初三向量知识点概括.pdf

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1、平面向量的线性运算 目标导航 1. 通过向量加法的探究， 掌握向量加法概念， 结合物理学实际理解向量加法的意 义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向 量的和向量。 2. 在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意 义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点 向量等。 3. 通过本节内容的学习， 认识事物之间的相互转化， 培养数学应用意识， 体会数 学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4. 通过探究活动， 掌握向量减法概念， 理解两个向量的减法就是转化为加法来进 行，掌握相反向量。 5. 学会

2、分析问题和创造性地解决问题。 能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形 法则作出两向量的差向量。 6. 通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义， 理 解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。 7. 理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平 行。 8. 通过探究，体会类比迁移的思想方法， 渗透研究新问题的思想和方法，培养创 新能力和积极进取精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。 重难点突破 1. 向量加法的运算及其几何意义。 2. 对向量加法定义的理解。 3. 向量的减法运算及其几何意义。 4. 对向量减法定义的理解。 5

3、. 实数与向量积的意义。 6. 实数与向量积的运算律。 7. 两个向量共线的等价条件及其运用。 8. 对向量共线的等价条件的理解运用。 每课一记 一、求若干个向量的和的模( 或最值 )的问题通常按下列步骤进行： (1) 寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式； (2) 用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。 二、1. 向量的加法定义 向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a， BC=b，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记作 a+b，即 a+b=AB+BC=AC 。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2. 向量加法的法则： （1）

4、向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”， 即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 （2）平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则 如图 4，以同一点 O为起点的两个已知向量a、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线 OC就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量 加法的平行四边形法则。 3. 向量 a，b 的加法也满足交换律和结合律： 对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a

5、=a 。 两个数相加其结果是一个数， 对应于数轴上的一个点； 在数轴上的两个向量相 加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。 当 a，b 不共线时， |a+b| |a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)； 当 a，b 共线且方向相同时， |a+b|=|a|+|b|； 当 a，b 共线且方向相反时， |a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量 a 的长度 大于向量 b 的长度时， |a+b|=|a|-|b|；当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时， |a+b|=|b|-|a|。 一般地，我们有 |a+b| |a|+|b|。 如图 5，作AB=a，AD=b，以

6、AB.AD为邻边作ABCD ，则 BC=b，DC =a。 因为 AC=AB +AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以 a+b=b+a 。 如图 6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+ CD=(a+b)+c ， AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c) ，所以 (a+b)+c=a+(b+c) 。 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。 特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得 新知识的过程与方法。 三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算， 最后回扣物理问题，解决问题。 四、向量也有减法运算。 由于方向反转两次仍

7、回到原来的方向，因此a 和-a 互为相反向量。 于是-(-a)=a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。 所以，如果 a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。 1. 平行四边形法则 图 1 如图 1， 设向量AB=b，AC=a， 则AD=-b， 由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b 。 又 b+BC=a，所以 BC =a-b。 由此，我们得到 a-b 的作图方法。 图 2 2. 三角形法则 如图 2，已知 a、b，在平面内任取一点 O ，作 OA=a，OB=b，则BA=a-b，即 a-b

8、 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 （1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。 与数 x 的相反数是 -x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作 -a。 （2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b) ， 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 规定：零向量的相反向量是零向量。 (3) 向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的 几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。 五、我们规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记 作 a，它的长度与方向规定如下： (1)

9、| a|=| |a|； (2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方 向相反。 由(1) 可知， =0时，a=0。 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。 实数与向量的积的运算律 设 、 为实数，那么 (1) (a)=( )a; (2)( +)a=a+a; (3) (a+b)= a+b. 特别地，我们有 (- )a=-( a)=(-a) ，(a-b)= a- b。 向量共线的等价条件是： 如果 a(a0)与 b 共线，那么有且只有一个实数，使 b=a。共线向量可能有以下几种情况： (1) 有一个为零向量； (2) 两个都为零向量； (3)

10、 同向且模相等； (4) 同向且模不等； (5) 反向且模相等； (6) 反向且模不等。 数与向量的积仍是一个向量， 向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大 小由| | |a| 确定。它的几何意义是把向量a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或 缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面 内没有公共点； 而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条 直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量 a、b，以及任意实数 、 1、2，恒有 (1a2b)=1a2b。 经典例题 例 1 化简： (1) BC +AB (2) DB+C

11、D+BC (3) AB+DF+CD+BC+FA 解： (1) BC +AB=AB+BC=AC (2) DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0 (3) AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+CD+DF+FA =AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0 解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。 例 2 若 AC=a+b，DB=a-b 当 a.b 满足什么条件时， a+b与 a-b 垂直？ 当 a.b 满足什么条件时， |a+b|=|a-b|？ 当 a.b 满足什么条件时， a+b平分 a 与 b 所夹的角？ a+b与 a-b

12、可能是相等向量吗？ 解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量 AC、DB恰为平行四边形的 对角线。 由平行四边形法则，得 AC=a+b，DB=AB-AD =a-b。 由此问题就可转换为： 当边 AB 、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|) 当边 AB 、AD满足什么条件时，对角线相等？(a.b 互相垂直 ) 当边 AB 、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a.b 相等) a+b与 a-b 可能是相等向量吗？ (不可能，因为对角线方向不同) 解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到 在解决向量问题时， 可以利用向量的几何意义构造几何图形，转

13、化为平面几何问 题。 练习题 1. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB=a， AC =c，BC=b，则|a+b+c| 为( )。 A.0 B.3 C. 2 D.2 2 2. 设 a=(AB+CD)+( BC +DA) ， b是任一非零向量，则下列结论中正确的为 ( )。 ab；a+b=a；a+b=b；|a+b| |a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。 A. B. C. D. 3. 下列等式中，正确的个数是( )。 a+b=b+a a-b=b 0-a=-a -(-a)=a a+(-a)=0 A.5 B.4 C.3 D.2 4. 如图 7， D、 E、 F 分别是 ABC的边 AB、B

14、C、CA的中点，则AF - DB等于( ) 。 A.FD B. FC C.FE D.BE 5. 下列式子中不能化简为 AD的是( ) 。 A.( AB+CD)+BC B.( AD+MB)+(BC+CM) C. BMADMB D.OC- OA+CD 6. 已知 A. B.C 三点不共线， O是ABC 内一点，若 OA+OB+OC=0，则 O是ABC的( ) 。 A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 7. 3 1 2 1 (2a+8b)-(4a-2b)等于( )。 A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 8. 设两非零向量 e1、e2 不共线，且 ke1+e2与 e1+ke2共线，则

15、 k 的值为 ( )。 A.1 B.-1 C.1 D.0 9. 若向量方 2x-3(x-2a)=0 ，则向量 x 等于( )。 A.a 5 6 B.-6a C.6a D.- a 5 6 10. 设向量 a，b 都不是零向量： (1) 若向量 a 与 b 同向， 则 a+b与 a的方向 _， 且|a+b|_|a|+|b|； (2) 若向量a 与 b 反向，且 |a| |b| ，则 a+b 与 a 的方向 _，且 |a+b|_|a|-|b|。 11. 如图 17 所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1，设 AB=a，AD=b，1 AA =c，则 1 AC =_。( 用 A、B 、C表示) 12

16、. 在ABC ，AE= 5 1 AB，EFBC ，EF交 AC于 F，设AB=a，AC=b，则BF用 a、 b 表示的形式是 BF=_。 13. 在ABC ，M 、N、P分别是 AB 、BC 、CA边上的靠近 A、B 、C的三等分点， O 是 ABC 平 面 上 的 任 意 一 点 ， 若 OA + OCOB = 3 1 e1- 2 1 e2 ， 则 OPONOM =_。 14. 某人在静水中游泳，速度为34km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游? 15. 在中心为 O的正八边形 A1A2 A8中，a0= 18A A ，ai= 1ii AA (i=

17、1 ，2，7)， bj= OAj(j=1 ，2， 8)，试化简 a2+a5+b2+b5+b7 16. 已知 ABC 为直角三角形， A=90 ， AD BC于 D， 求证： | AB|2=|DB+DA|2+|DC+DA|2 17. 已知两向量 a 和 b，求证： |a+b|=|a-b|的充要条件是 a 的方向与 b 的方向垂 直。 18. 已知 ABC 的重心为 G ，O为坐标原点， OA=a，OB=b，OC=c， 求证： OG=3 1 (a+b+c) 19. 对判断向量 a=-2e 与 b=2e是否共线 ?有如下解法： 解：a=-2e，b=-2e，b=-a。a 与 b 共线。请根据本节所学的共线知识给以 评析, 如果解法有误，请给出正确解法。