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1、3.7 点到平面的距离同步练习 基础达标（限时 20分钟） 1若 O 为坐标 原点， OA(1， 1， 2)，OB(3，2，8)，OC(0，1，0)，则线段AB 的中点 P 到点 C 的距离为() A. 165 2 B2 14 C.53 D. 53 2 解析由题意 OP1 2(OA OB ) 2， 3 2，3 ， PCOCOP(2， 1 2， 3)， PC|PC| 4 1 49 53 2 . 答案D 2如右图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1的中心，则O 到 平面 ABC1D1的距离是() A. 1 2 B. 2 4 C. 2 2 D. 3 2 解析以
2、 D 为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐 标系，则有D1(0，0， 1)，D(0， 0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0， 1)，C1(0，1， 1). 因 O 为 A1C1的中点，所以 O 1 2， 1 2，1 ，C1O 1 2 ， 1 2，0 ，设平面 ABC1D1的法向量 为 n (x， y，z)，则有 n AD1 0， n AB 0， 即 xz0， y0， 取 n(1，0，1)， O 到平面 ABC1D1的距离为： d |C1O n| |n| 1 2 2 2 4 . 答案B 3在直角坐标系中，设A(2，3)，B(3， 2)，
3、沿 x 轴把直角坐标平面折成120 的二 面角后，则A、B 两点间的距离为() A2 11 B.11 C.22 D3 11 解析如图， ABAE EFFB， AB 2 AE 2EF 2FB 22AE EF2AE FB2EF FB AE 2EF 2FB 22AE FB 9254 2 3 2 1 244. |AB|2 11. 答案A 4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是 1，则直线 DA 1与 AC 间的距离为 _ 答案 3 3 5若平面的一个法向量为u1 (3，y，2)，平面 的一个法向量为 u2(6， 2， z)，且 ，则 yz_ 解析 ， u1u2. 3 6 y 2 2 z. y1，
4、z 4.yz 3. 答案3 6如图所示，已知四边形ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为a 的正方形，点P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点，求： (1)PM 与FQ 所成的角； (2)P 点到平面EFB 的距离 解建立空间直角坐标系，使得D(0，0， 0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a， 0)， M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0， a，a)，则由中点坐标公式得P a 2，0， a 2 ，Q a 2， a 2，0 ， (1)所以 PM a 2，0， a 2 ，FQ a 2， a 2， a ， PM FQ a 2 a 20 a 2 (a) 3 4a 2， 且|
5、PM| 2 2 a，|FQ | 6 2 a， 所以PM，FQ PM FQ |PM|FQ| 3 4a 2 2 2 a 6 2 a 3 2 ， 故得两向量所成的角为150 . (2)设 n(x，y，z)是平面 EFB 的单位法向量，即|n|1，n平面 EFB，所以 nEF ， 且 n BE ，又 EF (a，a，0)， BE (0 ， a， a) ， 即 由 x 2y2z21， axay0， ayaz0 得 其 中 的 一 组 解 是 x 3 3 ， y 3 3 ， z 3 3 ， n 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ，PE a 2，0， a 2 ， 设所求距离为d，则 d|PE n| 3 3 a
6、. 综合提高（限时 25分钟） 7如图所示，在直二面角DAB E 中 ，四边形ABCD 是边长为2 的正方形， AEB 是等腰直角三角形，其中AEB90 ，则点 D 到平面 ACE 的距离为 () A. 3 3 B.2 3 3 C.3D2 3 解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1，0)，E(1，0，0)，D(0，1，2)， C(0，1，2). AD(0，0，2)，AE(1，1， 0)， AC(0，2，2)，设平面ACE 的法向量n(x，y，z)， 则 n AE0， n AC0. 即 xy 0， 2y2z 0. 令 y1， n(1， 1， 1) 故点 D 到平面 ACE 的距离 d|A
7、D n |n| | 2 3 | 2 3 3 . 答案B 8已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点A 到直线 BE 的距离是() A. 6 5 5 B.4 5 5 C.2 5 5 D. 5 5 解析如图所示， BA(2，0，0)， BE(1，0，2)， cos |BA BE| |BA|BE| 2 25 5 5 ， sin 1cos2 2 5 5， A 到直线 BE 的距离 d|AB|sin 2 2 5 5 4 5 5 . 答案B 9在棱长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1中，点 A 到平面 A1BD 的距离为 _ 解析以 D 为空间直角坐标原点，
8、以DA、DC、DD1所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴 建立坐标系，则D(0， 0，0)，A(a，0，0)，B(a，a， 0)， A1(a，0， a) 设 n(x，y， z)为平面 A1BD 的法向量， 则有 n DA1 0， n DB0， 即 （x，y，z） （ a，0，a） 0， （x，y，z） （ a，a，0） 0. xz0， xy 0， 令 x1， n(1， 1， 1) 点 A 到平面 A1BD 的距离 d |DA n| |n| a 3 3 3 a. 答案 3 3 a 10在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为 2， E 为 A1B1的中点，则异面直线D1E 和 BC1间的距
9、离是 _ 解析如图所示建立空间直角坐标系，设 n 为异面直线D1E 与 BC1公垂线的方向向量， 并设 n(x，y，z)， 则有 n BC1 0， n D1E 0， 易求得 n(1， 2，1)， d|D 1C1 n| |n| |（0，2，0） （ 1， 2，1）| 141 4 6 2 6 3 . 答案 2 6 3 11 边长 为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分别为 BB1、 CC1的中点，DG 1 3DD 1， 过 E、 F、G 的平面交 AA1于点 H，求 A1D1到面 EFGH 的 距离 解如图，以点D 为坐标原点，分别以DA、DC、DD 1所在直线为 x 轴、 y
10、 轴、 z轴建 立空间直角坐标系， 则 E 1，1， 1 2 ，F 0，1， 1 2 ， G 0， 0， 1 3 ， D1(0，0，1) EF ( 1，0，0)，FG 0， 1， 1 6 ， 设平面 EFGH 的法向量n(x，y，z)， 则 n EF 0 且 n FG 0， 即 x0， y 1 6z0. 令 z 6，可得 n(0， 1，6) 又D1F (0，1， 1 2) ， d |D1F n| |n| 437 37 . 又 A1D1平面 EFGH A1D1到平面 EFGH 的距离为 4 37 37 . 12(创新拓展 )已知 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱， O1是 A1C1与 B1D1 的交点 若点 C 到平面 AB1D1的距离为 4 3，求正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的高 h. 解建立如图所示的坐标系，则A(0，0， h)，B1(1，0，0)，C(1，1，h)，D1(0，1，0) AB1 (1， 0， h)，AD1 (0，1， h)，AC (1，1，0) 设平面 AB1D1的一个法向量为n (x，y，z) 由 n AB1 0， n AD1 0 得 xhz0， yhz0， 取 z1 得 n(h，h， 1) C 到平面 AB1D1的距离 d |n AC| |n| hh0 h 2h21 4 3， h2.