“矩形的折叠”(复习课)教学课例与评析.pdf

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1、- 1 - “矩形的折叠”（复习课）教学课例与评析 颜小兵（江苏省姜堰市第四中学225500） 【摘要】 本堂数学复习课通过教师层层问题的引导，达到问题的解决，使学生经历数学 化的过程， 体验数学知识间的内在联系，并获得研究问题的方法和经验，同时让学生的思维能 力、自主探究与合作交流的意识得到发展，获得成功的体验，增强学习数学的信心。这节课是 中考第二轮复习中折叠问题的一个专题复习课，将矩形按不同要求进行折叠，产生许多丰富多 彩的几何问题， 而这些问题中融入了对称思想、方程思想， 综合了三角形、 四边形的诸多知识， 千变万化，趣味性强，让毕业班学生较完整地对图形的折叠问题进行一次梳理和总结。

2、【关键词】 矩形折叠、教学实录、评析、反思 一、课例背景 矩形的折叠， 主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题，由于折叠前后折叠 部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系。本 节课是 2010 年 4月 26 日开设的市级公开课， 其内容是中考第二轮复习中折叠问题的一个专题 复习， 前面已经在一轮复习中穿插了折叠的问题，学生已经掌握了图形的全等、相似等变换特 征，已经基本会用初中阶段的知识点简单地综合运用，比如与学生生活实际结合密切的“包书 问题”、 “折纸问题” 。本节课主要通过日常生活中常见的折纸形式作为动手操作活动，以矩形 的折叠为基础，

3、逐步设计以折叠为背景的活动，教师不断启发学生挖掘图形变换中的某些对应 元素（边或角）相等这些关键因素，集体商讨、寻找解题途径，揭示了折叠的本质折叠后 的图形具有轴对称图形的性质，并且折痕所在直线就是对称轴。这堂复习课中教师始终以“学 生发展为本” 的教学理念设计教学活动，引导学生去猜想，鼓励学生以小组合作去探讨，并且 不断地以引导式的提问方式让学生去积极思考折叠的各种情形及关系，通过学生的观察、 建模、 猜测、验证、推理、交流等数学活动，提高了学生思维分析能力、空间想象能力、推理能力和 动手能力。 二、课例展示 教学目标 知识与技能目标 让学生探索矩形折叠过程中边角及图形的一些关系，再利用相关

4、数学知识解决问题。进一 步培养学生分析问题、解决问题的能力 过程与方法目标 教学过程中遵循由简单到复杂，由特殊到一般的原则，发展学生的空间想象能力和逻辑推 理能力。同时渗透分类、转化、类比的思想 情感、态度与价值观目标 - 2 - 通过合作探索，激发学习兴趣及探究意识，体验成功的喜悦 教学重点 探索折叠后图形中的边角以及图形之间的一些关系，培养学生探索问题的能力 教学难点 折叠图形中复杂的边角关系 教法与学法 类比、猜想、合作、探索 教学过程 1. 创设情景，激发兴趣 师：数学来源于实践，应用于实践。生活中许多的实践活动与数学有关。譬如，图形的折 叠就蕴含着许多的数学知识，这节课我和同学们将以

5、矩形的折叠为例，一起来研究图形的折叠 问题 2. 实践探究，合作交流 问题 1： 已知一个矩形， 把它沿中线对折， 如果得到的矩形与原矩形相似，你能求出什么？ 师：题目给出的是生活中常见的图形，譬如长方形白纸的对折，但是对于折叠之后的矩形 与原矩形满足相似关系，能求出什么？ 学生对这一问题非常感兴趣，有一种新鲜感， 激发学生积极主动参与课堂学习的热情，把 学生的思维从生活图形抽象为几何关系做了很好的铺垫。按照公开课事前的合作小组的划分， 学生们在指定的小组内积极讨论、分工布置，纷纷发言 生 1：因为题目没有告诉我们具体的数据，但是我能求出各边、角之间的关系，比如折叠 后的两个图形是全等形，那么

6、它们的对应边、对应角是相等的 生 2：矩形是轴对称图形，我们发现对折后的两个图形是关于EF 成轴对称的，而且对称 轴就是折痕所在的直线 师：面对折叠后的矩形的这些性质，要使得到的矩形与原矩形相似，你能求出什么？关键 是题目没有给出具体的数据呀？ 学生们继续分组讨论，有的在折纸， 有的在演算， 有的在记录， 积极思考折叠前后矩形之 间的各种关系。有的小组开始举手发言了 生 3：题目中虽然没有具体的数据，但我们可以根据刚才得到的关系，假设 DE=x ，AD=y ， 则 DC=2x ，由题意可得x：y=y ：2x，从而 x：y=1：2，也就是原矩形的宽与长的比为1： 2 - 3 - 生 4：我们小组

7、能直接求出长与宽的比例，因为对折后的矩形与原矩形相似，所以我可以 利用相似多边形的面积比等于相似比的平方直接求得，DE：AD=1 ：2 师：大家说得非常好， 各个小组讨论得激烈，同学们的思维很活跃，学数学就要大胆猜想、 大胆思考 【点评 】 ：本教学环节利用学生已有的知识结构，让学生在“折叠猜想思考 证验”的解题过程中，由形得到数的结论。本题的结论开放，从简单的中线对折出发，提出问 题“你能求出什么” ，激发求知的热情和探索的欲望，同时培养学生读取已知图形信息的能力， 让学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程 问题 2：如果把矩形沿EF 折叠，四边形ADEF 为正方形，矩形EFBC 与原

8、矩形相似，那 么原矩形的长与宽的比又是多少呢？ 师：学生在平时生活中会将长方形白纸折叠成一个正方形吗？ 众：会，只要点A 折叠到 DC 边上就行了 师：而要使矩形EFBC 与原矩形相似，关键是两个矩形的所有的边对应成比例，怎样去 求原矩形的长与宽的比呢？ 学生分组讨论， 拿出准备好的矩形纸片开始按要求折叠，研究折叠正方形后，如何使矩形 EFBC 与原矩形相似，并开始观察计算各个线段之间的关系。经过一番讨论后，大部分学生都 能够得到以下结果： 设原矩形的长为a，宽为 b，则折叠后得到的小矩形长为b，宽为（ a-b） ，由两个矩形相似 可得： a b b ba ，化简得： a 2-ab-b2=0，

9、 怎样求出原矩形的长与宽的比呢？同学们陷入了深思 师：这个方程我们暂时无法求出a、b 的具体值，但题目中是求原矩形的长与宽的比，也 就是 b a 的值，能否运用整体的思想方法得到呢？ 生：能，方程两边同时除以b2，01 2 2 b a b a ，把 b a 看成一个整体，运用换元的思想方 法解方程，便可求得 2 15 b a 师：说得对，这个比值倒过来， 2 15 a b ，正好符合黄金分割比例啊！ 【点评 】 ：动手能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性，凭着学生的动手操作，抓住正 - 4 - 方形的性质和两个相似矩形的特征得出方程，并运用换元的思想方法求出了相似比，这样学生 就能够更加直观地

10、进行观察、猜测、推理、交流等数学活动 3. 抓住本质，开放探索 问题 3：在矩形 ABCD 中，如果把矩形沿对角线折叠，你能求出什么？ 师：刚才我们是研究最简单的矩形折叠，下面让我们来探讨沿着某直线折叠后构成全等三 角形或相似三角形的情形。请看问题3，将矩形沿着它的对角线折叠，你能求出什么？ 提出问题“你能求出什么”，又是结论开放，激发了学生探知的欲望，有力地培养学生读 取图象信息的能力和探索创新的精神 从这个折叠图形， 同学们能得到哪些结论呢？学生开始用手中的卡纸折叠，互相交流探索， 各抒已见 生 1：我能求出DFB 为等腰三角形 师：为什么？ 生 1：因为矩形折叠沿着对角线折叠之后，EBD

11、= ABD ，由 DC 平行于AB ，得到 CDB= ABD ，从而 EBD= CDB，所以 DF=BF ，因此 DFB 为等腰三角形 师：很好，还有吗？ 生 2：我能证明DEF BCF 师：嗯，证证看 生 2：将矩形折叠后，DE=DA=BC ， E 和 C 是对应角，再加上一组对顶角，根据全等 三角形的知识能够得到DEF BCF 师：很好，还有吗？ 生 3：那么根据DEF BCF ，能够推出DF=BF ，也可以说明DFB 为等腰三角形 师：非常好，还有吗？ 生 4：我发现折叠后整个图形中，ABD 与 EBD 关于 BD 成轴对称， ABD 与 CBD 成中心对称，因此这三个三角形都是全等三角

12、形 师：大家说得都很好，思维很活跃，如果我给出矩形的长AB=5 ，宽 AD=3 ，你能求出什 么？ 教师对刚才分析后的图形添加了已知线段的长度，让学生求出其他线段的长度，结论的开 放程度更加地具体，同学们纷纷拿起笔在学案上开始计算 生 5：在 ABD 中，我根据勾股定理可以求得BD=34 生 6： 由刚才两位同学的全等三角形或者等腰三角形都能求出CF 和 BF 的长度，设 BF= x ， - 5 - 则 DF=x, CF=5-x ，在 BCF 中，根据勾股定理列方程计算得到 师：好的，请这位同学到黑板上板演解题过程 学生板书如下： 解： CF2+BC 2=BF2 (5-x) 2+32=x2 2

13、5-10x+x 2+9=x2 x= 5 17 所以 BF= 5 17 ,CF= 5 8 师：求出线段BF 的长度，那么其他线段的长度也就迎刃而解。因此，同学们在解题过程 中要勇于动脑思考，挖掘题目中的隐含条件 【点评 】 ：老师注重引导学生从不同的角度思考问题，培养学生发现图象信息的能力，在 课堂上留给学生更多的空间和展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在 老师的鼓励和同学的欣赏中展示自我，找到自信，体验成功的乐趣 问题 4：已知矩形ABCD 中，长 AB=5 ，宽 AD=3 ，如果沿 BE 折叠，使 A 点落到 CD 上， 你能求出什么？ 师：将矩形沿着BE 折叠，使A 点

14、正好落到CD 上，你们能求出什么？ 随着老师引导学生不断地分析图形，矩形折叠的要求不断加大，难度也随之提高，教师不 断地以阶梯式、引导式的提问让学生去积极思考折叠的情形 学生分组讨论， 仔细观察此时图形中出现的许多直角三角形，纷纷思考这些直角三角形之 间的关系 生 1：我可以解直角三角形BCF 师：好的，说说看 生 1：因为矩形沿着BE 折叠后， 点 A 与点 F 对称，那么 ABE FBE， 所以 BF=AB=5 ， 在 RtBCF 中,利用勾股定理可求得CF=4 师：很好，那能不能求出线段DE 的长度呢？ 大家纷纷思考，分组展开讨论，教师巡视，了解各小组的讨论进展情况，及时地引导，并 加入

15、讨论的行列，课堂气氛非常热烈，下面展示几种同学们认可的解题结果： 生 2：由 CF=4，我可以继续求出DF=1，设 DE=x ，则 EA=3-x,EF=3-x, 在 RtDEF 中， 根据勾股定理得： - 6 - DF 2+DE2=EF2 1 2+x2=(3-x)2 1+x 2 =9-6x+x 2 x= 3 4 即 DE= 3 4 生 3：我可以直接由DEF CFB 得到： BC DF CF DE 3 1 4 x x= 3 4 师 ：大家说得都不错，学数学就得大胆地思考，这样思维才更加灵活，解题的方法才会 不断增多 生 4：老师，我还有一种特殊方法可求AE 师 ： （惊喜地）请讲 生 4：连接

16、 AF，由 A、F 对称很容易证明AEB DFA， AD AB DF AE 可求得 3 5 1 AE 故 求出 AE= 3 5 ，所以 DE=3- 3 5 = 3 4 师 ：这就叫创造。不是创造出什么东西才叫创造，只要依据所学知识和所获得的方法， 提炼出解决实际问题的方法，这就是创造（其实应该叫创新） 【点评 】 ：学生在自主学习中，自发地在本组内充分交流，既给学生提供了展示表现的机 会，又增强了学生的合作意识。当学生的归纳总结时，教师适当的补充和提升 问题 5：已知矩形ABCD 中，长 AB=5 ，宽 AD=3 ，把矩形沿BE 折叠，使A 点落在矩 形的外面，如果AE= 2 5 ，求 DP，

17、 CQ 的长 随着学生们探索折叠问题的热情不断高涨，老师给出问题的难度不断加深，将点A 折叠 到矩形的外面，考察学生能否借助于刚才的思考方法去探索 师：如果我们将矩形沿BE 折叠，使 A 点落在矩形的外面，可以得到哪些图形相似呢？ 众： AEB FEB、 DEP FQP、 FQP CQB、 DEP CQB - 7 - 师：利用这些图形的相似，如何去求DP，CQ 的长呢？ 学生纷纷讨论，但是利用现有相似图形去求DP，CQ 的长，学生很难与已知条件结合在 一起，让学生陷入了沉思。这时，教师及时提示、引导 师：由已知图形相似很难求出相似比，但我们可以结合以上折叠的方法思路去思考呀，可 以通过添加辅助

18、线转化为熟悉图形呀 学生们议论纷纷，回顾刚才的一系列折叠问题，展开了热烈地讨论 在教师的引导和提示下，作一条平行线经过F 点，如图所示，转化为上一个问题4 的情 形，想一想，能得到什么信息？刚才的问题4，我同样得到MEF NFB 师：那这两个相似三角形的相似比是多少呢？ 生 1：由折叠课知EF=AF= 2 5 ，根据 MEF NFB，相似比就为EF：FB= 2 5 ：5=1：2 师：嗯，很好。那知道了相似比，我们怎么求DP，CQ 的长呢？同学们小组合作，一起 动脑思考吧 经过一番讨论， 第四合作小组的同学们想到了用方程的思想去解决，他们推选出学生代表 到事物投影仪展示台上板演 生 2：设 MF

19、=x ，ME=y ，相似比为1：2，则 BN=2x ，FN=2y ，可列方程组得： 2 3 2 2 2 5 52 y x xy yx 解之得，从而求出MF=2 ，FN=3，BN=4 再由 CQFN ,得 BCN BNF，从而有： BN BC FN CQ 4 3 3 CQ CQ= 4 9 同理可得： DM= 3 2 师：第四合作小组的同学们想得非常好，掌声鼓励一下 全场响起了热烈的掌声，其他小组的同学和听课教师都为这组同学们的发现纷纷喝彩！ 师：像这样将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，我们在数学中称之为“化归” 的思想。化归在数学解题中几乎无处不在，化归的主要功能就是生疏化成熟悉，复杂化

20、成简单， - 8 - 化归是我们数学中的一个重要思想方法 【点评 】 ：数学思想方法是解决数学问题的灵魂，正确运用数学思想方法，也是成功解决 的关键，本题借助辅助线构造成“问题4”的几何模型，运用化归的思想方法，借助“问题4” 的方法结论去解决“问题 5” 问题 6：已知矩形ABCD 中，长 AB=5 ，宽 AD=3 ，如果 AE=2 ，把矩形沿着GE 折叠， 使 A 点折叠到DC 上，求折痕EG 的长度？ 师：前面同学们对矩形的折叠已经有了一定的认识，讨论得也比较热烈，在这道题的折叠 中，你能根据已知线段求出什么呢？ 这道题不仅仅考察了矩形的简单折叠，折叠的要求是一个顶点正好落在对边上，而且

21、给出 了具体线段的长度，也就是明确了折痕的位置，是前面几个问题的一个综合运用。教师充分调 动同学们的积极性，让学生去合作、猜想、讨论 生 1：老师，我可以求出许多特殊角 师：嗯，说说看 生 1：由题意可得到EF=AE=2 ，DE=AD-AE=1, 在 RtDEF 中， AE=2 EF=2，DE=1 在 RtDEF 中， cosDEF= 2 1 EF DE ， DEF=60 FEG=GEA=60 生 2：老师，由这些特殊角，可以根据三角函数关系去求许多线段的长。比如DF、CF、 AG、 BG 等 师：这两位同学说得都很对，那怎样去求折痕EG 的长度呢？ 生 3：在 RtAEG 中， GEA=60

22、 ， AE=2 cos60= EG AE EG 2 2 1 EG=4 生 4：也可以利用DEF 与 AEG 相似可得EG 的长度 - 9 - 师：其实，还可以经过G 点作 DC 的垂线段，构造直角三角形去求解，由于时间关系， 这种方法留到课后去思考吧 4. 课堂小结，畅谈收获 师：很高兴和大家一起探讨、研究矩形的折叠问题，由最基本的沿着中线折叠，到沿着对 角线折叠， 再到复杂的有条件限制的折叠，同学们都能够积极思考、通过小组合作的形式掌握 矩形折叠的实质和解题的方法。通过这节课的学习， 大家有哪些收获？尤其是矩形折叠的问题， 大家谈谈自己的看法 生 1：我认为矩形折叠后会得到直角三角形，运用勾

23、股定理求相应的边长 生 2：矩形折叠后可以得到全等三角形或相似三角形 生 3：有时遇到特殊边、特殊角，还可以运用锐角三角函数的知识去解直角三角形 生 4：我发现在折叠后的图形中对称点的连线垂直平分折痕 生 5：我认为这节课我们学到了折叠问题中的各种解题方法和解题的技巧。今后我们不管 是遇到四边形的折叠，还是其他图形的折叠，都可以用这些思想方法去解决 师：同学们说得非常好，这节课我们主要研究矩形折叠中的边角关系，始终抓住 “折痕的 位置”变化这条主线， 分别对各种形式的折叠问题进行了探讨，希望同学们今后学数学多动手、 动口、动脑，就一定用能我们所学的数学知识去解决许多生活中的实际问题 三、课例反

24、思 本节课教师在课堂上始终通过折叠问题的设置，不断加大问题的难度， 有梯度地慢慢引入， 符合学生的认知水平，调动了学生探索的积极性。本节课采用了独立思考、交流探讨、 启发教 授、小组合作相结合的教学方式，同时以开放的问题为载体，通过学生的动手实践，让学生们 真正动起来、说起来、想起来。在问题的解决不是单凭教师直接把结论“塞”给学生，而是恰 倒好处地激发、 利用学生的思维火花，让学生真正理解问题解决的来龙去脉与前因后果，反复 提问：你能求出什么？让学生主动参与活动、参与研究，体现了“教师为主导，学生为主体， 探究为主线，思维为核心”的教学思想，培养了学生良好的学习习惯和思维品质。 【参考文献】 许芬英怎样的课堂教学比较理想中国数学教育，2007 年， 9 期， 17 页 毛旭波有趣的矩形折叠数学教育，2006 年， 3 期， 19 页 国家数学课程标准北京师大出版社 - 10 - 作者简介： 颜小兵，男， 1978 年 1 月生，江苏省姜堰市第四中学教科室副主任，姜堰市数学学科带 头人，江苏省教育学会会员，江苏省凤凰数学网版主，数学周报特约编辑。公开发表省级 以上论文累计80 多篇， 现主持市级课题 初中数学小组合作学习模式探究，长期致力于初中 数学教育教学的研究。 电话： 13775798321