历年中考数学动点问题专集(全)【含答案】.pdf

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1、1 中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、 射线或弧线上运动 的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静 . 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“ 对称、 动点 的运动 ” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力 图形在 动点的

2、运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解 决数学 “ 动点” 探究题的基本思路 ,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（ 2）方程思想；（ 3）数形结合思想；（ 4）分类思想；（ 5）转化思想等研究历年 来各区的压轴性试题， 就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向

3、，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变 化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高， 它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中 2 以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析， 供 读者欣赏 . 1 以双动点为载

4、体，探求函数图象问题 例 1 (2007 年杭州市 )在直角梯形 ABCD 中， C=90 ，高 CD=6cm( 如图 1). 动点 P， Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BA，AD，DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止， 两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点 P 到达点 A 时，点 Q 正好到达点 C. 设 P，Q 同时从 点 B 出发，经过的时间为t(s)时，BPQ 的面积为 y(cm)2( 如图 2). 分别以 t，y 为横、纵坐 标建立直角坐标系， 已知点 P 在 AD 边上从 A 到 D 运动时，y 与 t 的函数图象是图 3 中的线 段 MN. (

5、1)分别求出梯形中 BA，AD 的长度； (2)写出图 3 中 M，N 两点的坐标； (3)分别写出点 P 在 BA 边上和 DC 边上运动时，y 与 t 的函数关系式 (注明自变量的取值 范围)，并在图 3 中补全整个运动中y 关于 x 的函数关系的大致图象 . 评析 本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一 起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参 数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高 与 t 的函数关系式，建立起y 与 t 的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象. 2

6、 以双动点为载体，探求结论开放性问题 例 2 (2007 年泰州市 )如图 5，RtABC 中，B=90 ，CAB=30 .它的顶点 A 的坐标 为(10，0)，顶点 B 的坐标为 (5，53)，AB=10 ，点 P 从点 A 出发，沿 ABC的方向匀速 运动，同时点 Q 从点 D(0，2)出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点 C 时， 两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒. (1)求BAO 的度数 . (2)当点 P 在 AB 上运动时， OPQ 的面积 S(平方单位 )与时间 t(秒)之间的函数图象为 抛物线的一部分， (如图 6)，求点 P 的运动速度 . (3)求(2

7、)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点 P 的坐标 . (4)如果点 P，Q 保持(2)中的速度不变，那么点P 沿 AB 边运动时， OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大；沿着BC 边运动时， OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使 OPQ=90 的点 P 有几个 ?请说明理由 . 解 (1)BAO=60 . (2)点 P 的运动速度为 2 个单位 /秒. 评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、 有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为 2

8、， 然后建立 S 与 t 的函数关系式，利用函数的性质解得问题 (3).本题的难点是题 (4)， 考生要从题目的信息中确定建立以B 为直角顶点的三角形，以B 为临界点进行分类讨论， 进而确定点的个数问题 . 3 以双动点为载体，探求存在性问题 例 3 (2007 年扬州市 )如图 8，矩形 ABCD 中，AD=3 厘米， AB=a 厘米(a3).动点 M， N 同时从 B 点出发，分别沿 BA ，BC 运动，速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB， 分别交 AN，CD 于 P，Q.当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动 .设运动时间为 t 秒. (1)若 a=4 厘米，

9、t=1 秒，则 PM=厘米； (2)若 a=5 厘米，求时间 t，使 PNBPAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中， 存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等， 求 a 的取值 范围； (4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形 PQDA，梯 3 形 PQCN 的面积都相等 ?若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体， 矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、 层层递进， 将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点 主要是题 (3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质

10、用t 的代数式表示 PM，进而利用梯 形面积相等列等式求出t 与 a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的 a 取值范围 . 第(4)小题 是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4 (2007 年吉林省 )如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点A、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作 EH 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 H； 过 F 作 FG 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 G， 连结 HG、EB.

11、设 HE、EF、FG、GH 围成的图形面积为，AE、EB、BA 围成的图形面 积为这里规定：线段的面积为0).E 到达 C，F 到达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s)， 解答下列问题： (1)当 0AD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系 不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的 长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C） 例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的 D C B A E D CB A O F E O C B A 26 直径 CA 和非直径的弦 CD，延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点B、E，则下列结论

12、中正 确的是（* ） （A） ABDE （B） ABDE （C） ABDE （D） ABDE, 的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B） 本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED 中，由于两边之差 小于第三边，则 OEODDE,即 OBOADE,因此 EDAB ,即 ABDE 三、建立联系，计算说明 例 6：如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为. 分析：能否将 DN 和 NM 进行转化，与建立三角形两边之和 大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD

13、 为 正方形， 因此连结 BN， 显然有 ND=NB， 则问题就转化为 BN+NM 的最小值问题了，一般情况下： BN+NM BM,只有在 B、N、M 三 点 共 线 时 ， BN+NM=BM ， 因 此DN+MN的 最 小 值 为 BM= 5 22 CMBC 本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大 于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值， 最后通过勾股定理计算得出结论。 例 7：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边 BC=4，OABC 于 O,点 E 和点 F 分别 在边 AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A

14、 重合。 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若 不变化，求它的值 . AEF 的面积是否随着点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化， 求它的值。 （即例 3 的第 2、第 3 问） 分析： (2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形 AEOF 与 AE长 的 函 数 关 系 式 ， 如 设AE=x ， 则 AF= x22 ， 而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比 = x 22 ，而三角形 AOB 的面积 = 2 2 1 OAOB ，则三 角形 AOE 的面积 = 2 x ，同理三角形 AOF 的面积 = 2 22x ，

15、因此四边形 AEOF 的面积 = 2 2 )22(xx ；即 AEOF 的面积不会随点E、F 的变化而变化，是一个定值，且 为 2. 当然， 本题也可以这样思考， 由于三角形 AOE 与三角形 COF 全等， 则四边形 AEOF 的面积与三角形 AOC 的面积相等， 而 AOC 的面积为 2，因此 AEOF 的面积不会随点 E、 F 的变化而变化，是一个定值，且为2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的 M N D C B A F E O C B A 27 C BP D A Q 方法应用比较广泛 . 第 (3) 问 , 也 可 以 通 过 建 立 函 数 关

16、 系 求 得 , AEF的 面 积 = 1)2( 2 1 )22( 2 12 xxx ,又 x 的 变化 范围 为 220x ,由二 次 函 数 知 识得 AEF 的面积的范围为 : 0 AEF 的面积 1. 本题也可以根据三角形AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定AEF 的面积范围 : 不难证明AEF 的面积OEF 的面积，它们公用边EF，取 EF 的中点 H，显然由于 OEF 为等腰直角三角形，则OHEF，作 AGEF，显然 AGAH=AG （= EF 2 1 ）， 所以AEF 的面积OEF 的面积，而它们的和为2，因此 0 AEF 的面积 1. 本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多

17、问题研究： 比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的 圆上得出很多结论） 例 8：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果 、同时出发，用t 秒表示移动的时间（ 0 t 6），那 么： （1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？ （2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关 的结论； （3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC 相似？

18、分析：（ 1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于 A 为直角，只能是AQ=AP，建 立等量关系， tt62 ，即 2t 时，三角形 QAP 为等腰三角形； （2） 四边形 QAPC 的面积 =ABCD 的面积三角形 QDC 的面积三角形 PBC 的面积 = 6)212( 2 1 12 2 1 612xx =36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。 （3）显然有两种情况： PAQABC， QAPABC， 由相似关系得 6 12 6 2 x x 或 12 6 6 2 x x ，解之得 3x 或 2.1x 建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过

19、解 方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一 些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解： 练习 1：2003 年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道） 已知ABC 为直角三角形， AC=5，BC=12，ACB 为直 角，P 是 AB 边上的动点（与点A、B 不重合）， Q 是 BC 边 上动点（与点 B、C 不重合） Q P C B A 28 （1） 如图，当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点，求线段 CP 的长。 当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段C

20、Q 的长的 取值范围；若不可能，请说明理由。 第 1 问很易得出 P 为 AB 中点，则 CP= 2 13 2 1 AB 第 2 问：如果CPQ 为直角三角形，由于PQ与 AC 不 平行，则 Q 不可能为直角 又点 P 不与 A 重合，则 PCQ 也不可能为直角，只能 是CPQ 为直角，即以 CQ 为直径的圆与AB 有交点，设 CQ=2x，CQ 的中点 D 到 AB 的距离 DM 不大于 CD， AB DB AC DM ，即 13 12 5 xDM ，所以 13 )12(5x DM ，由 xCD x DM 13 )12(5 ，即 3 10 x ，而 6x ，故 6 3 10 x ，亦即 12

21、3 20 CQ 时，CPQ 可能为直角三角形。 当然还有其它方法。同学们可以继续研究。 练习 2： （广东省 2003年中考试题最后一题） 在 RtABC 中，ABAC，BAC90， O 为 BC 的中点， （1）写出点 O 到ABC 的三个顶点A、B、C 距离的大小关 系。 （2）如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动，移动中保持 ANBM，请判断 OMN 的形状，并证明你的结论。 该题与例 3 类似，同学们可以仿 本大类习题的共性： 1代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心 内容的考查 ;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数 2以形为载体，研究数量关系；通过

22、设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数 值 D Q M C B A 29 五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却 与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类 问题方法巧妙，耐人寻味。 例 1. 在Rt ABC中，AC 5，BC 12，ACB 90，P是 AB边上的动点（与点 A、B不重 合）， Q是 BC边上的动点（与点B、C不重合），当 PQ与 AC不平行时， CPQ 可能为直角 三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03 年广 州市中考） 分析：

23、不论 P、Q如何运动， PCQ 都小于 ACB 即小于 90，又因为 PQ与 AC不平行， 所以 PQC不等于 90，所以只有 CPQ为直角， CPQ才可能是直角三角形，而要判断 CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB 边上的动点 P在圆上， CPQ 就为直角，否则 CPQ 就不可能为直角。 以 CQ 为直径做半圆 D。 当半圆 D与 AB相切时，设切点为M ，连结 DM ，则 DM AB ，且 AC AM 5 所以MBABAM1358 设 CDx ，则 DMxDBx，12 在Rt DMB中，DBDMMB 222 ，即 128 2 22 xx 解得

24、：x 10 3 ，所以CQx2 20 3 即当CQ 20 3 且点 P运动到切点 M的位置时， CPQ 为直角三角形。 当 20 3 12CQ时，半圆 D与直线 AB有两个交点，当点P 运动到这两个交点的位置 时， CPQ 为直角三角形。 当0 20 3 CQ时，半圆 D与直线 AB相离，即点 P在半圆 D之外， 0 CPQ 90，此时， CPQ 不可能为直角三角形。 所以，当 20 3 12CQ时， CPQ 可能为直角三角形。 例 2. 如图 2，直角梯形 ABCD 中，AD BC ，B90，AD BC DC ，若腰 DC上有动点 P，使 AP BP ，则这样的点有多少个？ 分析：由条件 A

25、P BP ，想到以 AB为直径作圆，若CD与圆相交，根 据直径所对的圆周角是90，两个交点即为点P；若 CD与圆相切，切点 即是点 P；若 CD与圆相离，则 DC上不存在动点 P，使 AP BP 。 解：如图 3，以 AB为直径做 O ，设 O与 CD切于点 E 因为 BA90 30 所以 AD 、BC为O的切线 即 AD DE ，BC CE 所以 AD BC CD 而条件中 AD BC DC ，我们把 CD向左平移，如图 4，CD的长度不变， AD与 BC的长度缩短，此时AD BC DC ，点 O到 CD的距离 OE 小于 O的 半径 OE ，CD与O相交， APB 1 和 AP B 2 是

26、直径 AB所对的圆周角， 都为 90，所以交点 PP 12 、即为所求。因此，腰DC上使 AP BP的动点 P 有 2 个。 例 3. 如图 5，ABC的外部有一动点 P（在直线 BC上方），分别连结PB 、PC ，试确定 BPC与BAC的大小关系。（ 02 年广州市中考） 分析： BPC与BAC之间没有联系，要确定 BPC与BAC的大小关 系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构 造ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。 （1）当点 P在ABC外接圆外时， 如图 5，连结 BD ，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，BPC BDC 又因为 BDC BAC ， 所以 BP

27、C BAC ； （2）当点 P在ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相 等， BPC BAC ； （3）当点 P在ABC外接圆内时，如图7，延长 BP交ABC外接圆于 点 D，连结 CD ，则 BPC BDC ， 又BDC BAC ，故 BPC BAC 。 综上，知当点 P在ABC外接圆外时， BPC BAC ； 当点 P在ABC外接圆上时， BPC BAC ； 当点 P在ABC外接圆内时， BPC BAC 。 专题七、 2010 中考数学热点专题突破训练动点问题 动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题 的压轴题 .动点试题大致分为点动、线动、图

28、形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想 解题.下面就中考动点试题进行分析. 例 1（2006 年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4cm ，A=60 ，BD AD. 一动点 P从 A出发，以每秒 1cm的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点P作直线 PM ，使 PM AD. 31 1当点 P运动 2 秒时，设直线 PM与 AD相交于点 E，求APE的面积； 2当点 P运动 2 秒时，另一动点 Q也从 A出发沿 AB 的路线运动，且在AB上以每秒 1cm的速度匀速运动， （当 P、Q中的某一点到达终点， 则两点都停止运动 . ）过 Q作直线 QN ， 使 QN PM ，设点 Q

29、运动的时间为 t 秒（0t 8），直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD 所得图 形的面积为 S（cm 2）. （1）求 S关于 t 的函数关系式； （2）求 S的最大值 . 1. 分析：此题为点动题，因此， 1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段 的长； 2）分析在运动中点的几种特殊位置. 由题意知，点 P为动点，所走的路线为： ABC 速度为 1cm/s。而 t=2s，故可求出 AP 的值，进而求出 APE的面积 . 略解：由 AP=2 ，A=60 得 AE=1 ，EP= . 因此. 2. 分析：两点同时运动，点P在前，点 Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离 相差总是

30、 2cm.P在 AB边上运动后，又到BC边上运动 . 因此 PM 、QN 截平行四边形 ABCD 所得 图形不同 . 故分两种情况： （1）当 P、Q都在 AB上运动时， PM 、QN截平行四边形 ABCD 所得的图形永远为直角梯 形. 此时 0t 6. 当 P在 BC上运动，而 Q在 AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG. 不规则图形面积用割补法. 此时 6t 8. 略解：当 P、Q同时在 AB边上运动时， 0t 6. AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数 PG=(t+2), 32 FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =(Q

31、F+PG) FG= t+(t+2)1=t+. 当 6t 8时， S=S平行四边形 ABCD-SAQF-SGCP. 易求 S平行四边形 ABCD=16,SAQF=AF QF=t 2. 而 SCGP=PC PG,PC=4 -BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得 PG=(10- t). SCGP=PC PG= (10- t) (10-t)=(10-t) 2. S=16-t 2- (10-t) 2= (6 t 8 分析 : 求面积的最大值时 , 应用函数的增减性求 . 若题中分多种情况 , 那么每一种情况 都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论. 此题分两种情况 , 那么就分别求出

32、0t 6 和 6t 8时的最大值 . 0t 6 时, 是一次函数 , 应用一次函数的性质 , 由于一次项 系数是正数 , 面积 S随 t 的增大而增大 . 当 6 t 8时, 是二次函数 , 应用配方法或公式法求最 值. 略解：由于所以 t=6 时，S最大； 由于 S(6 t 8, 所以 t=8 时，S最大=6. 综上所述 , 当 t=8 时，S最大=6. 例 2（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点 C的坐 标为(4,0) ，AOC=60 ，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位 长度的速度运动，设直线l 与菱形 OAB

33、C 的两边分别交于点M 、N(点 M在点 N的上方 ). 1. 求 A、B两点的坐标； 33 2. 设OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒(0t 6)，试求 S与 t 的函数表达式； 3. 在题(2) 的条件下， t 为何值时， S的面积最大？最大面积是多少？ 1. 分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标 . 解：四边形 OABC 为菱形，点 C的坐标为 (4,0) ， OA=AB=BC=CO=4.如图，过点 A作 AD OC于 D.AOC=60 ，OD=2 ， AD=. A(2, ) ，B（6, ）. 2. 分析：直线 l 在运动过程中，随时间t 的变化， MON 的

34、形状也不断变化，因此，首 先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动 点题关键之一 . 直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向运动与菱形OABC 的两边相交有三种情况： 0t 2 时，直线 l 与 OA 、OC两边相交 ( 如图). 2t 4 时，直线 l 与 AB 、OC两边相交 ( 如图). 4t 6 时，直线 l 与 AB 、BC两边相交 ( 如图). 略解： MN OC ，ON=t. MN=ONtan60=. S= ON MN=t 2. S=ON MN= t 2=t. 方法一：设直线l 与 x 轴交于点 H.MN 2-(t-4)=6-t, S=

35、 MN OH= (6-t)t=-t 2+3 t. 34 方法二：设直线l 与 x 轴交于点 H.S=SOMH-SONH，S= t 2-t (t-4)= - t 2+3 t. 方法三：设直线l 与 x 轴交于点 H.S=, =42=8,=2(t -2)= t-2, =4(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t 2, S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t 2)=- t 2+3 t. 3. 求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大 值. 略解：由 2 知，当 0t 2时，=2 2=2 ； 当 2t 4 时，=4； 当 4t 6时，配

36、方得 S=-(t-3) 2+ ， 当 t=3 时， 函数 S-t 2+3 t 的最大值是. 但 t=3 不在 4t 6内，在 4t 6内，函数 S-t 2+3 t 的最大值不是. 35 而当 t 3 时，函数 S-t 2+3 t 随 t 的增大而减小，当4t 6时，S4. 综上所述，当 t=4 秒时，=4. 练习 1 （2006年南安市）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边 AD在 x 轴上， 点 A在原点， AB 3，AD 5若矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动同时点 P从 A点出发以每秒 1 个单位长度沿 ABCD的路线作匀速运动当 P点运动到 D点时停 止运动，

37、矩形 ABCD 也随之停止运动 求 P点从 A点运动到 D点所需的时间； 设 P点运动时间为 t （秒） . 当 t 5 时，求出点 P的坐标； 若OAP的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值 范围） 解: （1）P点从 A点运动到 D点所需的时间（ 3+5+3）111（秒） . （2）当 t 5 时，P点从 A点运动到 BC上，此时 OA=10,AB+BP=5，BP=2. 过点 P作 PE AD于点 E，则 PE=AB=3,AE=BP=2. OE=OA+AE=10+2=12.点 P的坐标为（ 12，3） 分三种情况： 当 0t 3 时，点 P在 AB

38、上运动，此时 OA=2t,AP=t，s=2t t= t 2. 当 3t 8时， 点 P在 BC上运动， 此时 OA=2t， s=2t 3=3 t. 当 8t 11时，点 P在 CD上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t ， DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t. s=2t (11 - t)=- t 2+11 t. 36 综上所述， s 与 t 之间的函数关系式是：当0t 3 时，s= t 2；当 3t 8时，s=3 t ； 当 8t 11 时，s=- t 2+11 t . 练习 2如图，边长为 4 的正方形 OABC 的顶点 O为坐标原点，点 A在 x 轴的

39、正半轴上， 点 C在 y 轴的正半轴上动点D在线段 BC上移动（不与 B，C重合），连接 OD ，过点 D作 DE OD ，交边 AB于点 E，连接 OE （1）当 CD =1时，求点 E的坐标； （2）如果设 CD =t ，梯形 COEB 的面积为 S，那么是否存在 S的最大值？若存在，请求出 这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由 解： (1) 正方形 OABC 中， 因为 ED OD ， 即ODE =90， 所以COD =90-CDO ， 而 EDB =90-CDO ，所以 COD =EDB. 又因为 OCD= DBE=90 ，所以 CDO BED. 所以，即，BE=，则. 因此

40、点 E的坐标为（4，） (2) 存在 S的最大值 由于 CDO BED ，所以，即，BE= t t 2. 4(4t t 2) 故当 t =2时，S有最大值 10 1、（09 包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请 说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP全等？ （2）若

41、点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发， 都逆 时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？ 解：（ 1）1t秒， 3 13BPCQ厘米， A Q C D B P 37 10AB厘米，点D为AB的中点， 5BD厘米 又8PCBCBPBC，厘米， 835PC厘米， PCBD 又ABAC， BC， BPDCQP （4 分） PQ vv ， BPCQ， 又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD， 点P，点Q运动的时间 4 33 BP t秒， 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米/秒 （7 分） （2）设经过 x秒后

42、点P与点Q第一次相遇， 由题意，得 15 32 10 4 xx，解得 80 3 x秒 点P共运动了 80 380 3 厘米 8022824， 点P、点Q在AB边上相遇， 经过 80 3 秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 （12 分） 2、（09 齐齐哈尔）直线 3 6 4 yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出 发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒 1 个单位长度， 点P沿路 线OBA运动 （1）直接写出AB、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为 t 秒，OPQ的面积为S，求出S与 t 之间的函数关系式； （3） 当 48 5 S时，求出点P的坐标，并直接

43、写出以点OPQ、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 解（1）A（8，0）B（0，6） 1分 （2）86OAOB， 10AB x A O Q P B y 38 点Q由O到A的时间是 8 8 1 （秒） 点P的速度是 610 2 8 （单位 /秒）1 分 当P在线段OB上运动（或 03t ）时，2OQtOPt， 2 St 1分 当P在线段BA上运动（或38t）时，6102162OQtAPtt，, 如图，作PDOA于点D，由 PDAP BOAB ，得 486 5 t PD， 1分 21324 255 SOQPDtt 1分 （自变量取值范围写对给1 分，否则不给分） （3） 8 24 55

44、P ， 1分 123 8 2412 241224 555555 IMM ， 3分 3（09 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心， 3 为半径作 P. （1）连结 PA，若 PA=PB，试判断 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？ 解：（ 1）P 与 x 轴相切 . 直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4， 0）， 与 y轴交于 B（0，8）， OA=4，OB=8. 由题意， OP=k

45、， PB=PA=8+k. 在 RtAOP 中，k 2+42=(8+k)2， k=3，OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切 . （2）设 P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P 在线段 OB 上时,作 PECD 于 E. PCD 为正三角形，DE= 1 2 CD= 3 2 ， PD=3， PE= 3 3 2 . AOB=PEB=90 ， ABO=PBE， AOBPEB， 39 3 3 4 2 ,= 4 5 AOPE ABPBPB 即， 3 15 , 2 PB 3 15 8 2 POBOPB， 3 15 (0,8) 2 P ， 3 15 8 2 k. 当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得 P(0, 3 15 2 8)， k= 3 15 2 8， 当 k= 3 15 2 8 或 k= 3 1