2006高考数学试题全国II卷.pdf

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1、2006 高考数学试题全国II 卷 理科试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷至页。第 卷至页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项 ： 答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴 好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 本卷共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式 如果事件、互斥，那么 ()()()P ABP AP B 如果事件、相互独立

2、，那么 ( . )().( )P A BP A P B 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率是 ( )(1) kkn k nn P kC PP 一选择题 （1）已知集合 2 |3,|log1Mx xNxx，则MN(D) （A）（B）|03xx （C）|13xx（D）|23xx 解析 : 2 log12Nxxx x,用数轴表示可得答案D 考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集本题比较容易. （2）函数sin2 cos2yxx的最小正周期是(D) （A）2（B）4（C） 4 （D） 2 解析 : 1 sin2 cos2sin4 2 yxxx所以最小正周期

3、为 2 42 T,故选 D 考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式本题比较容易 . （3） 2 3 (1) i (A) 球的表面积公式 2 4SR 其中表示球的半径 球的体积公式 34 3 VR 其中表示球的半径 （A） 3 2 i（B） 3 2 i（C）i（D）i 解析 : 22 33333 (1)2222 ii i iii 故选 A 本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法 ),比较简单 （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的 比为 (A) （A） 3 16 （B） 9 16 （ C） 3 8 （D） 9 32 解析 :设球的半径为R, 过球的一条

4、半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一 个半径为 3 2 R的圆 ,所以 2 1 2 2 3 () 3 2 416 R S SR ,故选 A 本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等 （5）已知ABC的顶点 B、C 在椭圆 2 2 1 3 x y上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在BC 边上，则ABC的周长是( C) （A）2 3（B）6（C）4 3（ D） 12 解析 (数形结合 )由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC的 周长为 4a=4 3,所以选 C 本题主要考察数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等 （6）函数ln

5、1(0)yxx的反函数为 (B) （A） 1 () x yexR（ B） 1 () x yexR （C） 1( 1) x yex（D） 1( 1) x yex 解析 : 1 ln1(0)ln1() y yxxxyxeyR所以反函数为 1( ) x yexR故 选 B 本题主要考察反函数的求法和对数式与指数式的互化,难度中等 （7）如图， 平面平面，,ABAB与两平面、所成的角分别为 4 和 6 。 过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A、,B则:ABA B(A) （A）2 :1（ B）3 :1 （C）3: 2（D）4:3 解 析 : 连 接A BA B和, 设AB=a, 可 得AB与 平

6、 面所 成 的 角 为 4 BAB, 在 A B A B 2 2 Rt BABABa中有,同理可得AB 与平面所成的角为 6 ABA,所以 1 2 A Aa, 因此在 22211 ()() 222 Rt AA BA Baaa中,所以 1 :2 :1 2 ABA Baa,故选 A 本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的 边角关系 .有一定的难度 （8）函数( )yf x的图像与函数 2 ( )log(0)g xx x的图像关于原点对称，则( )f x的表 达式为 (D) （A） 2 1 ( )(0) log f xx x （B） 2 1 ( )(0) l

7、og () f xx x （C） 2 ( )log(0)f xx x（D） 2 ( )log ()(0)f xx x 解析(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 2 ()log(0)gxxx 2 ()log()(0)fxxx故选 D 本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单 ,但是容易把 2 1 ( )(0) log () f xx x 与 2 ( )log ()(0)f xx x搞混 ,其实 22 1 ( )log ()logf xx x （9）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线方程为 4 3 yx，则双曲线的离心率为(A) （A） 5 3 （B） 4 3

8、 （C） 5 4 （D） 3 2 解析 :双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得 22 4345 , 333 bc e aa 可得,故选 A 本题主要考察双曲线的渐近线方程和离心率公式,涉及 a,b,c 间的关系 ,比较简单 （10）若(sin)3cos2 ,fxx则(cos )fx=(C) （A）3cos2x（B）3sin2x （C）3cos2x（D）3sin2x 解析 : 22 (sin )3cos23(1 2sin)2sin2fxxxx 所以 2 ( )22f xx,因此 22 (cos )2cos2(2cos1)33cos2fxxxx故选 C 本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍

9、角公式,记忆的成分较重,难度一般 （11）设 n S是等差数列 n a的前n项和，若 3 6 1 3 S S 则 6 12 S S (A) （A） 3 10 （B） 1 3 （C） 1 8 （D） 1 9 解析 :由等差数列的求和公式可得 31 1 61 331 ,2 6153 Sad ad Sad 可得且0d 所以 61 121 615273 12669010 Sadd Sadd ,故选 A 本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 （12）函数 19 1 ( ) n f xxn的最小值为 (C) （A）190（B）171（ C）90（D）45 解析 : 19 1 ( )12319 n fx

10、xnxxxx表示数轴上一点到1,2,3 19 的距离之和 ,可知 x 在 119 最中间时f(x) 取最小值 .即 x=10 时 f(x) 有最小值90,故选 C 本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大 ,且求和符号不在高中要求范围 内,只在线性回归中简单提到过. 理科数学 第卷（非选择题，共90分） 注意事项： 本卷共 2 页， 10 小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在横线上。 （13）在 410 1 ()x x 的展开式中常数项为45（用数字作答） 解析 : 41040 5 11010 1 ()(

11、) rrrrr r TCxC x x 要求常数项 ,即 40-5r=0,可得 r=8 代入通项公式可得 82 11010 45 r TCC 本题利用二项式的通项公式(让次数为0,求出 r)就可求出答案 ,比较简单 （14）已知ABC的三个内角A、B、C 成等差数列，且1,4,ABBC则边 BC 上的中线 AD 的长为3 解析 : 由ABC的三个内角A、B、C 成等差数列可得A+C=2B 而 A+B+C=可得 3 B AD 为边 BC 上的中线可知BD=2, 由余弦定理定理可得3AD 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等 （15） 过点(1, 2)的直线l将圆 22

12、(2)4xy分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角最小时， 直线l的斜率 2 2 k 解析 (数形结合 )由图形可知点A(1, 2)在圆 22 (2)4xy的内部 , 圆心为O(2,0)要使得 劣弧所对的圆心角最小,只能是直线lOA,所以 112 22 l OA k k 本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等 （16） 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000 人，并根据所得数据画了样本的 频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从 这 10000 人中再用分层抽样方法抽出100 人作进一步调查，则在2500,3000)（元

13、）月收入 段应抽出25 人。 0.0005 30003500 0.0003 0.0004 20001500 0.0002 0.0001 400025001000 月收入（元） 频率 /组距 解析 :由直方图可得 2500,3000) （元）月收入段共有100000.00055002500人 按分层抽样应抽出 100 250025 10000 人 本题主要考察直方图和分层抽样,难度一般 三解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分分） 已知向量(sin,1),(1,cos ),. 22 ab （I）若,ab 求;（II ）求ab的最大值。 解(1)

14、. ,ab 0a bsincos0 4 22 (2).(sin1,cos1)(sin1)(cos1)ab 22 sin2sin1cos2cos12(sincos )3 2 2sin()3 4 当sin() 4 =1 时ab有最大值 ,此时 4 最大值为2 2321 本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值 3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性4.已知向量的坐标表示求模 难度中等 ,计算量不大 （18）（本小题满分分） 某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出3 箱，再从每箱中 任意出取2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有

15、0 件、 1 件、 2 件二等品， 其余为一等品。 （I）用表示抽检的6 件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望； （II）若抽检的6件产品中有2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这 批产品被用户拒绝的概率。 解(1.) 0,1,2,3 22 34 22 55 189 P( 0)= 10050 CC CC 21112 33244 2222 5555 C24 P( 1 )= C50 CC CC CCC 11122 32442 2222 5555 15 (2) 50 C CCCC P CCCC 12 42 22 55 2 (3) 50 CC P CC 所以的分布列为 0 1

16、 2 3 P 9 50 24 50 15 50 2 50 的数学期望E()= 924152 01231.2 50505050 (2)P(2)= 15217 (2)(3) 505050 PP 本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较 大 （19）（本小题满分分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，,ABBC D、E分别为 1 BB、 1 AC的中点。 （I）证明： ED 为异面直线 1 BB与 1 AC的公垂线； （II）设 1 2,AAACAB求二面角 11 AADC的大小。 提示 :1 证明与两条异面直线都垂直相交利用等腰三角形 1 C DA B A

17、 C C1 B1 A1 D E 2 连 1 AD,由 1 2,AAACAB可得ABC为等腰直角三角形,因此 1 C在平面 11 A ABB 内的射影为点 1 A所以 1 1 1 2 A DA C DA S COS S ,所以二面角 11 AADC为 3 (或60) 本题主要考察以下知识点1.异面直线的公垂线段的定义(与两条异面直线均垂直切相交) 2.直棱柱的性质(侧棱垂至于底面) 3.三角形的边的关系 4.二面角的求法(可用射影面积或者直接作出二面角) 难度对于民族地区考生较大 （20）（本小题分） 设函数( )(1)ln(1).f xxx若对所有的0,x都有( )f xax成立，求实数a的

18、取值范围。 解析 :令( )(1)ln(1)g xxxax对 g(x) 求导得( )ln(1)1g xxa 令 1 ( )01 a g xxe 当1a时,对所有的x0 都有( )0gx,所以 ( )0,g x 在 上为单调增函数 又 g(0)=0,所以对0( )(0)xg xg时有即当1( )af xax时都有所以1a成立 当a1时,对于 1 01,()0 a xegx时所以g(x)在 1 0,1 a e上是减函数 , 又g(0)=0所以对于 1 01( )(0) a xeg xg有 即 f(x)1 时( )f xax不一定成立 综上所述可知a 的取值范围是 ,1 本题主要考察了函数的导数和利

19、用导数判断函数的单调性,涉及分类讨论的数学思想 难度较大 （21）（本小题满分为分） 已知抛物线 2 4xy的焦点为F，A、B 是热线上的两动点，且(0).AFFB 过 A、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明.FM AB为定值； （II）设 ABM 的面积为S，写出( )Sf的表达式，并求S的最小值。 提示F 点的坐标为 (0,1)设 A 点的坐标为 2 1 1, 4 x xB 点的坐标为 2 2 2, 4 x x 由(0).AFFB可得 22 12 12 ,1,1 44 xx xx 因此 12 22 12 1(1) 44 xx xx 过 A 点的切线方程为 2 11 1

20、 () 42 xx yxx(1) 过 B 点的切线方程为 2 22 2 () 42 xx yxx(2) 解(1)( 2) 构成的方程组可得点M 的坐标 ,从而得到FM AB=0 即为定值 2. FMAB=0 可得FMAB三角形面积 ( ) 2 FMAB Sf 211 ,()FMAB 所以 33 111 ( )()24 222 FMAB Sf 当且仅当1时取等号 本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂 .难度很大 （22）（本小题满分分） 设数列 n a的前n项和为 n S，且方程 2 0 nn xa xa 有一根为1,1,2,

21、3,. n Sn （I）求 12 ,;a a （II）求 n a的通项公式 提示 :1 1,1,2,3,. n Sn为方程的根 ,代入方程可得 2 (1)(1)0 nnnn SaSa 将 n=1 和 n=2 代入上式可得 1 1 2 a 2 1 6 a 2. 求出 1234 ,a a a a等,可猜想 1 (1) n a n n 并用数学归纳法进行证明 本题主要考察1.一般数列的通项公式求和公式间的关系 2.方程的根的意义(根代入方程成立) 3. 数 学 归 纳 法 证 明 数 列 的 通 项 公 式 ( 也 可 以 把 1 (1 ) n a n n 分 开 为 111 , (1)1 n a n nnn 然后求和中间项均抵消只剩下首项和末项,可得 n S 难道较大 ,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现 试卷总体评价难度不算大,考察知识点不多.注重对一些基本 公式以及数形结合等数学思想的考察,选择题填空题较简单, 但解答题有一定的难度,保证学习一般的学生能拿到100 左 右的分数 ,但是得高分也比较困难.有较好的区分度 函数的周期性以及函数的连续性和极限等知识点没在试卷 的考察范围内 ,新题不多 .