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1、2019 年上海高考压轴卷理科数学试题 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 上海理科数学试卷 考生注意： 1 、本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂( 选择题 ) 或写 ( 非选择题 ) 在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2 、答题前， 务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。 3 、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 4、本试卷共有23 道试题，总分值150 分、考试时间120 分钟、 【一】填空题56 分本大题共有14 题，要求在答题纸相应题序的空
2、格内直接填写结果， 每个空格填对得4 分，否那么一律得零分、 1、复数 2 i z i i 为虚数单位 ，那么 z z 、 2、计算 n n n n 4 1 3 2 lim 、 3、函数 )(xfy 的反函数为 )0(1)1(log 2 xxy ，那么 )(xf ._ 4、假设以 14 31 a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，那么实数 a 的取值范围 为、 5、 5 3 2 ) 2 3( x x 的二项展开式中，常数项的值是 . 6、从一堆苹果中任取5 只，称得它们的质量如下单位：克：125，124，121，123，127、 那么该样本的标准差 s 克、 7、曲线 12 CC， 的极
3、坐标方程分别为 4cos0 0 2 ， ， cos3 ，那 么曲线 1 C 与 2 C 交点的极坐标为、 8、设定点 )2, 1(A 、 )2, 1 (B ，动点 ),(yxP 满足： 52PBPA ，那么动点 P 的轨 迹方程为、 在平面内有且只有一条直线与直线 m 垂直； 过直线 m 有且只有一个平面与平面垂直； 与直线 m平行的直线不可能与平面 垂直； 与直线 m垂直的直线不可能与平面 平行； 与直线 m平行的平面不可能与平面 垂直、 10、某校学生在上学路上要经过2 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是2 分钟、那么该
4、校某个学生在上学路上 因遇到红灯停留的总时间的均值等于分钟、 11、假设关于 x 的不等式 )1(2 xbax 的解集为 1|xx ，那么 b 的取值范围为、 12、某城区从某年开始的绿化总面积 y 万平方米与时间 x 年的关系为x y15.1 、 那么该城区绿化总面积从4 万平方米到12 万平方米所用的时间为年、四舍五入取整 13、假设 212axx 对任意实数 x 恒成立，那么实数 a 的取值范围为、 14、对于任意的平面向量 ),(),( 2211 yxbyxa ，定义新运算： ),( 2121 yyxxba 、 假设 cba, 为平面向量， Rk ，那么以下运算性质一定成立的所有序号是
5、、 baab ； )()(bkabak ； )()()(bkakbak cbacba)()( ； cabacba)( . 【二】选择题20 分本大题共有4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正 确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否那么一律得零分 . 15、如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 ( ,)0f x y 的解”是正确的，那么以下命题 中正确的选项是 A曲线 C 是方程 ( ,)0f x y 的曲线； B方程 ( ,)0f x y 的每一组解对应的点都在曲线 C 上； C不满足方程 ( ,)0f x y 的点 ( ,)x y 不在曲线 C
6、 上； D方程 ( ,)0f x y 是曲线 C 的方程 . 16、假设框图所给的程序运行的结果为 90S ，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件错误的选项是 A 8k B 8k C 9k D 9k 17、将假设干水倒入底面半径为 cm2 的圆柱器皿中底面水平放置，量得水面的高度为 cm6 、假 设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，那么水面的高度是 A、 cm36 B、 cm6 C、 cm182 3 D、 cm123 3 第 16 题图 18、设 n a 是公比为 q 的等比数列，首项 64 1 1 a ，对于 Nn ， nn ab 2 1 log ，当且仅 当 4n 时，
7、数列 n b 的前 n 项和取得最大值，那么 q 的取值范围为 A、 )32, 3( B、 )4,3( C、 )4,22( D、 )23,22( 【三】解答题此题总分值74 分本大题共有5 题，解答以下各题必须在答题纸的规定区 域对 应的题号内写出必要的步骤、 19、 本小题总分值12 分，第 1小题总分值6 分，第 2 小题总分值6 分 如图，菱形 ABCD 中， 1ACAB ， 其对角线的交点为 O ，现将 ADC 沿对角线 AC 向上翻折，使得 OBOD 、在四面体 ABCD 中， E 在 AB 上移动，点 F 在 DC 上移动，且 )10(aaCFAE 、 1求线段 EF 的最大值与最
8、小值； 2当线段 EF 的长最小时，求异面 直线 AC 与 EF 所成角的大小、 20、 本小题总分值14 分，第 1小题总分值7 分，第 2 小题总分值7 分 函数 2 ( )cos 12 fxx ， 1 ( )1sin 2 2 g xx 、 1设 0 x 是函数 ( )yf x 的一个零点，求 0 ()g x 的值； 2求函数 ( )( )( )h xf xg x 的单调递增区间、 21、 本小题总分值14 分，第 1小题总分值7 分，第 2 小题总分值7 分 某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示： 月份用气量立方米支付费用元 一4 8 二20 38 三26 50
9、 该市的家用天然气收费方法是：天然气费基本费超额费保险费、 现，在每月用气量不超过 A 立方米时，只交基本费6 元；每户的保险费是每月 C 元 )5(C ；用气量超过 A 立方米时，超过部分每立方米付 B 元、 设当该家庭每月用气量 x 立方米时，所支付费用为 y 元、求 y 关于 x 的函数解析式、 22、 本小题总分值16 分，第 1小题总分值8 分，第 2 小题总分值8 分 设椭圆 222 22:byxC 常数 0b 的左右焦 点分别为 12 ,FF ， ,MN 是直线 bxl2: 上的两个动点， 12 0FMF N 、 1假设 12 2 5F MF N ，求 b 的值； 2求 MN 的
10、最小值、 23、 本小题总分值18 分，第 1 小题总分值4 分，第 2 小题总分值8 分，第 2 小题总分值6 分 如图， ),( 111 yxP ， ),( 222 yxP ， ),( nnn yxP ，是曲线 )0( 2 1 : 2 yxyC 上的 点， )0 ,( 11 aA ， )0 ,( 22 aA ， )0,( nn aA ， 是 x 轴正半轴上的点，且 110 PAA ， 221 PAA ， nnn PAA 1 ，均为斜边在 x 轴上的等腰直角 三角形 0 A 为坐标原点 、 1写出 1n a 、 n a 和 n x 之间的等量关系， 以及 1na 、 n a 和 ny 之间的
11、等量关系； 2猜测并证明数列 n a 的通项公式； 3设 nnnn n aaaa b 2321 1111 ，集合 , 321n bbbbB ， R012| 22 xaaxxxA， ，假设 BA ，求实常数 a 的取值范围、 理科数学答案 【一】 1、 5 2、 13、 )1( 12 1 x x 4、 1 3 5、10806、2 7、 (23,) 6 8、 )1(2xxy 9、 10、 3 4 11、 ), 2( 12、8 13、 ),3 1,( 14、 【二】 15、C、16、D、17、B、18、C、 【三】 19、解一：1以 O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 xyzO ， 1 分 由可
12、求得 )0, 2 1 , 2 3 ( a aE ， ) 2 3 , 2 1 ,0(a a F ， 2 分 222 ) 2 3 () 2 1() 2 1(a a aa a EF 5 3 ) 5 2 ( 2 52 a 、2 所以，当 5 2 a 时，线段 EF 的最小值为 5 15 、 1 分 2 ) 5 3 , 5 3 , 5 3 (EF ， )0, 1 ,0(AC ， 2 分 . 5 15 1 5 15 5 3 cos ACEF ACEF 3 分 所以， . 5 15 arccos 1 分 解二： 1如图，过点 F 作 DOFM / ，那么 aFM 2 3 ， 2 分 在 AEM 中，由余弦定
13、理，得 5 3 ) 5 2 ( 2 5 60cos2 2222 aAMAEAMAEEM 、 3 分 所以，当 5 2 a 时，线段 EF 的最小值为 5 15 、1 分 2过点 E 作 ACEN / ，在 EFN 中，可求得 5 3 EN ， 5 6 FN ，由余弦定理可求、 20、解：1由题设知 1 ( )1cos(2) 26 f xx 2 1 、 因为 0 xx 是函数 ( )yf x 的一个零点，所以 0 6 2cos1x ，2 分 1 6 2cosx 即 12 5 kx kZ 、3 分 所以 . 4 5 6 5 2sin 2 1 1sin 2 1 1)( 00 kxxg 2分 2 11
14、 ( )( )( )1cos 21sin2 262 h xf xg xxx 131313 cos 2sin 2cos2sin 2 2622222 xxxx 13 sin 2 232 x 、5 分 当 2 22 232 kxk ，即 5 1212 kxk kZ 时， 函数 13 ( )sin2 232 h xx 是增函数， 故函数 ( )h x 的单调递增区间是 5 1212 kk ， kZ 、2 分 21、解：根据题意， )2(.,)(6 ) 1(,0,6 A xCAxB AxC y 2 分 因为 50C ，所以 116C 、 由表格知，【二】三月份的费用大于11，因此， 【二】三月份的用气量
15、均超过基本量 A ， 于是有 CAB CAB .)26(650 ,)20(638 4 分 解得 .82,2CAB 32 分 假设一月份用气量超过了基本量，即 A4 、 将 4x 代入 2得 CA62 与 3矛盾、2 分 所以 A4 ，所以 86C ， 2C 、2 分 因此， 5A ， 2B ， 2C 、 所以， .5, 22 , 50, 8 x x x y 2 分 22、解：设 ),( 1 ybM ， ),( 2 ybN 1 分 那么 ),(),3( 2211 ybNFybMF 由 12 0FMF N 得 2 21 3byy 2 分 1由 12 2 5F MF N ，得 52)3( 2 1 2
16、 yb 1 分 52 2 2 2 yb 1 分 由、三式，消去 12 ,yy ，并求得 2b 、3 分 2易求椭圆 C 的标准方程为： 1 24 22 yx 、2 分 解法一： 2 21212121 2 2 2 1 2 21 2 124222)(byyyyyyyyyyyyMN ，4 分 所以，当且仅当 byy3 21 或 byy3 12 时， MN 取最小值 b32 、 2 分 解法二： 22 2 1 4 2 1 2 21 2 126 9 )(bb y b yyyMN ，4 分 所以，当且仅当 byy3 21 或 byy3 12 时， MN 取最小值 b32 、 2 分 23、解：1依题意，有
17、 2 1nn n aa x ， 2 1nn n aa y ，4 分 2由 nn xy 2 12 得2 1 2 nn aa 22 11nnaa ， 即 nnnn aaaa 1 2 1) ( 、 猜测 2 )1(nn an 、2 分 证明：当 1n 时，可求得 2 21 2 1 a ，命题成立；1 分 假设当 kn 时，命题成立，即有 2 )1(kk ak ，1 分 那么当 1kn 时，由归纳假设及 kkkk aaaa 1 2 1) ( ， 得 1 2 1 2 )1( 2 ) 1( nk a kkkk a 、 即 0 2 )2)(1( 2 )1( )1()( 1 22 1 kkkk akka kk
18、 解得 2 )2)(1( 1 kk ak kk a kk a 2 )1( 1 不合题意，舍去 即当 1kn 时，命题成立、3 分 综上所述，对所有 Nn ， 2 )1(nn an 、1 分 3 nnnn n aaaa b 2321 1111 )12(2 2 )3)(2( 2 )2)(1( 2 nnnnnn 3 1 2 2 132 2 12 2 1 2 2 n n nn n nn 、2 分 因为函数 x xxf 1 2)( 在区间 ), 1 上单调递增，且 0lim n n b ， 所以 3 1 ,0 n b 、2 分 )1, 1(|,012| 22 aaxxRaaaxxxA 由 BA ，有 01a 或 3 1 1a ， 故， , 3 4 1,0a 、2 分