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1、第 1 页（共 20 页） 2017 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1 （5 分）已知集合 A=xZ| x2，B= 1，2，3，则 AB=（） A?B 2 C 2，3D x| 2x3 2 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z=i（i 是虚数单位），则 z=（） ABCD 3 （5 分）某校共有在职教师200 人，其中高级教师20 人，中级教师 100 人， 初级教师 80 人，现采用分层抽样抽取容量为50 的样本进行职称改革调研， 则抽 取的初级教师的人数为（） A25 B20 C 12 D5 4 （5 分）“a=0”是“ 直
2、线 l1：ax+y1=0与直线 l2：x+ay1=0垂直” 的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5 （5 分）袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有 “1”“ 2”“ 3”“ 4”“ 6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数 恰好能构成一个等差数列的概率是（） ABC D 6 （5 分）已知函数 f（x）=x在区间 1，2 上是增函数，则 实数 m 的取值范围为（） A4m5 B2m4 C m2 Dm4 7 （5 分）若 x，y 满足约束条件则 x2+y2+4x 的最大（） A20 B16 C 14 D6 8
3、（5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“ 松竹并生 ” 的问题：松长五 尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一 个程序框图，若输入的a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（） 第 2 页（共 20 页） A2 B3 C 4 D5 9 （5 分）过点 P（2，1）的直线 l 与函数 f（x）=的图象交于 A，B两点， O为坐标原点，则（）=（） AB2 C 5 D10 10 （5 分）如图是函数 f（x）=cos （x+ ） （0 ）的部分图象， 则 f（3x0） =（） AB C D 11 （5 分）已知点 P（2，0）是椭圆 C：=1（ab0）的左顶点
4、， 过点 P作圆 O：x2+y2=4 的切线，切点为 A，B，若直线 AB 恰好过椭圆 C的左焦 点 F，则 a2+b2的值是（） A12 B13 C 14 D15 12 （5 分）已知 f（x）=e x，g（x）=lnx，若 f（t）=g（s） ，则当 st 取得最小值 时，f（t）所在区间是（） 第 3 页（共 20 页） A （ln2，1）B （，ln2）C （，）D （，） 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13 （5 分）若双曲线的一条渐近线方程为y=x，且双曲线经过点（ 2，1） ， 则双曲线的标准方程为 14 （5 分）60 名学生某次数学考试成绩（单位：分
5、）的频率分布直方图如图所 示，则成绩不低于80 分的学生人数是 15 （5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，过 F且倾斜角为 60 的直 线 l 与抛物线 C在第一、四象限分别交于 A、 B两点， 与它的准线交于点P， 则 = 16 （5 分）已知点O（0，0） ，M（1，0） ，且圆 C： （x5） 2+（y4）2=r2（r 0）上至少存在一点P，使得 | PO| =| PM| ，则 r 的最小值是 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17 （12 分）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S3=9，a4+a6=a5 （1）求 an的通项公式； （2）求数
6、列 a 的前 n 项和 Tn 18 （12分）已知在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 ab c，C=2A （1）若 c=a，求角 A； （2）是否存在 ABC 恰好使 a，b，c 是三个连续的自然数？若存在，求ABC 的周长；若不存在，请说明理由 19 （12 分）2016 年下半年， 锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球 第 4 页（共 20 页） 比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5 等 5 个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示： 单位A1A2A3A4A5 平均身高 x（单位： cm） 1
7、70174176181179 平均得分 y62 6466 7068 （1）根据表中数据，求y 关于 x 的线性回归方程；（系数精确到 0.01） （2）若 M 队平均身高为 185cm，根据（ I）中所求得的回归方程，预测M 队的 平均得分（精确到0.01） 注 ： 回 归 当 初中 斜 率 和 截 距 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ， 20 （12 分）椭圆 C：过点 A（0，） ，离心率为 （1）求椭圆 C的标准方程； （2）过点（ 1，0）的直线 l 交椭圆 C于 P，Q 两点，N 是直线 x=1上的一点，若 NPQ是等边三角形，求直线l 的方程 21 （12 分）已知函数
8、 f（x）=ax 2ex （aR）在（0，+）上有两个零点为x1， x2（x1x2） （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证： x1+x24 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C的参数方程是（为参数） （1）将 C的参数方程化为普通方程； （2）在直角坐标系 xOy中，P （0，2） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos+sin +2=0， Q 为 C上的动点， 第 5 页（共 20 页） 求线段 PQ的中点 M 到直线 l 的距离的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x1|+| x
9、t| （tR） （1）t=2 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若对于任意的 t 1，2 ，x 1，3 ，f（x）a+x 恒成立，求实数 a 的 取值范围 第 6 页（共 20 页） 2017 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1 （5 分） （2017?绵阳模拟）已知集合A= xZ| x2 ，B=1，2，3，则 AB= （） A?B 2 C 2，3D x| 2x3 【解答】 解： A= xZ| x2 ，B=1，2，3， AB= 2，3 ， 故选： C 2（5 分） （2017?绵阳模拟）若复数 z 满足
10、 （1+i） z=i （i 是虚数单位）， 则 z= （） ABCD 【解答】 解：由（ 1+i）z=i， 得=， 故选： A 3 （5 分） （2017?绵阳模拟）某校共有在职教师200 人，其中高级教师20 人， 中级教师 100 人，初级教师 80 人，现采用分层抽样抽取容量为50 的样本进行职 称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（） A25 B20 C 12 D5 【解答】 解：初级教师 80 人， 抽取一个容量为50 的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为， 解得 n=20，即初级教师人数应为20 人， 故选： B 4 （5 分） （2017?绵阳模拟） “a=0”是“ 直线 l
11、1：ax+y1=0 与直线 l2：x+ay1=0 垂直” 的（） 第 7 页（共 20 页） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】 解：两直线垂直，得到： a?1+1?a=0，解得： a=0， 所以应是充分必要条件 故选： C 5 （5 分） （2017?绵阳模拟）袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个 小球上分别标有 “1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的 三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（） ABC D 【解答】 解：袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球， 每个小球上分别标有 “1”“2”“3
12、”“4”“6”这五个数， 从中随机选取三个小球，基本事件总数n=10， 所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列包含的基本事件为： （1，2，3） ， （2，3，4） ， （2，4，6） ，共有 m=3个， 所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是p= 故选： A 6 （5 分） （2017?绵阳模拟）已知函数f（x）=x在区间 1， 2 上是增函数，则实数m 的取值范围为（） A4m5 B2m4 C m2 Dm4 【解答】 解：函数 f（x）=x， 可得 f （x）=x 2mx+4，函数 f（x）= x在区间 1，2 上是增 函数， 可得 x2mx+40，在区间 1，2 上恒成立
13、， 可得 mx+，x+2=4，当且仅当 x=2，时取等号、 可得 m4 第 8 页（共 20 页） 故选： D 7 （5 分） （2017?绵阳模拟）若 x，y 满足约束条件则 x2+y2+4x 的最 大（） A20 B16 C 14 D6 【解答】 解：根据约束条件画出可行域如图： z=x 2+y2+4x= （x+2）2+y24 表示点 P （2，0）到可行域的点的距离的平方减 4 由，解得 A（2，2） 当点 A 到点 P（2，0）距离最大， z=x 2+y2+4x=4+4+8=16 故选： B 8 （5 分） （2017?荆州模拟）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“ 松竹并 生” 的问题
14、：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如 图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于 （） 第 9 页（共 20 页） A2 B3 C 4 D5 【解答】 解：当 n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件， 当 n=2时，a=，b=8 满足进行循环的条件， 当 n=3时，a=，b=16 满足进行循环的条件， 当 n=4时，a=，b=32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选 C 9 （5 分） （2017?绵阳模拟）过点 P（2，1）的直线 l 与函数 f（x）=的图 象交于 A，B 两点， O为坐标原点，则（）=（
15、） AB2 C 5 D10 【解答】解：f（x）=1+，函数 f（x）=的图象关于点 P （2， 1）对称， 过点 P（2，1）的直线 l 与函数 f（x）=的图象交于 A，B两点， A，B 两 点关于点 P（2，1）对称， ， 第 10 页（共 20 页） 则，| =，（）=25=10 故选： D 10 （5 分） （2017?绵阳模拟）如图是函数f（x）=cos（x+ ） （0 ）的 部分图象，则 f（3x0）=（） AB C D 【解答】 解： f（x）=cos（x+ ）的图象过点（ 0，） ， =cos ， 结合范围 0 ，可得： =， 由图象可得： cos（x 0+ ）=，可得： x
16、 0+ =2 ，解得： x0=， f（3x0）=f（5）=cos（5 +）=， 故选： D 11 （5 分） （2017?绵阳模拟）已知点P（2，0）是椭圆C：=1（a b0）的左顶点，过点P 作圆 O：x2+y2=4 的切线，切点为A，B，若直线 AB 恰好过椭圆 C的左焦点 F，则 a2+b2的值是（） A12 B13 C 14 D15 【解答】 解：由题意， a=2 过点 P作圆 O：x2+y2=4 的切线，切点为A，B，若直线 AB 恰好过椭圆 C的左 焦点 F， APO=45 ，F（，0） ， 第 11 页（共 20 页） c=，b2=82=6， a 2+b2=8+6=14， 故选
17、C 12 （5 分） （2017?绵阳模拟）已知 f（x）=e x，g（x）=lnx，若 f（t）=g（s） ，则 当 st 取得最小值时， f（t）所在区间是（） A （ln2，1）B （，ln2）C （，）D （，） 【解答】 解：令 f（t）=g（s）=a，即 et=lns=a 0， t=lns，s=e a， st=ealna， （a0） ， 令 h（a）=e a ， 则 h （a）=e a ， y=e a递增， y= 递减， 故存在唯一 a=a0使得 h （a）=0， 0aa0时，ea，h （a）0， aa0时，e a ，h （a）0， h（a）min=h（a0） ， 即 st 取最小
18、值是时， f（t）=a=a0， 由零点存在定理验证=0的根的范围： a0=时，0， a0=ln2 时，0， 故 a0（，ln2） ， 故选： B 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13 （5 分） （2017?绵阳模拟）若双曲线的一条渐近线方程为y= x，且双曲线经 第 12 页（共 20 页） 过点（ 2，1） ，则双曲线的标准方程为=1 【解答】 解：由于双曲线的一条渐近线方程为y=x， 则可设双曲线的方程为y 2 x 2= （ 0） ， 由于双曲线经过点（ 2，1） ， 则 =1 8=1， 则双曲线的方程为=1 故答案为：=1 14 （5 分） （2017?绵阳模拟
19、） 60 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率 分布直方图如图所示，则成绩不低于80 分的学生人数是24 【解答】 解：由频率分布直方图得： 10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得 a=0.005， 成绩不低于 80 分的学生所点频率为10（6a+2a）=80a=800.005=0.4， 成绩不低于 80 分的学生人数为： 0.460=24 故答案为： 24 15 （5 分） （2017?绵阳模拟）已知抛物线C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 60 的直线 l 与抛物线 C在第一、 四象限分别交于 A、B两点，与它的 准线交于点 P，则= 【解答】 解：设
20、A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y12=2px1，y22=2px2， | AB| =x1+x2+p=p，即有 x1+x2=p， 第 13 页（共 20 页） 由直线 l 倾斜角为 60 ， 则直线 l 的方程为： y0=（x） ， 联立抛物线方程，消去y 并整理， 12x220px+3p2=0， 则 x1x2=，可得 x1=p，x2=p， 则| AP| =4p， =， 故答案为 16 （5 分） （2017?绵阳模拟）已知点O（0，0） ，M（1，0） ，且圆 C： （x5） 2+（y4）2=r2（r0）上至少存在一点 P，使得| PO | = | PM| ，则 r 的最小值是 5
21、 【解答】 解：设 P（x，y） ， | PO| =| PM| ， x 2+y2=2（x1）2+2y2，即（ x2）2+y2=2， 圆心距 =r+， r 的最小值是 5 故答案为： 5 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17 （12 分） （2017?绵阳模拟）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S3=9， a4+a6=a5 （1）求 an的通项公式； （2）求数列 a 的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （1）设 an的公差为 d，则由题意可得 （3 分） 第 14 页（共 20 页） 解得 a1=4，d=1， （5 分） an=4+1（n1）=n5 （6 分） （2）
22、Tn=a1+a2+a3+ +an+ = （10 分） = = （12 分） 18 （12 分） （2017?绵阳模拟） 已知在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a， b，c，且 abc，C=2A （1）若 c=a，求角 A； （2）是否存在 ABC 恰好使 a，b，c 是三个连续的自然数？若存在，求ABC 的周长；若不存在，请说明理由 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）c=a， 由正弦定理有 sinC=sinA （2 分） 又 C=2A ，即 sin2A=sinA， 于是 2sinAcosA=sinA， （4 分） 在ABC中，sinA0，于是 cosA=， A= （6
23、分） （2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，nN* 由 C=2A ，得 sinC=sin2A=2sinAcosA ， cosA= （8 分） 由余弦定理得=，代入 a，b，c 可得： =， （10 分） 第 15 页（共 20 页） 解得 n=4， a=4，b=5，c=6，从而 ABC的周长为 15， 即存在满足条件的 ABC ，其周长为 15 （12 分） 19 （12 分） （2017?绵阳模拟） 2016 年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统 直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自 A1，A2，A3，A4，A5等 5 个直属单位的男子篮球队
24、的平均身高与本次比赛的平均 得分，如表所示： 单位A1A2A3A4A5 平均身高 x（单位： cm） 170174176181179 平均得分 y62 6466 7068 （1）根据表中数据，求y 关于 x 的线性回归方程；（系数精确到 0.01） （2）若 M 队平均身高为 185cm，根据（ I）中所求得的回归方程，预测M 队的 平均得分（精确到0.01） 注 ： 回 归 当 初中 斜 率 和 截 距 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ， 【解答】 解： （1）由已知有=176， =66， =0.73，=62.48， y=0.73x62.48 （10 分） （2）x=185，代入
25、回归方程得y=0.7318562.48=72.57， 即可预测 M 队的平均得分为72.57 （12 分） 第 16 页（共 20 页） 20 （12 分） （2017?绵阳模拟）椭圆C ：过点 A（0，） ， 离心率为 （1）求椭圆 C的标准方程； （2）过点（ 1，0）的直线 l 交椭圆 C于 P，Q 两点，N 是直线 x=1上的一点，若 NPQ是等边三角形，求直线l 的方程 【解答】 解： （） 点 A（0，）在椭圆 C上，于是=1，即 b2=2 设椭圆 C的焦半距为 c，则，即， 又 a2=b 2+c2，代入解得 a2=8， 椭圆 C的标准方程为=1 ） （）设直线 PQ：x=ty+1
26、，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 联立直线与椭圆方程：，消去 x 得： （t2+4）y2+2ty7=0， y1+y2=，y1y2= 于是 x1+x2=t（y1+y2）+2=， 故线段 PQ的中点 D 设 N（1，y0） ，由| NP| =| NQ| ，则 kND?kPQ=1， 即=t，整理得 y0=t+，得 N 又NPQ是等边三角形， | ND| =| PQ| ，即， 即+=， 第 17 页（共 20 页） 整理得=， 解得 t2=10，t=， 直线 l 的方程是 x1=0 21 （12 分） （2017?绵阳模拟）已知函数f（x）=ax 2ex（aR）在（0，+） 上有两个零点为 x1
27、，x2（x1x2） （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证： x1+x24 【解答】 （1）解： f（x）=ax 2ex（aR）在（ 0，+）上有两个零点， 方程 a=有两个根，等价于 y=a与有两个交点 令 h（x）=，则 h （x）=， （3 分） 于是 x（0，2）时， h （x）0，即 h（x）在（ 0，2）上单调递减； 当 x（2，+）时， h （x）0，即 h（x）在（ 2，+）上单调递增， h（x）min=h（2）=， a 的取值范围为（，+） （5 分） （2）证明： x1，x2（x1x2）是 f（x）=ax 2ex（aR）在（0，+）上的零 点， ax12=，ax22=，
28、 两式相除可得（） 2= （7 分） 令=t（t1） ， 上式变为 t2=，即 x2x1=2lnt， 联立解得： x1=，x2= （9 分） 要证明 x1+x24， 第 18 页（共 20 页） 即证明+4， 即证明 lnt+tlnt2t2 令 h（t）=lnt+tlnt 2t+2，则 h （t）=+lnt1 （10 分） 令 y=+lnt1，y=0， 故 y=+lnt1 在（1，+）上单调递增，故y0，即 h （t）0， 故 h（t）在（ 1，+）上单调递增，故h（t）h（1）=0， 即 lnt+tlnt2t2，得证 （12 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分） （201
29、7?绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（为参 数） （1）将 C的参数方程化为普通方程； （2）在直角坐标系 xOy中，P （0，2） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos+sin +2=0， Q 为 C上的动点， 求线段 PQ的中点 M 到直线 l 的距离的最小值 【解答】 解： （1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1 （5 分） （2）将直线 l 的方程化为普通方程为x+y+2=0 设 Q（cos ，sin ） ，则 M（cos ，1+sin ） ， d=， 最小值是 （10 分） 选修 4-5：不等式选讲 23 （2017?绵阳模拟
30、）已知函数f（x）=| x1|+| xt| （tR） （1）t=2 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若对于任意的 t 1，2 ，x 1，3 ，f（x）a+x 恒成立，求实数 a 的 第 19 页（共 20 页） 取值范围 【解答】 解： （1）当 t=2 时，f（x）=| x1|+| x2| ， 若 x1，则 f（x）=32x，于是由 f（x）2，解得 x，综合得 x； 若 1x2，则 f（x）=1，显然 f（x）2 不成立； 若 x2，则 f（x）=2x3，于是由 f（x）2，解得 x，综合得 x 不等式 f（x）2 的解集为 x| x，或 x （2）f（x）a+x 等价于 af（
31、x）x，令 g（x）=f（x）x， 当1x1 时，g（x）=1+t3x，显然 g（x）min=g（1）=t2， 当 1xt 时，g（x）=t1x，此时 g（x）g（1）=t2， 当 tx3 时，g（x）=xt1，g（x）min=g（1）=t2， 当 x 1，3 时，g（x）min=t2， 又t 1，2 ， g（x）min1，即 a1， 综上， a 的取值范围是 a1 第 20 页（共 20 页） 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123 ；lcb001；刘老师；zlzhan；qiss； 陈远才；双曲线； w3239003；沂蒙松（排名不分先后） 菁优网 2017 年 2 月 23 日