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1、学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 13.5 逆命题与逆定理 1. 互逆命题与互逆定理 【教学目标】 知识与技能 使学生理解逆命题与逆定理的意义,会写出一个命题的逆命题, 会判断定理的逆命题的 真假 . 过程与方法 通过探索逆命题的写法、培养学生的观察能力、应变能力和语言表达能力. 情感、态度与价值观 教学中渗透着数学的形式美和内涵美, 提高学生对数学美的鉴赏能力. 【重点难点】 重点会写出一个命题的逆命题, 会判断定理的逆命题的真假. 难点 正确有写出一个命题的逆命题. 【教学过程】 一、创设情景 , 导入新课 观察下列两个命题:(1) “两直线平行 , 内错角相等” ;(2)
2、“内错角相等,两直线平行”. 你能分别说出它们的条件与结论吗?两者的条件与结论位置上有什么关系?从而导入新课 . 二、师生互动 , 探究新知 1. 原命题、逆命题、互逆命题 教师讲解并板书: 在两个命题中, 一个命题的条件是第二个命题的结论, 而第一个命题的 结论 , 又是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题, 其中的一个叫做原命题, 另一 个叫做它的逆命题. 教师启发如何构造一个命题的逆命题, 并与同排同学做一个游戏: 一个出示命题, 一个构 造它的逆命题 . 学生活动、交流, 教师选几组代表展示. 教师强调互逆命题是相对的, 而不能说命 题是逆命题 . 2. 互逆命题与逆定理 教
3、师选取交流代表中的例子, 分析互逆命题的真假. 板书 :如果一个定理的逆命题也是定理, 那么这两个定理互为逆定理, 其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理, 教师强调 : 不能说定理是逆定理. 【教师提问】 你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗? 学生交流、讨论、回答, 教师点评 . 三、随堂练习 , 巩固新知 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 1. 下列说法中正确的是( ) A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理 C.真命题的逆命题都是真命题 D.假命题的逆命题都是真命题 2. “两直线平行, 内错角相等”的逆命题是. 3. “平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是.
4、【答案】 1.A 2. 内错角相等 ,两直线平行 3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【例】 写出下列命题的逆命题, 并判断每对命题的真假. (1) 四边形是多边形; (2) 两直线平行 , 同旁内角互补; (3) 如果 ab=0, 那么 a=0,b=0. 【答案】 (1) 多边形是四边形. 原命题是真命题, 逆命题是假命题. (2) 同旁内角互补 , 两直线平行 . 原命题是直命题, 逆命题是真命题. (3) 如果 a=0,b=0, 那么 ab=0. 原命题是假命题, 逆命题是真命题. 四、典例精析 , 拓展新知 【例】 下列命题的逆命题是真命题的是( ) A.对顶角相等 B.若a=b
5、, 则|a|=|b| C.两直线平行 ,同位角相等 D.全等三角形的对应角相等 【答案】 C 【教学说明】 先写出命题的逆命题, 再判断真假 , 而不是判断原命题的真假. 教师强调 :假命题的逆命 题可能是真命题, 真命题的逆命题很有可能是假命题. 五、运用新知 , 深化理解 写出下列命题的逆命题, 并判断其真假. 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 (1) 若x=1, 则x 2=1;(2) 若|a|=|b|, 则a=b. 【答案】 (1) 逆命题是 : 若x 2=1, 则x=1, 是假命题 . (2) 逆命题是 : 若a=b, 则|a|=|b|,是真命题 . 下面的命题互为逆定理
6、吗?如是不是 , 请说明理由 . (1) “如果一个三角形有两个角相等, 那么这个三角形是等腰三角形”与“等腰三角形 的两个底角相等”. (2) “对顶角相等”与“相等的角是对顶角”. 【答案】 (1) 中的两个命题是互为逆定理. (2) 中的两个命题不互为逆定理, 原因是命题“相等的角是对顶角”是假命题. 六、师生互动 , 课堂小结 这节课你学习了什么?有什么收获 ?有何困惑 ?与同伴交流 , 在学生交流发言的基础上教 师归纳总结 . 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论是第二个命题的题设, 那么这两个命题叫做互逆命题. 如果一个定理的逆命题是真命题, 那么这两个命题
7、成了互为 逆定理 . 【教学反思】 这节课内容较少, 学生搞懂互逆命题、 互逆定理的概念是教学的关键, 判断逆命题的真假 是本节的难点 , 应在教学中让学生多构造互逆命题, 并判断其真假 , 让他们自己去感知命题与 逆命题、定理与逆定理之间的关系. 2. 线段垂直平分线 【教学目标】 知识与技能 掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理, 能灵活运用线段垂直平分线的性质定理 和判定定理解题. 过程与方法 通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程, 体验逻辑推理的数学方法. 情感、态度与价值观 通过认识上的升华, 使学生加深对命题证明的认识, 使学生发现数学. 【重点难点】 重点 线段垂
8、直平分线的性质定理和判定定理, 能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定 定理解题 . 难点 灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题. 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 【教学过程】 一、创设情景,导入新课 线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 如图 ,l 是线段 AB 的垂直平分线, 点C在直线 l 上,CA与CB 有什么关系 ?写出你的证明过程. 二、师生互动 , 探究新知 在学生交流发言基础上, 教师板书 : 线段垂直平分线的性质定理, 即线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等. 巩固练习材料 P96第1、2题. 教师提问 : 你能写出这个性质定理的逆命题吗?
9、它是不是真命题? 学生完成并回答. 下面我们一起来证明它, 见教材 P95. 教师提问这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系? 学生回答 , 教师板书 . 线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点, 在线段的垂 直平分线上 . 三、随堂练习 , 巩固新知 1. 已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线,C、D是MN 上任意两点 , 则 CAD 和 CBD 之间的关系是 ( ) A.CAD CBD D.无法判断 2. 如图 , 在 ABC 中, 已知 AB=AC,DE 垂直平分 AC,分别交 AB 、AC 于D、E, A=50, 是 DCB 的度数是. 【答案】 1.B 2.15 四、典
10、例精析 , 拓展新知 如图所示 , 在RtABC 中, ACB=90 ,D 是AB 上一点 ,BD=BC,过D作AB 的垂线交 AC 于点 E,CD 交BE于点 F. 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 求证 :BE垂直平分 CD. 【答案】 BD=BC, 点 B 在 CD 的垂直平分线上, BCD= BDF. 又 ACB=90 =BDE, ACB-BCD= BDE-BDC, 即 ECD= EDC,ED=EC, E在CD 的垂直平分线上. 根据两点确定一条直线可得:BE垂直平分 CD. 【教学说明】 任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点, 在后面将学习这一点是三角形的外心, 锐
11、角三角形的各 边垂直平分线的交点在三角形内, 直角三角形各边垂直平分线的交点, 在斜边的中点 , 钝 角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外; 要证明某直线是某线段的垂直平分线, 可证明 这条直线有两点到线段两端的距离相等. 五、运用新知 , 深化理解 如图 ,在 ABC 中,DE是 AC 的垂直平分线, ABC 与 ABD 的周长分别为18 cm和12 cm, 求线 段AE的长 . 【答案】 DE 是AC 的垂直平分线, AD=DC,AE=EC. ABC 的周长为 AB+AC+BC=18(cm), ABD 的周长为 AB+AD+BD=12(cm), - , 得AC=6 cm,AE=AC=3
12、cm. 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 六、师生互动 , 课堂小结 这节课你学习了什么?有何收获 ?有何困惑 ?与同伴交流 , 在学生交流发言的基础上教师 归纳总结 . 1. 引导学生作知识总结: 线段垂直平分线的性质、判定定理 , 三角形三边的垂直平分线交 于一点 . 2. 教师扩展 : 利用两个定理证明线段相等, 线段垂直时不用再证明全等, 可简化解题过 程. 【教学反思】 本节课在教学过程中, 首先提出问题 , 让学生回答 , 通过观察、发现、论证得出线段的垂 直平分线的性质定理, 接着写出性质定理的逆命题. 教师与学生一起证明这个定理, 并在习题 中运用这两个定理,得出
13、三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论. 在教学过程中,应注意让学生搞清两个定理的条件与结论, 并充分调动学生的积极性, 体 会解决问题成功的乐趣. 3. 角平分线 【教学目标】 知识与技能 掌握角平分线的性质定理和判定定理, 能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解 题. 过程与方法 让学生通过自主探索, 运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论, 并体会感性 认识与理性认识之间的联系与区别. 情感、态度与价值观 通过认识的升华, 使学生进一步理解数学, 也使学生关注数学、热爱数学. 【重点难点】 重点 角平分线的性质定理和判定定理, 能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.
14、难点 灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题. 【教学过程】 一、创设情景 , 导入新课 角是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 如图 ,点 P是 AOB 的角平分线 OC 上的任一点 , 且 PD OA 于D,PEOB 于E,将 AOB 沿OC 对折 你发现了什么 ?如何表达 , 并简述你的证明过程. 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 二、师生互动 , 探究新知 在学生交流发言的基础上, 老师板书 : 角平分线的性质定理, 即角平分线上的点到角两边 的距离相等 . 几何推理为 : OP 平分 AOB,PD OA 于D,PEOB 于E, PD=PE. 教师指出条件中 不能漏掉 P
15、D OA 于点 D,PEOB 于点 E. 巩固练习教材 P98第1题. 教师提问 : 你能写出这个性质定理的逆命题吗?它是不是真命题? 学生完成并回答. 下面我们一起来证明这个定理, 见教材 P97. 教师指出 : 角平分线是一条射线, 那么这个逆定理应如何表述?学生讨论并发言. 在学生 发言基础上教师归纳总结, 并板书 : 角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 巩固练习教材 P98第2题. 三、随堂练习 , 巩固新知 1. 如图 ,OP平分 AOB,PC OA,PD OB,则PC 与PD 的大小关系是( ) A.PCPD B.PC=PD C.PC 或). 【答案】 1.B 2.=
16、四、典例精析 , 拓展新知 【例 1】 如图 ,在 ABC 中, A=90,AB=AC,BD是 ABC 的平分线 ,DEBC 于E,且BC=8 cm,求 DEC 的周长 . 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 【答案】 因为 BD 平分 ABC,DE BC,A=90, 所以 DA=DE( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等), 所以 DC+DE=DC+DA=AC. 在RtABD Rt EBD, 所以 AB=BE. 又因为 AB=AC, 所以 AC=BE, 所以 DC+DE+EC=AC+EC=BE+EC=BC, 所以 DEC 的周长为 8 cm. 【教学说明】 作意三角形三个角平
17、分线都交于同一点, 在后面将学习这一点叫做三角形的内心, 设 ABC 的内心为 I, 则 BIC=90+A; 如图 , 三条直线 l1、l2、l3相交于 A、B、C三点 , 到三条直线 距离都相等的点应有4个, 即两对角平分线的交点, 以及相邻外角平分线的交点. 五、运用新知 , 深化理解 【例 2】 如图 ,已知 BD=CD,BF AC,CE AB,求证 : 点D在 BAC 的平分线上 . 【答案】 因为 BF AC,CE AB,所以 BED= CFD=90 . 在 BDE 和CDF 中, 因为 BED= CFD,BED= CDF,BD=CD, 学习永无止境 +小初高 学习永无止境 +小初高 所以 BDE CDF,所以 DE=DF, 所以点 D在 BAC 的平分线上 . 六、师生互动,课堂小结 这节课你学习了什么?有何收获 ?有何困惑 ?与同伴交流 , 在学生交流发言的基础上教师 归纳总结 . 学生要会证明角平分线性质与判定定理, 并会应用这个定理, 会证明三角形三条角平分 线相交于一点 , 并会运用这个定理. 【教学反思】 本节课的教学类比线段垂直平分线的教学, 本课时的教学应突出学生的主体性原则, 指 引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证, 相互交流或课堂展示, 让学生分享学习的收获, 从而激发学生参与的热情, 体验成功的快乐.