,111
3、 111 111110 111, 111 110 111 ,:,D rrrrrrr rrrrrr rrrr rrrrrrab rrrrrrr rrrrr rrrrrrr bcabc 故 又 故综上所述选 解法 3： r 4 11 1rr 1 111111 111 ab rrrrrr c 1111 11 rrrr b r rrrr aq B 、pq C 、p0，c=0 p|a b| |2a b| ，q|a b| |2a b| 又1,2 ,20,0 2 b baababa a 从而 p|a b| |2a b| b-a+2a+b=a+2b=2b+a， q|a b| |2a b|= a b b-2a=
4、2b-a pq，选 C 6、 若 x1， x2， x3， x4， x5为互不相等的正奇数，满足 (2005 x1)(2005 x2)(2005 x3)(2005 x4)(2005 x5) 24 2，则 22222 12345 x +x +x +x +x的未位数字是。 A、1 B、3 C 、5 D、7 解：因为 x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005 x1)、(2005 x2) 、(2005 x3) 、(2005 x4) 、(2005 x5) 为互不相等的偶数 而将 24 2 分解为 5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：24 22(-2) 46(-6) 所以 (200
5、5 x1) 、(2005 x2) 、(2005 x3) 、(2005 x4) 、(2005 x5)分别等于2、(-2) 、 4、6、(-6) 所以 (2005 x1) 2(2005 x 2) 2 (2005 x3) 2 (2005 x4) 2(2005 x 5) 2 2 2(-2) 2 4 262(-6) 2 96 展开得： 222222 1234512345 5 2005 -4010 x +x +x +x +x+ x +x +x +x +x96 222222 1234512345 x +x +x +x +x =96-5 2005 +4010 x +x +x +x +x 1 mod10A ，选
6、 二、填空题 ( 共 28 分) 1、不超过100 的自然数中，将凡是3 或 5 的倍数的数相加，其和为。 解：(3 132 333) (5152 520) (151152 15 6)168310503152418 2、 22 7x +9x+13+7x5x+13=7x，则x。 y 0 1 x 5 解：分子有理化得： 22 14 =7x 7x +9x+137x5x+13 x ， x0， 2222 7x +9x+13- 7x5x+13=27x +9x+137x5x+132，即 两边平方化简得： 2 722 7x5x+13x 再平方化简得： 2124 21x8x48=0() 73 xx，解之得或舍去
7、 3、若实数x、y 满足 3333 y x =1, 3 +43 +6 3333 y x =1, 5 +45 +6 则 xy。 解法 1：假设 xya，则 ya x 33333333 2 33333333333 36343634, 643433436461 xax xa 即 33333333 2 33333333333 56545654, 645455456462 xax xa 即 22 3333333333 3333 21 5353534536 3456 a a 得： =432 解法 2：易知 33 33 3 51 46 xy t tt 、 是关于 的方程的两根 化简得： 2333333 46
8、64460txytxy 3333 3333 3546 3456432 xy xy 由韦达定理得： 4、已知锐角三角形ABC的三个内角A 、B、C满足： ABC，用 a 表示 AB，B C以 及 90 A中的最小者，则a 的最大值为。 解：min,90AB BCA ,9 0 6239 0 2 7 09 0 15 9015 75 ,60 ,45 15 ABBCA ABBCA ABC ABBCA ABC 另一方面，当时， 有满足题设条件，故 可取得最大值 6 三、解答题 ( 第 1 题 20 分，第 2、 3 题各 25 分 ) 1、a、b、c 为实数， ac0，且2a+ 3b+ 5c=0，证明：一
9、元二次方程ax 2bxc 0 有大于 3 4 而小于 1 的根。 解：设 2 fxaxbxc 393 1 41 64 1 91 21 6 16 ffabcabc abcabc 则 61 5 2 a +3 b +5 c = 0 ,b = 3 ac 2 61 5 91 21 694641 51 6 33 36315 8196256240 33 36315 81962562400 33 abcabcaaccaacc acac aa c cc 3 10 4 ff 一元二次方程ax 2bxc0 有大于 3 4 而小于 1 的根 . 2、锐角 ABC中， AB AC ，CD 、BE分别是 AB 、AC边上
10、的高， DE 与 BC的延长线于交于 T，过 D作 BC的垂线交BE于 F，过 E作 BC的垂线交CD于 G ，证明： F、G、T 三点共线。 证法 1：设过 D、E 的垂线分别交BC于 M 、N，在 Rt BEC 与 RtBDC中，由射影定理 得： CE 2CN CB，BD2BM BC 2 2 CNCE BMBD 又 RtCNG RtDCB ，RtBMF RtBEC ， , BDCE GNCN FMBM CDBE 2 2 1 GNBD BECNBD BECEBE CE FMCD CEBMCD CEBDBD CD 在 RtBEC 与 RtBDC中，由面积关系得：BE CE EN BC ，BD
11、CD DM BC TN G F M E D B C A 7 2 BE CEENTN BD CDDMTM 由(1)(2)得： ,. GNTN GNFMFGT FMTM 又，、三点共线 证法 2：设 CD 、BE相交于点H，则 H为 ABC的垂心， 记 DF、EG 、AH与 BC的交点分别为M 、 N 、R DM AR EN DFAHEG FMHRGN 由合比定理得：,. DMENGNENTN FGT FMGNFMDMTM 故、三点共线 证法 3：在 ABC中，直线DET分别交 BC 、CA 、AB于 T、E、D，由梅涅劳斯定理得： 1(1) BTCEAD TCEADB 设 CD 、BE相交于点H
12、，则 H为 ABC的垂心， AH BC DFBC 、EG BC AH DF EG ,11 CECGADHFBTCGHF EAGHDBFBTCGHFB 代入得 由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T 三点共线 . 证法 4：连结 FT交 EN于 G，易知 DFEG FMG N 为了证明F、G、T 三点共线，只需证明 DFEG FMGN 即 可 1 2 1 2 sinsin sinsin BDF BMF BD BFABESDFBDABE FMSBMBFCBEBMCBE 1 2 1 2 sinsin sinsin CEG CMG CE CGACDSEGCEACD GNSCN CGBCDCNBCD 又,
13、 BDBCCEBC BMBD CNCE sin , sin DFBCABE FMBDCBE sin 1 sin EGBCACD GNCEBCD CD AB 、BECA ， B、D、 E、C四点共圆 ABE ACD (2) R H TN G F M E D B C A H TN G F M E D B C A G TN G F M E D B C A 8 又,sinsin sinsin BDCE BCBDCBECEBCD BCDCBE (3) 将(2) (3)代入（ 1）得： DFEG FMGN ，故 F、G 、T 三点共线 . 3、设 a、b、c 为正整数，且a 2b3c4，求 c 的最小值。
14、 解：显然 c1. 由题设得： (c 2-a)(c2+a)=b3 若取 2 2 22 1 , 2 b bcab c cab 则 由大到小考察b，使 1 2 b b 为完全平方数，易知当b8 时， c 236，则 c=6，从而 a=28。下面说明c 没有比 6 更小的正整数解，列表如下： c c 4 x 3(x3c4) c 4-x3 2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343 ,512 624,617,598,561,500,409,282 ,113 显然，表中c 4-x3 的值均不是完全平方数。故c 的最小值为6 参考答案 ：一、 1、D 原式= 22 11 4(5 23)3(5 24) 11 14 75 275 2 2、C 5 2+142=221=102+112 A、 C 都是直角 3、D 4、D5、C6、A 二、1、24182、 12 7 3、xy334353634324、15 三、1、略2、略3、c 的最小值为 6。