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1、2011 届高三数学一轮复习测试题 （平面向量） 本试卷分第 卷(选择题 )和第 卷(非选择题 )两部分。满分150 分。考试时间120 分钟。 第卷(选择题共 60 分) 一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。) 1(08 全国 )在 ABC 中， AB c，AC b，若点 D 满足 BD 2DC ，则 AD () A. 2 3b 1 3c B.5 3c 2 3b C.2 3b 1 3c D. 1 3b 2 3c 答案 A 解析 AD AB BD AB 2 3BC c2 3(b c) 2 3b 1 3c，故选 A
2、. 2已知 O、A、M、B 为平面上四点，且OM OB (1 )OA ， (1,2)，则 () A点 M 在线段 AB 上B点 B 在线段 AM 上 C点 A 在线段 BM 上DO、A、M、B 四点共线 答案 B 解析 OM OB OA OA (OB OA )OA ， 则OM OA (OB OA )，即 AM AB . (1,2)，点 M 在线段 AB 的延长线上，即点B 在线段 AM 上 3(文)已知 a、b 均为非零向量，命题p：a b0，命题 q：a 与 b 的夹角为锐角，则p 是 q 成立的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当
3、 a 与 b夹角为 0 时， a b0；p? / q， 当 a 与 b 夹角 为锐角时， a b |a| |b|cos 0， q? p. (理 )已知 a(1,3)，b(1,1)，ca b，若 a 和 c 的夹角是锐角， 则 的取值范围是 () A. 5 2， B. ， 5 2 C0 D. 5 2， 0 (0， ) 答案 D 解析 由条件得， c (1 ，3 )，从而 a c 1 3(3 )0 1 1 3 3 ? 5 2，0 (0， ) 4若 |a|2， |b|2，且 (ab)a，则 a 与 b 的夹角是() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 B 解析 由(a b) a 得， (a
4、b) a0， a2a b0. |a|2，|b|2，2|a|b|cosa，b 0. cosa， b 2 2 .0a，b ， a， b 4. 5(文)已知向量a(2,2)，b (5，k)若 |ab|不超过 5，则 k 的取值范围是() A 4,6 B 6,4 C6,2 D2,6 答案 C 解析 |ab|(3， k2)|(k2) 2325，(k2)242，6k 2.选 C. (理 )已知 a(m，n)，b(p， q)，且 mn5， pq3，则 |ab|的最小值为 () A4B42C6D8 答案 B 解析 由基本不等式知，x 2 y21 2(xy) 2， |ab|(mp)2(nq)2 2 2 (mpn
5、q) 2 2 84 2， 当 mpnq4 时等号成立 6半圆的直径AB4，O 为圆心， C 是半圆上不同于A、B 的任意一点，若P 为半径 OC 上的动点，则(PA PB ) PC 的最小值是() A2B0C 2D 1 答案 C 解析 如图 (PA PB ) PC 2PO PC 2|PO | |PC | 2 |PO |PC | 2 2 2， 等号在 |PO | |PC |，即 P 为 OC 的中点时成立 7已知两点M(2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN | |MP |MN NP 0， 则动点 P(x，y)的轨迹方程为() Ay 28x By2 8x Cy 24x D
6、 y2 4x 答案 B 解析 |MN | |MP |MN NP |MN | |MP |MN | |NP |cos |MN | (|MP |NP | cos ) 0( 为MN 与NP 的夹角 )， |MN | 0，|MP | |NP | cos 0， |MP |NP | cos( )， |MP |PK |， 如下图，又 MO2， 方程为 y 2 8x，选 B. 8(文)在 ABC 中， AB3，BC2， A 2，如果不等式 |BA tBC | |AC |恒成立，则 实数 t 的取值范围是() A1， ) B (， 1 2 1， ) C1 2，1 D (， 0 1， ) 答案 B 解析 |BA t
7、BC |AC |? |BA | 22tBA BC t 2|BC | 2|AC | 2， 在ABC 中，易知 AC1， B 30 ，故得 2t 23t10，解得 t1 2或 t 1.故选 B. (理 )在 ABC 中，若对任意kR，有 |BA kBC |AC |，则 ABC 的形状是 () A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 原不等式两边平方可化为BA 2 2k BA BC k 2 BC2 AC2 ， kR ， 4(BC BA ) 24(BA 2 AC 2 )BC 20，BA 2cos2BBA 2 AC 20，|BA |sinB|AC |，而
8、|BA |sinB 表示 BC 边上的高长，所以有|BA |sinB|AC |，从而 AC 即为高，即 C90 .故选 B. 9已知向量a(2,3)，b(1,2)，若 mab 与 a2b平行，则实数m 等于 () A. 1 2 B 1 2 C 2D 2 答案 B 解析 mab (2m1,3m2)，a2b(4， 1)， 若 mab 与 a2b平行，则 2m1 4 3m2， 即 2m1 12m8，解之得m 1 2. 10已知 |a|2|b| 0，且关于x 的方程 x 2|a|xa b0 有实根，则 a 与 b 的夹角 的取 值范围是() A 6， B 3， 2 C 3， D 6， 2 答案 C 解
9、析 由条件得： |a| 24a b0，即 cos a b |a|b| |a| 2 4|a|b| 1 2，所以 a 与 b 的夹角 的 取值范围是 3， 故选 C. 11已知等腰直角ABC， B90 ，AB2，点M 是 ABC 内部或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则 AN AM 的最大值为() A4B5C6D7 答案 C 解析 如图， AN AM |AN | |AM | cosMAN5 |AQ|，显然当M 与 C 重合时， |AQ| 最大， 当 M 点与 C 点重合时， AM AN 取得最大值 cosCAN( 5) 2(2 2) 21 252 2 3 10 10 AC AN |AC |A
10、N | cosAC ，AN 2253 10 10 6.故选 C. 12数列 an中 a11， a5 13，an2 an2an1；数列 bn 中，b26，b33，bn2bnb 2 n1， 在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，Pn(an，bn)，则向量 P1P2 P3P4 P5P6 P2009P2010的坐标为() A. 3015，8 1 2 10051 B. 3012，8 1 2 10051 C. 3015，8 1 2 20101 D. 3018，8 1 2 20101 答案 C 解析 依题意得 an 成等差数列，由a5a14d14d13 得 d
11、3. bn成等比数列， 由 q b3 b2 3 6 1 2.P1P2 (a2a1，b2 b1)，P3P4 (a4a3，b4b3)，P5P6 (a6a5，b6b5)， P2009P2010(a2010a2009，b2010b2009) an1an d3，bn1bnbn(q1) 1 2bn， P1P2 P3P4 P2009P2010 1005d， 1 2(b1b3b2009) 3015，8 1 2 20101 . 第卷(非选择题共 90 分) 二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13设 F1是椭圆 x 2 4 y21 的左焦点， O 为坐标原点
12、，点P 在椭圆上，则 PF1 PO 的取值范 围是 _ 答案 0,423 解析 设 P(x，y)，则 PF1 PO (3x， y) ( x， y)x 2 3xy 2 x2 3x 1 1 4x 2 3 4x 2 31( 3 2 x1) 2 3 4 x 2 3 3 2，x 2，2 所求范围为 0,42 3 14(08 陕西 )关于平面向量a，b， c，有下列三个命题： 若 a ba c，则 bc. 若 a(1，k)， b(2,6)，ab，则 k 3. 非零向量a 和 b 满足 |a|b|ab|，则 a 与 ab的夹角为60 . 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号) 答案 解析 a ba c
13、 时， a (bc)0， a(bc)不一定有b c， 错 a(1，k)，b(2,6)，由 ab 知， 16( 2k)0，k 3，故 对 也可以由ab， 存在实数 ，使 a b， 即(1，k) (2,6)(2 ，6 )， 2 1 6 k ，k 3. 非零向量a，b 满足 |a|b|ab|，则三向量a、b、 ab构成正三角形如图 由向量加法的平行四边形法则知，ab平分 BAC， ab 与 a 的夹角为30 ，错 15设向量a 与 b 的夹角为 ，a (2,1)，a3b(5,4)，则 sin _. 答案 10 10 解析 a(2,1)，a3b(5,4)， b(1,1)cos a b |a|b| 3
14、2 5 3 10 . 又 0， ， sin 1 cos 2 10 10 . 16(文)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若OB a100OA a101OC ，且 A、B、C 三点共 线(该直线不过点O)，则 S200等于 _ 答案 100 解析 由条件可得a100a1011，即 a1a2001，从而 S200100.故填 100. (理 )设 P、Q 为 ABC 内的两点，且AP 2 5AB 1 5AC ，AQ 2 3AB 1 4AC ，则 ABP 的面积 与 ABQ 的面积之比为 _ 答案 4 5 分析 ABP 与ABQ 有公共边 AB，故面积之比为P、Q 到 AB 边距离之比， 又
15、AP 与 AQ 是以 AB 、AC 为基底的向量，故此比可转化为边AC 上的比例关系 解析 根据题意，设 AM 2 5AB ，AN 1 5AC ，则由平行四边形法则得AP AM AN ，于是 NPAB，所以 SABP SABC |AN | |AC | 1 5，同理可得 SABQ SABC 1 4.故 SABP SABQ 4 5. 三、解答题 (本大题共6 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12 分)(文)已知 a(cos2 ，sin )， b(1,2sin 1)， ( 2，) ，a b 2 5， 求 cos( 4)的值 解析 abcos2 sin (
16、2sin 1)2cos 2 12sin2 sin 1sin ， 由 a b 2 5得 1sin 2 5， sin 3 5. ( 2，) ，cos 1sin 2 4 5. cos( 4) 2 2 cos 2 2 sin 2 2 (4 5) 2 2 3 5 7 2 10 . (理 )已知向量a (sinx， 1)，b(cosx， 3 2) (1)当 ab时，求 cos 2x3sin2x 的值； (2)求 f(x)(ab) b 的最小正周期和单调递增区间 解析 (1)由 ab， 3 2sinxcosx0， tanx 2 3， cos 2x 3sin2xcos 2x6sinxcosx sin 2xco
17、s2x 1 6tanx 1tan 2x 16 2 3 1 2 3 2 45 13. (2) a(sinx， 1)，b (cosx， 3 2)， ab (sinxcosx， 1 2) f(x)(ab) b(sinxcosx)cosx 3 4 1 2(sin2xcos2x) 5 4 2 2 sin 2x 4 5 4，最小正周期为 ，由 2k 22x 42k 2得 k 3 8 xk 8， 故 f(x)的单调递增区间为k 3 8 ，k 8 ，kZ. 18(本小题满分12 分)设函数 f(x)m n，其中 m(2cosx,1)，n(cosx，3sin2x)，xR. (1)求 f(x)的最小正周期与单调减
18、区间； (2)在 ABC 中， a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且f(A)2， 求 A； 若 b1， ABC 的面积为 3 2 ，求 bc sinBsinC的值 解析 f(x)m n2cos 2x 3sin2x 1cos2x3sin2x 2sin 2x 6 1. (1)函数 f(x)的最小正周期T. 令 2k 22x 6 3 2 2k( kZ)， 2k 32x 4 3 2k( kZ)， k 6x 2 3 k( kZ) f(x)的单调减区间为k 6， 2 3 k( kZ) (2) f(A)2sin(2A 6)12， sin(2A 6) 1 2. 0A ， 2A 6 5 6 .A 3. S
19、1 2bcsinA 1 21c 3 2 3 2 ，c 2. 在ABC 中，由余弦定理得， a 2b2c22bc cosA1421 21 23， a3. 由正弦定理得， b sinB c sinC a sinA 3 3 2 2， b2sinB，c2sinC. bc sinB sinC 2sinB2sinC sinBsinC 2. 19(本小题满分12 分)(文)已知向量 a(sin ， 1)，b(1， cos ),0 . (1)若 ab，求 ； (2)求 |ab|的最大值 解析 (1)若 ab，则 sin cos 0， 由此得 tan 1，0 ， 3 4 ； (2)由 a (sin ，1)，b(
20、1，cos )得 ab(sin 1,1cos )， |ab|(sin 1) 2(1cos )2 32(sin cos )32 2sin 4 ， 当 sin 4 1 时， |ab|取得最大值，即当 4时， |ab|的最大值为 21. (理 )设计某项工程，需要等可能地从4 个向量 a (2,3)、b(1,5)、c (4,3)、d(8,1)中任 选两个来计算数量积，若所得数量积为随机变量 . (1)求随机变量 19 的概率； (2)求随机变量 的分布列和期望E( ) 解析 (1)a b213517，a c24 3317， a d2831 19，b c145 319 b d1851 13，c d48
21、3 135 P( 19)P( 19)P( 17)P( 13) 2 6 2 6 1 6 5 6， 数量积 19 的概率为 5 6. (2)数量积 可能取值为13,17,19,35， P( 13) 1 6，P( 17) 2 6 1 3， P( 19) 2 6 1 3，P( 35) 1 6 数量积 的分布列为 13171935 P 1 6 1 3 1 3 1 6 数量积 的期望 E( )13 1 617 1 319 1 335 1 6 20. 20(本小题满分12 分)若 a，b 是两个不共线的非零向量，tR. (1)若 a，b起点相同， t 为何值时， a，tb， 1 3(ab)三向量的终点在一直
22、线上？ (2)若 |a|b|，且 a 与 b 夹角为 60 ，t 为何值时， |atb|的值最小？ 解析 (1)设 atbm a 1 3(a b) ，mR， 化简得 2 3m 1 a m 3 t b， a 与 b 不共线， 2 3m10 m 3 t0 ? m 3 2 t 1 2 ， t1 2时， a，tb， 1 3(ab)的终点在一直线上 (2)|atb| 2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|cos60 (1t 2t)|a|2， 当 t1 2时， |atb|有最小值 3 2 |a|. 21(本小题满分12 分)已知向量a、b、c 是同一平面内的三个向量，其中a(1,2) (1)若
23、|c| 2 5，且 ac，求 c的坐标； (2)若 |b| 5 2 ，且 a2b 与 2a b垂直，求a 与 b的夹角 . 解析 (1)令 c(x，y)，则由 |c|25知 x 2y22 5 又由 ac 知， 2xy0 联立 可解得： x2 y4 ，或 x 2 y 4 ， 故 c(2,4)或 c(2， 4) (2)由 a2b 与 2ab 垂直知 (a2b) (2ab)0， 即 2a 23a b2b20，a b2b 22a2 3 ， 即|a|b|cos 2b 22a2 3 ，cos 2b 22a2 3|a|b| ， 而由 a(1,2)知|a|1 222 5， 又|b| 5 2 ，cos 2 5
24、2 22( 5) 2 3 5 2 5 1， 0， ， . 22(本小题满分14 分)在 ABC 中， AB3，AC 边上的中线BD5，AC AB 5. (1)求 AC 的长； (2)求 sin(2AB)的值 解析 (1)AB AC 5，AB3，AC2AD. AD AB 5 2， DB 2(DA AB ) 2DA2AB2 2DA AB DA 295 22DA 2 45， AD |DA |1，AC2. (2)由 (1)得AD AB 5 2? cosA 5 6，sinA 11 6 . 在ABC 中， BC 2AB2AC22AB ACcosA， BC3. 在ABC 中， AC sinB BC sinA， sinB 33 9 ， cosB4 3 9 . sin(2AB)sin2A cosBcos2A sinB 2sinA cosA cosB(12sin 2A) sinB 2 11 6 5 6 4 3 9 1211 36 33 9 13 33 162 .