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1、数学试题答案（理科）第1 页（共 4 页） 2012 年安庆市高三第二学期重点中学联考 数学试题参考答案及评分标准（理科） 一、选择题（本题共10 小题，每小题仅有一个选项符合题意，每小题5 分，共 50 分） 。 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C A C D D A B D B D 二、填空题 （本题共5 小题， 每小题 5 分，共 25 分。请将答案填写在答题卡相应横线上）。 11(, 13,)， 12 3 3 ， 13 7 3 ，14 3 2 ，15 1 1 2 n nn aa 三、解答题（本大题共6 小题，共计75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 解答
2、写在答题卡上指定区域内）。 16 解： （1） 2 ( )sin() 224 x f x， 2 分( )f x取最大值则：2, 242 x kkZ x的取值集合：4, 2 x xkkZ； 6 分 （2）已知(2)coscosacBbC， 由正弦定理有：(2sinsin)cossincosACBBC， 即：2sincossincoscossinsin()sinABBCBCBCA 又在三角形中sin0A 1 c o s, 2 B又(0,)B 3 B， 9 分 从而 2 (0,) 3 A而 2 ()sin() 224 A f A， 又 7 42412 A ， 2 sin(),1 242 A ( )f
3、 A的取值范围是 12 , 22 . 12 分 17解（ 1）1,2,3,4，又有， 1 (1) 10 P, 919 (2 ) 1 01 01 0 0 P, 99181 (3) 1010101000 P, 397 2 9 (4 )() 1 01 0 0 0 P 4 分 随机变量的分布列 1 2 3 4 P 1 10 9 100 81 1000 729 1000 数学期望3.439E 8 分 数学试题答案（理科）第2 页（共 4 页） z y x H G D E A B C F （2）认为该批量产品合格的概率是 9999 10101010 ， 从而该批量产品不合格的概率是 49 1()0.343
4、9 10 P 认为该批量产品不合格的概率是 0.3439 12 分 18 （ 1）证明：取AD边中点 H，在等腰直角三角形 ADE中有EHAD 又面ADE面ABCDEH面ABCD，连接 GH，由于 ABCD EF ，且2,4ABCD 在梯形ABCD中， HGAB且3HGHGEF 且 HG=EF ，四边形EFGH为平行四边形 FGEH且 FG=EH FG面ABCD 5分 （2）解法一：在梯形ABCD中，120ADC 60DAB又2ABAD 60ADB 且2BD，在BDC中 ，2,4,60 ,BDCDBDC BDBC，又由（ 1）知FG面ABCD，而FG面FBC面FBC面ABCD BD面FBCFB
5、G为二面角FBDC的平面角 . 10 分 而在Rt FGB中， 1 1,3 2 FGEHBGBC30FBG 所求二面角大小为30 12 分 解法二：建立如图所示的空间坐标系，(1,0,0)A，( 1,0,0)D，(0,0,1)E， (0, 3,0)B ， 3,60HGDHG 333 (, 0 ) 22 G 333 (, 1 ) 22 F 7 分 面BDC的法向量 1 (0,0,1)n u u r 令面BDF的法向量 2 ( , , )nx y z u u r ，则 2 2 0 0 n DB nDF u u r uu u r g u u r uuu r g ( , , )(1, 3,0)0 1
6、3 3 ( , , )(,1)0 22 x y z x y z 令1y 2 ( 3,1,23)n u u r ， 10 分记 12 ,n n u r uu r 为 则 12 11 (0,0,1) ( 3, 1,2 3)3 cos 1 42 nn n n uu ru u r u r u r30二面角大小为30. 12 分 19. （1） 3 1 7 a， 4 1 10 a 3 分 （2） 当 2n 时， 1 (1)11 11(1) (1)(1)1 nn nnnn nanan ananana ，当 2n 时， 1 1 nn n bb n 故 1 1 , nn n bb nN n 累乘得 1n bn
7、b又 1 3b3 n bnnN 8 分 数学试题答案（理科）第3 页（共 4 页） （3） 1 sin 3 coscos n nn c bb sin(333 ) tan(33)tan3 cos(33)cos3 nn nn nn ， 12nn ScccL(tan 6tan3)(tan9tan6)(tan(33)tan3 )nnL tan(33)tan3n 13 分 20 （ 1）证明： 2 22 14(1) ( ) (1)(1) x g x xxx x ，由于已知1x，( )0g x恒成立 ( )g x在1,递增，( )(1)0g xg1x时，( )0g x恒成立。4 分 （2）( )lnf x
8、xax( )f x定义域是0, 又 11 ( )0 ax fxa xx ，由于0,0ax，解得 1 0x a ( )f x在 1 0, a 递增，在 1 , a 递减 1 ( )()ln1f xfa a ，且有( )0f x（如(1)0fa） ( )f x无零点，则只要ln10a，即ln1a 1 a e 所求a的范围是 1 , e 8 分 （3）( )f x有两个相异的零点，又由于0x，故不妨令 12 0xx，且有 1122 ln,lnxaxxax 12121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx，要证 2 12 121212 121212 lnln22 ln()2lnln
9、2 xx x xex xxxa xxxxxx 1 1212 12 1 122 2 2(1) 2() lnlnln 1 x xxxx xx x xxx x 又令 1 2 x t x ，则1t，故只要证明 2(1) ln,1 1 t tt t 时恒成立， 而由（ 1）知1t时， 2(1) ln0 1 t t t 恒成立，从而证明 2 12 x xe. 13 分 21解： （1）由于 0 1x，可知过P作圆 M 的切线，切线斜率存在 设过点P的切线方程： 2 00 ()yk xxx，即 2 00 0kxykxx，与圆 2 C相切，故 数学试题答案（理科）第4 页（共 4 页） 有： 2 00 2 2
10、 1 1 kxx k ，整理得： 22222 0000 (1)2(2)(2)10xkxxkx. 依题意， 1 k， 2 k是上述方程的两根，故有 2 00 12 2 0 2(2) 1 xx kk x . 4 分 （2）设 2 11 (,)A x x， 2 22 (,)B xx 12 ()xx 2 00 2 ()yk xxx yx 得 22 00 0xkxkxx 又方程有一根为 0 x，则另一根为 0 kx， 11022 ,xkxxkx 22 12 12120 12 2 AB xx kxxkkx xx ，由（1）知 2 000 022 00 2(2)2 2 11 AB x xx kx xx 又
11、0 0x， 所以 2 0 0 2 PM x k x ，0PMAB uuu ruu u r 2 00 2 00 22 1 1 xx xx 解得 2 0 3x 0 3x 9 分 （3）证明：由（1） ， （2）知 12AB kxx，当 0 2x时， 12 8 3 kk， 12 1kk 2 120121020120120 4 2,()()() 3 AB kkkxx xkxkxk kx kkx 81 12()4 33 而 2 1121 :()()AB yxxxxx即 1212 41 () 33 yxxxx xx AB方程：4310xy，而圆 2 C的圆心(0,2)M 点M到AB的距离是 22 403 21 1 43 ，圆 2 C的半径为1 AB与圆 2 C相切 . 13 分