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1、全国高中数学联赛试题 第一试 10 月 12 日 一、选择题 本题共有 6 小题，每题均给出（A） 、 （ B） 、 （ C） 、 （ D）四个结论，其中有且仅有一个是正确 的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6 分；不选、选错或选出的代 表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分。 1. 删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列的第2003 项是【答】 （） （ A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2.设,0,a bR ab那么直线0axyb和曲线 22 bxayab的图形是【答】 （） (A) (B)
2、 (C) (D) 3. 过抛物线 2 82yx的焦点 F 作倾斜角为60 的直线 . 若此直线与抛物线交于A， B 两点， 弦 AB 的中垂线与x轴交于 P 点，则线段PF 的长等于【答】（） （ A） 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4. 若 5 , 123 x 则 2 tantancos 366 yxxx 的最大值是 （ A） 12 2 5 (B) 11 2 6 (C) 12 7 (D) 12 5 【答】（） 5. 已知, x y在区间2,2内，且1,xy则函数 22 49 49 u xy 的最小值是 （ A） 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7
3、(D) 12 5 【答】 （） 6.在四面体ABCD 中设1,3ABCD，直线 AB 与 CD 的距离为2，夹角为 3 ，则四面体 ABCD 的体积等于【答】（） （A） 3 2 (B) 1 2 (C) 1 3 (D) 3 3 二、填空题 （本题满分54 分，每小题9 分）本题共有6 小题，要求直接将答案写在横线上。 7不等式 3 2 2430xxx的解集是 _ 8设 12 ,F F是椭圆 22 1 94 xy 的两个焦点， P 是椭圆上的点， 且 12 :2:1PFPF，则 12 PF F 的面积等于 _. 9. 已知 2 430,Ax xxxR 12 20,2750,. x Bxaxaxx
4、R若AB， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 _. 10. 已知, , ,a b c d均为 正整数 ，且 35 log,log, 24 ac bd若9ac，则 bd_. 11. 将八个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切， 且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_. 12设 _ 12 0.011,2,1),1 , nnin Mna aaaina 十进制位纯小数只取 或（ n T是 n M中元素的个数， n S是 n M中所有元素的和，则 lim n n n S T _. 三、解答题（本题满分60 分，每小题20 分） 13 设 3 5, 2 x证明
5、不等式21231532 19.xxx y x y x y x x y 14设 A,B,C 分别是复数 012 1 ,1 2 Zai Zbi Zci（其中, ,a b c都是实数） 对应的不共线 的三点 . 证明：曲线 4224 012 cos2cossinsin()ZZtZttZttR与 ABC中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为R 的圆 O 和圆内一定点A, 且 OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点 A刚 好与 A 点重合 . 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当 A取遍圆周上所有的点时，求所 有折痕所在直线上点的集合. 全国高中数学联赛加试试
6、题 第二试 一、 （本题满分50 分） 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点， C 在 P, D 之间 . 在弦 CD 上取一点Q, 使.DAQPBC求证：.DBQPAC 二、 （本题满分50 分） 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 是 整 数, ,l m n且.lmn已 知 444 333 , 101010 lmn 其 中 ,xxx而x表示不超过x的最大整数 . 求这种三角形周长的最小值. 三、 （本题满分50 分） 由n个 点 和 这 些 点 之 间 的l条 连 线 段 组 成 一 个 空 间 四 边 形 ， 其 中 2 1,nqq
7、21 11,2,. 2 lq qqqN已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线 段，存在一点至少有2q条连线段 . 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和 四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形） 全国高中数学联赛第一试参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C B A C D B 提示： 1.注意到2025452 ,211646 2 , 故2048452003 2003 a; 2.题设方程可化为baxy和1 22 b y a x , 观察图形可知； 3.易知直线 AB的方程为xy3, 因此 A,B 两点的横坐标满足方程01683 2 xx, 从而弦 AB中点的
8、横坐标为 3 4 0 x, 纵坐标 3 4 0 y, 进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点 P的 横坐标即PF= 3 16 ； 4.原函数可化为 6 cos 3 4 2sin 2 x x y, 可以证明函数在已知的区间上为增函数， 故当 3 x时， y 取最大值3 6 11 ; 5.消去 y 之后可得： 2 2 4 937 35 1 x x u, 用基本不等式可求得函数u 的最小值 5 12 ; 6.可用等积法求得，过程略。 二、填空题 7. 3, 2 15 2 15 , 3. 提示：原不等式可以化为:01|3| 2 xxx 8. 4 21F PF是直角三角形，故 21F PF的面积为442
9、 2 1 | 2 1 21 PFPFS; 9. 14a 提示：3,1A, 令axf x1 2,572 2 xaxxg, 则只需xgxf,在（ 1， 3）上的图象均在x 轴的下方，其充要条件是 03 01 03 01 g g f f , 由此推出14a; 10 93 提 示 ：由 已 知 得dcba 4 5 2 3 , 42 , c d c a b a, 又9ca， 故 9 2 2 2 2 42 c d a b c d a b c d a b , 推得 1 9 2 2 2 2 c d a b c d a b , 32,125 16,25 db ca ; 11 4 82+ 提示：如图，上下层的四个
10、球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分 别是上下两个边长为2 的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上 下底面构成圆柱，同时A1 在底面上的射影M为弧 AB的中点。由 于 A1A=A1B=AB=2,2OAOM ,12MN , 求得 4 22 11 8MNNAMA , 故所求的高为 4 82+； 12 1 18 提示： 1 2 n n T, n n n n n S 10 1 2 10 1 10 1 10 1 2 2 1 1 12 1 三、解答题 13证明：由bdacdacdbcabdcbadcba2)( 22222 可得 ,2 2222 dcbadcba当且仅当a=b=c=d 时取等号 5
11、 分 则xxxxxxx315321123153212 192142x15 分 因为xxx315,32,1不能同时相等，所以 1923153212xxx20 分 14设Ryxyixz,则代入并由复数相等可得 10121 sin 2 2 2 xcxxxbxay tx 即axabxbcay22 2 因 为 A,B,C 不共线，所以02bca,可见所给曲线是抛物线段（图略）5 分 AB,BC 的中点分别是 2 , 4 3 , 2 , 4 1cb E ba D,； 所以 DE 的方程为cbaxacy23 4 1 10 分 联立两式得0 2 1 2 2 xbca,得 2 1 x,注意到 4 3 2 1 4
12、 1 ,所以抛物线与ABC中平 行于AC 的中位线DE 有且只有一个公共点，此点的坐标为 4 2 , 2 1bca ,相应的复数为 i bca z 4 2 2 1 15 分 15如图建立直角坐标系，设sin,cos 1 RRA,MN为 AA1 的中垂线，设P（x,y）是 MN 上任一点，则|PA|=|PA1| 5 分 代入推得axaRyxR2sincos2 22 10 分 可得, 2 2 sin 22 22 yxR axaR 其中 22 sin yx x , 22 cos yx y . 所以1 2 2 22 22 yxR axaR 15 分 平方后可化为 1 222 2 22 2 2 2 aR y R a x 所求点的集合为椭圆1 222 2 22 2 2 2 aR y R a x 外（含边界）部分。20 分