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1、1985 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 （这份试题共八道大题，满分120 分） 一 （本题满分 15 分）本题共有 5 小题，每小题都给出代号为A，B， C，D 的四个结论， 其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写 在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3 分;不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得 0 分 （1）如果正方体 ABCD-A BCD的棱长为a，那么四面体 A-ABD 的体积是（ D ) 6 ( D ) 4 ( C ) 3 ( B ) 2 )( 3333 aaaa A （2） 4 5 1xtgx是的（ A ） （A）必要条件（B
2、）充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分又不必要的条件 （3）设集合 X=0，1，2，4，5，7 ，Y=1，3，6，8，9，Z=3，7， 8 ，那么集合 ZYX)(是（ C ） （A）0 ，1，2，6，8 （B）3，7，8 （C）1 ，3，7，8 （D）1，3，6，7，8 （4）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间) 2 ,0(上的增函数又 是以为周期的偶函数？（ B ） （A）).( 2 Rxxy（B）)(|sin|Rxxy （C）)(2cosRxxy（D）)( 2sin Rxey x （5）用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比20000大，并且百 位数不是数字 3 的没有重
3、复数字的五位数，共有（ B ） （A）96 个（B）78 个 （C）72 个（D）64 个 二 （本题满分 20 分）本题共 5 小题，每一个小题满分4 分只要求 直接写出结果） （1）求函数的定义域 1 4 2 x x y 答：.21| 12|xxxx （2）求圆锥曲线 3x 2-y2+6x+2y-1=0 的离心率 答：2 （3）求函数 y=-x 2+4x-2 在区间 0 ，3 上的最大值和最小值 答：最大值是 2，最小值是 -2 （4）设(3x-1) 6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a0 , 求 a6+a5+a4+a3+a2 +a1+a0
4、的值 答：64（或 2 6） （5）设 i 是虚数单位，求 (1+i) 6 的值 答：-8i. 三 （本题满分 14 分） 设 S1=1 2，S 2=1 2+22+12，S 3=1 2+22+32+22+12， Sn=1 2+22+32+n2+32+22+12, 用数学归纳法证明：公式 3 )12( 2 nn Sn对所有的正整数 n 都成立 证：因为 Sn=1 2+22+32+n2+32+22+12, 即要证明 1 2+22+32+n2+32+22+12= 3 ) 12( 2 nn ， （A） （）当 n=1,左边=1，右=1 3 31 ，故（ A）式成立 （）假设当 n=k 时， （A）式成
5、立，即 1 2+22+32+k2+32+22+12= 3 )12( 2 kk 现设 n=k+1，在上式两边都加上（ k+1) 2+k2, 得 1 2+22+32+k2+(k+1)2+k2+32+22+12= 3 )12( 2 kk +(k+1) 2+k2 . 3 1)1(2)(1( 3 )342)(1( 3 ) 1(3) 1)(12( 3 3)1(32 2 2 2 223 kk kkk kkkk kkkk 即证得当 n=k+1时（A）式也成立 根据（）和（）， （A）式对所有的正整数n 都成立，即证得 3 ) 12( 2 nn Sn 四 （本题满分 13 分） 证明三角恒等式 )cos1 (2
6、cos3coscos52sin 4 3 sin2 2424 xxxxxx 证：xxxxxxxcos)cos3cos4(cos5cossin3sin2 24224 左边 xxxxx 24224 cos3coscossin3sin2 右边 x xxx xxxxx 2 222 22222 cos22 cos3cossin2 cos3)cos)(sincossin2( 五 （本题满分 16 分） （1）解方程 )12lg()1lg()3lg()3lg(xxxx 解：由原对数方程得 , 12 1 lg 3 3 lg x x x x 于是 . 12 1 3 3 x x x x 解这个方程，得x1=0,x2
7、=7. 检验： x=7 是增根，因此，原方程的根是x=0. （2）解不等式.152xx 解： 1252 01 052 01 052 2 xxx x x x x 或 解得 .2 2 5 |xx 六 （本题满分 15 分） 设三棱锥 V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是，它的高 是 h求这个所棱锥底面的内切圆 半径 解：自三棱锥的顶点V向底面作 垂线，垂足为 O ，再过 O分别作 AB ，BC ，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接 VE ，VF ，VG 根据三垂 线定理知： VE AB ，VFBC ，VG AC 因此 VEO ，VFO ，VGO 分别为侧面与底面所成二面角的平面角， 由已知
8、条件得 VEO= VFO= VGO= ， 在VOE 和VOF中，由于 VO 平面 ABC ，所以 VO OE ，VO OF又因 VO=VO， VEO= VFO ， 于是 VEO VFO V A G C E O F B 由此得到 OE=OF 同理可证 OE=OG 因此 OE=OF=OG 又因 OE AB ，OF BC ，OG AC ，所以点 O是ABC 的内切圆的圆心 在直角三角形 VEO 中，VO=h ，VEO= ，因此 OE=hctg. 即这个三 棱锥底面的内切圆半径为hctg . 七 （本题满分 15 分） 已知一个圆 C：x 2+y2+4x-12y+39=0 和一条直线 L:3x-4y+
9、5=0 求圆 C关于直线 L 的对称的圆的方程 解：已知圆方程可化成 (x+2) 2+(y-6)2=1,它的圆心为 P（-2 ，6） ， 半径为 1设所求的圆的圆心为P （a,b ） ， 则 PP 的中点) 2 6 , 2 2 ( ba 应在直线 L 上，故有 )1 (02043, 05) 2 6 (4) 2 2 (3ba ba 即 又 PP L，故有 )2(010341 4 3 2 6 ba a b 即 解（1） ， （2）所组成的方程，得a=4,b=-2 由此，所求圆的方程为 (x-4) 2+(y+2)2 =1,即： x 2+y2-8x+4y+19=0. 八 （本题满分 12 分） 设首项
10、为 1，公比为 q(q0)的等比数列的前n 项之和为 Sn又设 Tn=.lim.,2 , 1, 1 n nn n n Tn S S 求 解：当公比 q 满足 0q1 时， 于是时当公比 于是 ,111,1 .1 01 01 1 1 , 1 1 1 1 1 12 nSq q q S S T q q qqqS n n n n n n n n n . 1 1 1 1 1,1 1 1 1 1 lim 1 limlim . 1 1 1 12 1 n n n n n n n n nn n n n n n q q S S T q q qqqSq n n n T n n S S T 于是 时当公比 因此 ).1( 1 ),10(1 lim . 1 ) 1 (1 ) 1 (1 lim 1 1 1 limlim 1 1 时当 时当 综合以上讨论得到 因此 q q q T q q q qq q T n n n n n n n n n n