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1、浙江奥数网 奥博教育 8-1 2008年浙江省高中数学竞赛试题标准答案 一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 6 分） 1已知集合 22 1,20RAy yxxBx xx，则下列正确的是（） A1 ,ABy yB.2ABy y C.21AByyD. 21ABy yy或 解：因为 1 ,1,2Ay yBx xx或，所以有1 ,ABy y正确答案为A。 2当01x时，( ) lg x fx x ，则下列大小关系正确的是（） A 22 ( )()( )fxf xf xB. 22 ()( )( )f xfxf x C. 22 ( )()( )f xfxfxD. 22 ()( )( )f xf xf
2、x 解：当01x时，( )0 lg x f x x ， 2 2 2 ()0 lg x fx x ， 2 2 ( )0 lg x fx x 。 又因为 2 2 2 2(2) 0 lglg2lg2lg xxxxx x xxxx 。所以 22 ( )()( )f xf xfx。 选 C。 3设( )f x在0,1上有定义，要使函数()()f xaf xa有定义，则a的取值范围为（） A 1 (,) 2 ；B. 1 1 , 2 2 ；C. 1 ( ,) 2 ；D. 11 (,) 22 解：函数()()fxaf xa的定义域为 ,1,1aaaa。当0a时，应有1aa，即 1 2 a；当0a时，应有1aa
3、，即 1 2 a。因此，选B。 4已知 P 为三角形 ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PBPAPBPAPC ，则 ABC 一定为 ( ) A直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形 解：因为,2PBPAAB PBPAPCCBCA，所以已知条件可改写为()0ABCBCA。 容易得到此三角形为等腰三角形。因此选 D。 5已知 22222 12fxxabxaabb是偶函数， 则函数图象与y轴交点的纵坐标的最 大值是（） 浙江奥数网 奥博教育 8-2 A2B. 2 C. 2 2D. 4 解：由已知条件可知， 22 10ab，函数图象与y轴交点的纵坐标为
4、22 2aabb。令 ,scosinba，则 2222 2sincossincos2sin 2c s22oaabb。因此选 A。 6圆锥的轴截面SAB是边长为2 的等边三角形，O 为底面中心， M 为 SO 的中点，动点P 在圆锥底 面内（包括圆周） 。若 AMMP，则 P 点形成的轨迹的长度为（） A. 7B. 7 2 C. 3 D. 3 2 解： 建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),(0,0,)3S, (0,0,) 3 2 M， P(x,y,0). 于是 有 (0, 1,),(,). 2 3 2 3 AMMPx y 由于 AMMP，所以 (0,1,) 33 ( ,
5、 ,)0 22 x y，即 3 4 y，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为 2 37 1() 4 2 2 。因此选 B。 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7 22 cos( 15756)xxxx。 解：根据题意要求， 2 605xx， 2 0571xx。于是有 2 715xx。因此 22 cos( 15756)cos01xxxx。因此答案为1。 8设, , ,a b c d为非负实数，满足 abcd bcdacdabdabc ，则 abbccdda cdadabbc 。 解：显然0abcd，由于 abcd bcdacdabdabc ，有 1111 bcdacda
6、bdabc 。于是有abcd，故 浙江奥数网 奥博教育 8-3 4 abbccdda cdadabbc 。 9设 lglglg 111 ( ) 121 41 8 xxx f x ，则 1 ( )( )_f xf x 。 解： lglglglglglg 1111111 ( )( )3 121 41812141 8 xxxxxx f xf x 。 10. 设实系数一元二次方程 2 220xaxb有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根 在区间(1,2)内，则 4 1 b a 的取值范围是。 解：根据题意，设两个相异的实根为 12 ,xx，且 12 012xx，则 12 13xxa， 12
7、 0222x xb。 于是有31,12ab，也即有 111 ,342 214 b a 。 故有 143 212 b a ，即取值范围为 1 3 , 2 2 。 11已知,R，直线1 sinsinsincos xy 与1 cossincoscos xy 的交点在直线yx上，则cossincinsso。 解：由已知可知，可设两直线的交点为 00 (,)xx，且,inssco为方程 00 1 sincos xx tt ， 的两个根，即为方程 2 0 sinc(cos)sinos(cos)i0s nttx 的两个根。因此 cos(sinsincos)， 即cossincinsso0。 12在边长为1
8、的正三角形ABC 的边 AB、AC 上分别取D、 E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时， 浙江奥数网 奥博教育 8-4 顶点 A 正好落在边BC 上。 AD 的长度的最小值为。 解：设,ADxADE，作 ADE 关于 DE 的对称图形， A 的对称点G 落在 BC 上。在 DGB 中， 1 sinsin(2 33 ) xx3 32sin(2) 3 x 当sin(2)1 3 时，即 3 2 2 33 3 min x。 三、解答题 （本题满分 60 分，每小题 20 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。 ） 得分评卷人 解： （1）设 c 为椭圆的焦半径，则 2 425 , 54 a c
9、 c a 。 于是有 a5，b3。 （2） 解法一：设B 点坐标为( , )s t，P 点坐标为( , )x y。于是有 6(6)ABstAPxy （， ）, ，。 因为ABAP，所以有 6(6)(6)(6)0stxysxty（， ），。(A1 ) 又因为 ABP 为等腰直角三角形，所以有AB=AP ，即 2222 66stxy（）（）。(A2 ) 由（ A1 ）推出 22 2 2 6(6) 6(6) tyt y ss xx ，代入（ A2） ，得 22 6tx（） 从而有 22 6ys（），即6sy（不合题意，舍去）或6sy。 13已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab） ，其离
10、心率为 4 5 ，两准线之间的距离为 25 2 （1）求,a b之值；（2）设点 A 坐标为 (6, 0)，B 为椭圆 C 上的动点，以A 为直角 顶点，作等腰直角ABP（字母 A，B，P 按顺时针方向排列） ，求 P 点的轨迹方 程。 浙江奥数网 奥博教育 8-5 代入椭圆方程，即得动点P 的轨迹方程 22 66 1 925 xy （） （） 。 解法二：设 11 (,)B xy,( , ),P x yABr，则以 A 为圆心， r 为半径的圆的参数方程为 6cos sin xr yr 。 设 AB 与 x 轴正方向夹角为，B 点的参数表示为 1 1 6cos sin xr yr ， P 点
11、的参数表示为 0 0 6cos(90)6sin , cos sin(90) xrxr yr yr 即. 从上面两式，得到 1 1 6 6 xy yx 。 又由于 B 点在椭圆上，可得 22 (6)(6) 1 925 xy 。 此即为 P 点的轨迹方程。 得分评卷人 解： （I ）1x情形。此时不等式为 2 2xxa。 于是有 （1） 2 2 2 0 20 2 2 a xax xa x x x 。 因此当0a时，有12x；当01a时，有12x； 当1 4a 时，有2ax；当 4a 时，空集。 （ 2） 2 2 2 0 2 0 21 2 4 a a xaxx x xa x x。 14求解不等式 2
12、 11xxa。 浙江奥数网 奥博教育 8-6 此时有当0a时，有2x；当01a时，有2x；当14a时，有2x；当4a时， 1 4 x a 。 （II ）1x情形。此时不等式为 2 xxa。 于是有 （3） 2 2 2 0 0 0 a x x x x x x a a 。 因此当0a时，有01x；当01a时，有1ax；当1a时，空集。 （4） 2 2 222 0 0 0 a xax x xa x axx x 。 因此当 0a 时，有 0x ；当 0a 时，空集。 综合（ 1）（ 4）可得 当0a时，有xR；当04a时，有xa；当4a时，1 4 x a 。 得分评卷人 解：设非负等差数列 n a 的
13、首项为 1 0a，公差为0d。 （1）因为2mnp，所以 222 2mnp， 2 pmn，2 mnp aaa。 从而有 2 () pmn aa a。 因为 1 1 2 () 2 (1) n n n aan n Snda，所以有 1 22 1 2 1 (1)(1) () 2 2 22 2 2 2 2 2 nm p n nm m SSmn ad nmp pad pp padS 15设非负等差数列 n a的公差0d，记 n S为数列 n a的前 n 项和， 证明： 1）若 * , ,m n pN，且2mnp，则 112 mnp SSS ； 2）若 503 1 , 1005 a则 2007 1 1 2
14、008 n n S 。 浙江奥数网 奥博教育 8-7 2 11 11 2 2 2 12 11 22 ()() () () 4 42 2 n nmmnmn p m pppp n aam aa Sa aaa mn Saa p aa p aa a aaS 于是 121 2 p mn nmnpppm S S SS SSSS SS 。 （2） 120072006100310051004 10 2007 041004 12 111111 2*100312007 11 nn SSSSSSSS SS 又因为 501004113 10031004 1004()100 100 4 2100 4 100450 5
15、2daaSad，所以有 1004 2007 1 120072007 10 1 04 0052008. nn SS 四、附加题 （本大题满分50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。选考 B 卷的学生选做本大题，不计入总分。 ） 16 设 122 0 0 8 ,为2008 个 整 数 ， 且19 i （1,2,2008i） 。 如 果 存 在 某 个 1,2,2008k，使得2008 位数 1200811kkk 被101 整除，试证明：对一切 1,2,2008i，2008 位数 1200811iii 均能被 101 整除。 解：根据已知条件，不妨设k 1，即 2008 位数 012208
16、 被 101 整除，只要能证明2008 位数 2013082 能被 101 整除。 事实上， 2006 200812200 2007 7220108 101010A， 2007 232 2006 2008120 8301 101010B 从而有 4502502 111 008 1 2 10(101)(10 )1(99991)199991 1ABN， 即有 1 109999BAN。 浙江奥数网 奥博教育 8-8 因为101,1019999A，所以101 B。 利用上述方法依次类推可以得到 对一切1,2,2008i，2008 位数 1200811iii 均能被 101 整除。 17. 将 3k （
17、 k 为正整数） 个石子分成五堆。 如果通过每次从其中3 堆中各取走一个石子，而最后取完， 则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。 解：分法是和谐的充分必要条件是 最多一堆石子的个数不超过k。 下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e（其中bcdea） 。 “必要性”的证明：若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a 次，这 a 次每次都要取 走 3 个石子。如果 ak，则33ak，即把 a 所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子 的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。 “充分性”的证明： （数学归纳法） （1）当 1k 时，满足“ ak” 的分法只能是 1， 1，1，0，0。显然这样的分法是和谐的。 （2）假设kn时，满足“ak” 的分法是和谐的。 （3）当1kn时，若1an，且分法 a,b,c,d,e 是不和谐的，则分法a1,b1,c1, d, e 也是 不和谐的。由（2）及必要性的证明，可知 max1,1,1, , abcd en。 因为bcdea，所以max1,1,1, , max1, abcd eadn。 若1ad，则有1an。这与1an矛盾。 若1ad，则有1cbadnn，从而有1abcdn，于是有 3(1)4(1)nabcdene，这是不可能的。矛盾。 因此当1an时，分法a,b,c,d,e 是和谐的。