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1、第 1 页 第六讲 不定方程解应用题 大家已学过简单的列方程解应用题， 一般都是未知数个数与方程的个 数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。 如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为 不定方程（组）。 小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解. 试看一些例。 例 1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内. 把三张牌洗 好后，分别发给甲、乙、丙三人. 每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、 发牌、记数. 这样反复几次后， 三人各自记录的数字和分别为13、15、23. 请问这三张牌的数字是什么？ 分析 设三张牌为 x、y、z（xyz）. 再设共发牌 n 轮（每轮
2、发 3 张）. 记作 x+yzS。 nS131523=51。 由于 n 和 S都是整数， 51317. 只有 n=3，S=17.现在转变为不定 方程： xyz 且 10xyz1 的条件下： x+yz17 求整数解。 即 x6.x 可能值为 6、7、8、9。 第一种情况， x=6yz，而 y+z=17-6=11，而此时 y+z 最多为 5+4. 所以 x6。 第二种情况， x=7yz，yz=17-7=10，只有 y=6，z=4. 但是丙三 次牌数字和为 23，而 23显然不可能表示为 7，6，4中任意三个（可 以重复的，下同）数之和。 第二种情况 x=7 亦被排除。 第三种情况， x=8yz，y
3、z17-8=9，（y，z）可能情况有（ 7， 2）；（ 6，3）；（ 5，4）。 而 13（甲三次牌数字和）不能表示为8，7，2中任意三个数之和， 23 不能表示为 8，6，3和 8，5，4中任意三个数之和，故x=8亦 被排除。 第 2 页 第四种情况， x=9yz，yz=17-9=8，观察知 y=5，z=3.（可排除 9，7，1和 9，6，2. ） 综上所述，三张牌为3、5、9。 例 2 采购员用一张 1 万元支票去购物 . 购单价 590 元的 A种物若干， 又买 单价 670 元的 B种物若干，其中 B种个数多于 A种个数，找回了几张100 元和几张 10 元的（ 10 元的不超过 9
4、张）. 如把购 A种物品和 B种物品的 个数互换，找回的100 元和 10 元的钞票张数也恰好相反 . 问购 A物几个， B物几个？ 解：设购 A种物 x 个，购 B种物为 x+y 个，并设第一次购物找回r 张 100 元，s 张 10 元，则 这是 4 个未知数， 2 个方程的不定方程组 . 解方程时，方程变形的一 些法则（方程两边同时乘或除以不为0 的数，方程不变； 方程两边同时加 或减一个数，方程不变）仍适用. 先将（ 1）（2）两边约去 10，得 由于（ 3）（4）式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8y 9r-9s=0 ， 再在方程两边同时加上9s-9r ，得： 8y9（s
5、-r ） （5） 由于 y 是大于 0 的整数，所以 s-r 也是整数 0。 因此 89（s-r ），98y。 但是 s 是 10 元钱的张数， s9，r 是 100 元钱的张数，所以 k=1，因 此 y=9，s-r=8. 显然 s=9，r=1。 代回（ 3）式：得到 x=3。 所以： x=3，x+y=3+912，r1，s=9.采购员购 A物 3 件，B物 12 件，找回 1 张 100 元，9 张 10 元。 这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。 例 3 现有 3 米长和 5 米长钢管各 6 根，安装 31 米长的管道，问怎样接用 最省料？ 解：设 3 米长用 x 根，5 米长用 y
6、 根，列成不定方程： 3x5y=31.分两种思路求解 第 3 页 答：用 3 米长的 2 根，5 米长的 5 根。 用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。 例 4 55 人去游园划船，小船每只坐4 人，大船每只坐 7 人，问要租大、 小船各多少只？ 解：列不定方程，设大船x 只，小船 y 只。 7x4y=55。 55-7x0（mod 4）； 因此 7x 55（mod 4）3（mod 4）， 但 73（mod 4），所以 x1（mod 4）， 因此 x1，或 x=5。 所以有 x=1，y=12以及 x=5，y5 两组解。 例 5 王虎用 100 元买油菜籽、 西红柿种子和萝卜籽共100
7、 包. 油菜籽每包 3 元， 西红柿种子每包4 元， 萝卜籽 1 元钱 7 包， 问他每种各买了多少包？ 解：设买油菜籽 x 包，西红柿种子 y 包，则萝卜籽（ 100-x-y ）包， 列 28y+100-x-y 700，也即 20x+27y600。 因此 y22. 由于 6000 （mod 20），所以 27y0 （mod 20）；但（27， 20）=1，所以 y0（mod 20）。 因此 y20，x=3，100-x-y 77。 答：购油菜籽 3 包，西红柿种子 20 包，萝卜籽 77 包。 例 6 100匹马驮 100 筐物品，一匹大马驮3 筐，一匹中马驮 2 筐，两匹小 马驮 1 筐.
8、问大、中、小马各多少？ 解：设大、中、小马的匹数依次为x、y、z，由题意，列不定方程为： 第 4 页 因此 y33. 由于 5|100，所以 5|3y.y 0，5，10，30. 相应地可以得 到 x 和 z. 但（3，5）=1，所以 5|y. 因此把结果列出： 以上讲了 6 个例子，解不定方程 （组）的一般思路和步骤都体现在其 中了. 这讲介绍的是最基本的整系数整式不定方程求整数解. 总之，它要调 用解方程时的常用的方程变形公共原则，又时时巧用未知数是整数这一 “约定” . 当然还有许多其他技巧 . 至于其他形式的不定方程，如x 2 y 2=25；奇质数 p， 第 5 页 习题六 1. 小明问
9、小强：“你养了几只兔和鸡？” 小强说：“我养的兔比鸡多， 鸡兔共 24 条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？” 2. 李明带 6 元钱到花店买花 . 如果月季花 1 元钱一盆，茉莉花8 角钱 一盆，要把 6 元钱刚好用完 . 问能买月季花和茉莉花各多少盆？ 3. 甲种铅笔 7 分钱一支，乙种铅笔 3 分钱一支，张明用 6 角钱恰好买 两种不同的铅笔共多少支？ 4. 李大伯下山去小商店买东西. 下午 1 时离开家，先走了一段山路， 来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店. 半小时后，他离开商店沿原 路返回家，下午 3 时半到家 . 已知平地每小时走 4 千米，上山每小时走3 千米，下山每小时走6 千米. 请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的 路？ 5. 大汽车能容纳 54 人，小汽车能容纳 36 人，现有 378人，问大、小 汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？