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1、第3课时正方形知识点1正方形的定义及性质1如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有(C)A4个 B6个C8个 D10个 第1题图 第3题图2已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC16 cm，则DO8cm，OCD453如图，在正方形ABCD的外侧作等边ADE，则BED的度数是454已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若ECAC，AE交CD于点F，求AFC的度数解：四边形ABCD是正方形，ACD45，BCDDCE90.ACE135.ECAC，E22.5.AFC9022.5112.5.知识点2正方形的判定5在四边形ABCD中，AC，
2、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的条件是(A)AOAOBOCOD，ACBDBABCD，ACBDCADBC，ACDOAOC，OBOD，ABBC6如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：DAB90，使得该菱形为正方形7如图，点A，B，C，D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AABBCCDD.求证：四边形ABCD是正方形证明：四边形ABCD是正方形，ABBCCDDA.又AABBCCDD，DAABBCCD.ABCD90，AADBBACCBDDC.ABBCCDDA，13.四边形ABCD是菱形又13，1290，2390.D AB90.四边形ABCD是正方形.重难
3、点正方形的性质与判定如图，在矩形ABCD中，AE平分BAD，交BC于E，过E作EFAD于F，连接BF交AE于P，连接PD.(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)如果AB4，AD7，求tanADP的值【思路点拨】(1)由矩形的性质得出FABABE90，AFBE，从而证出四边形ABEF是矩形，再证明ABBE，即可得出四边形ABEF是正方形；(2)由正方形的性质得出BPPF，BAAD，PAF45，得出ABPH，求出DHADAH5，在RtPHD中，由三角函数即可得出结果【自主解答】(1)证明：四边形ABCD是矩形，FABABE90，AFBE.EFAD，FABABEAFE90.四边形ABEF是矩形A
4、E平分BAD，AFBE，FAEBAEAEB.ABBE.四边形ABEF是正方形(2)过点P作PHAD于H.四边形ABEF是正方形，BPPF，BAAD.ABPH.AE平分BAD，PAF45.AB4，AHPH2.AD7，DHADAH725.在RtPHD中，PHD90.tanADP.【变式训练】如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.(1)求证：HEACGF；(2)当AHDG时，求证：菱形EFGH为正方形证明：(1)连接GE.四边形ABCD是正方形，ABCD.AEGCGE.四边形EFGH为菱形，GFHE.HEGFGE.HEACGF.(2)四边形ABC
5、D是正方形，DA90.四边形EFGH是菱形，HGHE.在RtHAE和RtGDH中，RtHAERtGDH(HL)AHEDGH.又DHGDGH90，DHGAHE90.GHE90.菱形EFGH为正方形,1判定正方形的基本思路：(1)若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；(2)若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；(3)若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；(4)若已知一个四边形，则需要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形也可以直接证明其既是矩形又是菱形2对于正方形性质，应注意应用其性质及由性质得到的一些结论：(1)四角相等，均为 90，四边相等
6、；(2)对角线垂直且相等；(3)对角线平分一组对角得到45角； (4)边长与对角线的长度比为1.另外在几何题中求线段长，一般会用列方程思想，列方程的主要依据是：(1)勾股定理(需要有直角的条件或能构造出直角来)；(2)相似三角形对应边成比例(适用于等角较多易证相似的题目)；(3)线段的和差(一般用于有方位角用锐角函数解决的题型)；(4)特殊图形的性质定理，如等角对等边，平行四边形对边相等等针对这些依据合理利用正方形的一些性质及判定.1(2016内江)下列命题中，真命题是(C)A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形
7、是正方形2(2017枣庄)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(B)A2 B. C. D1 第2题图 第3题图3如图，ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若BAE40，CEF15，则D的度数是(A)A65 B55 C70 D754(2017泰安)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MEAM，ME交AD的延长线于点E.若AB12，BM5，则DE的长为(B)A18 B. C. D. 第4题图 第5题图5如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上
8、，EFAC于点F，连接EC，AF3，EFC的周长为12，则EC的长为(C)A. B3 C5 D66(2017黄冈)已知，如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED457(2017兰州)在ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件下面给出了四组条件：ABAD，且ABAD；ABBD，且ABBD；OBOC，且OBOC；ABAD，且ACBD.其中正确的序号是：8(2017常德)如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AEx，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为y2x24x49(2017广安)如图，四边形ABCD是正方
9、形，E，F分别是边AB，AD上的一点，且BFCE，垂足为G，求证：AFBE.证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ACBE90.ABFCBG90.BFCE，BCECBG90.BCEABF.在BCE和ABF中，BCEABF(ASA)AFBE.10(2017株洲)如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF.求证：(1)DAEDCF；(2)ABGCFG.证明：(1)DEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，DEDF，DCDA，BEDFADC90，EFDDEF45.CDFADFADEADF，CDFADE.在DAE和DCF中，DAEDCF.(2)
10、DAEDCF，DFCDEF45.EFD45，DFC45，EFDDFC90，即GFC90.GFCB.AGBCGF，ABGCFG.11(2017泰州)如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BEAG于E，DFAG于F，连接DE.(1)求证：ABEDAF；(2)若AF1，四边形ABED的面积为6，求EF的长解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD.DFAG，BEAG，BAEDAF90，DAFADF90.BAEADF.在ABE和DAF中，ABEDAF(AAS)(2)设EFx，则AEDFx1，由题意，得2(x1)1x(x1)6，解得x12，x25(舍去)EF2.12(2017攀枝花)如图，正方
11、形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，过点G作GHCE于点H，若SEGH3，则SADF(A)A6 B4 C3 D2习题解析13(2017呼和浩特)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE，EAF135，则以下结论正确的是(C)ADE1BtanAFOCAFD四边形AFCE的面积为提示：过点F作FMAE交EA的延长线与点M，可通过解直角三角形求得各线段的长，进而得解DE，tanAFO，四边形AFCE的面积为.14(2017杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GEDC于点E，GFB
12、C于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，AGF105，求线段BG的长解：(1)AG2GE2GF2.理由：连接CG.四边形ABCD是正方形，A，C关于对角线BD对称点G在BD上，GAGC.GEDC，GFBC，GECECFCFG90.四边形EGFC是矩形CFGE.在RtGFC中，CG2GF2CF2，AG2GF2GE2.(2)作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AMBM，连接AM.设ANx.AGF105，FBGFGBABG45，AGB60，GBN30.ABM15.AMBM，MABABM15.AMN30.AMBM2x，MNx.BN2xx.在RtABN中，AB2AN2BN2，1x2(2xx)2，解得x或x(舍去)BN.BG.