国家综合国力分析数学建模论文.pdf

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1、组员：陈翔朱玲颖杨鹏 国家综合实力分析 1. 问题重述 一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进 行分析判断，我们从国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易这5 个 方面对 7 个主要大国的综合实力进行评估判断，确定合适的准则及进行实事求是的 对比。 对一个国家来说，一个国家的综合实力取决于很多方面，但是每个方面对其的 影响是不一样的，政治水平、经济水平、文化水平对综合实力的影响各不相同。 为了客观公正的评判一个国家的综合实力，我们从几个方面建立了数学模型， 利用互联网搜索相关的数据，定量的评估每个国家的综合实力。 2. 问题的提出与分析 综合国力（Nati

2、onal Power） 是衡量一个国家基本国情和基本资源最重要的指标， 也是衡量一个国家的经济、政治、军事、技术实力的综合性指标。 如何界定和衡量一个国家综合国力或战略资源，国际上尚无统一的定义和计算方法。 阿什利?泰利斯（ Ashley Tellis et al，2000）将国家实力定义为两个分量相互作用的 产物，即一个国家在给定时间上具有掌握经济创新周期的能力，并利用这种控制能 力形成有效的军事能力，反过来创造一个稳定的政治环境，加强现存的经济优势， 也为保持国家的战略优势以及从国际体系中获益提供基本条件。概言之，综合国力 可以简单地定义为一个国家通过有目的的行动追求其战略目标的综合能力。

3、我们将 国家战略资源（National Strategic Resources ） 定义为一个国家实现本国战略目标所可 以利用的现实的和潜在的关键性资源，它们反映了一个国家在全球范围内利用各种 资源的能力，也反映了该国的综合国力。国际关系学者肯尼思?华尔兹（Kenneth Waltz，1979）把实力定义为各种能力的分布。实际上，综合国力就是国家战略资源 的分布组合，被动员和利用来实现一个国家的战略目标。我们所称的综合国力，一 般指的是各类国家战略资源之总和；而国家战略资源一般指的是某一类战略资源。 本文利用了层次分析法对所查询的数据进行整理分析。 层次分析法（Analytic Hierarc

4、hy Process简称 AHP）是将决策总是有关的元素分解成 目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法 是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70 年代初，在为美国国防部研究“根 据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配“课题时，应用网络系统理论 和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 3. 模型建立 3.1 模型假设 假设一：从 2009年世界贸易数据排名、2010 年世界各国军事实力排名 的数据和网络上公开发表的学术论文及期刊资料都真实可信。 假设二：从联合国官方预测数据基本可靠。 假设三：设定国民收入、军事力量、科技水平、社会稳

5、定、对外贸易这5 个方 面能较好的反映一个国家的综合实力水平。 3.2 符号说明 表 3.1 符号说明 符号符号说明 A 国民收入 B 军事力量 C 科技水平 D 社会稳定 E 对外贸易 3.3 数据范围 当下是 2011 年，有关国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的 数据来自 2009 年和 2010 年的相关报告、论文。 3.4 指标体系设定 国民收入 35% 军事力量 25% 国家综合实力 科技水平 15% 社会稳定 10% 对外贸易 15% 3.5 指标计算及标准化 美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 70 年代初期提出了一种能有效地处理这样 一类问题的实用方法

6、称为层次分析方法（AnalyticHierarchy Process 简称 AHP ）, 它是一种定性和定量相结合的系统化层次化的分析方法. 本文采用层次分析法从工 资福利 , 专业和个人兴趣、工作环境、社会需求、工作的稳定性、单位发展前景等几 个方面的因素对影响师范生就业的因素模型做出评价, 同时确定毕业生的就业岗位 取向, 这对每位毕业学生成功就业是有很大帮助的; 学校有关部门如能掌握毕业生的 就业岗位取向 , 就能及时的调整工作重点并更好地指导和帮助学生就业. 层次分析法主要把要决策的问题分解为几个层次(目标层 , 准则层 , 方案层 ), 通 过相互比较确定各准则对于目标的权重及各方案

7、对于每一准则的权重, 再将方案层 对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合, 最终确定方案层对目标层的权 重. 1、建立层次结构模型 ： 建立目标层、准则层和方案层这三层的模型. 2、构造正互反矩阵 （1）正互反矩阵的定义： 定义 1 1 ：在矩阵A中，0 ij a， ij ji a a 1 ，且1 ii a，通常满足这些性质的判断矩 阵A被称为正互反矩阵 （2）构造两两比较正互反矩阵 构造正互反矩阵是将每一层元素针对上一层因素所涉及的相互之间的重要性做 出比较，将比较的数值直接用矩阵形式表示出来。正互反矩阵可以清楚地表示上一 层因素支配的下层有关因素之间的相对重要性。在进行两两比较时,

8、假设专家组能 够比较在递阶结构同一层次的任意两个元素 i B 、 j B并提供它们重要性比率的数值 ij b ( 这一层有 n 个元素 )。如果元素 i B 优于 j B 则 ij b 1。相应地，反过来的性质也 成立， ij b = 1/ ii b , 并且 ii b 0， ii b = 1, i, j = 1, 2, ?, n. 通常 ij b 按19比较尺度 对重要程度赋值 , 见表1。 图表 1正互反矩阵中元素比较尺度及其含义 ii b的取值 含 义 1 表示两个元素Bi和Bj相比，同样重要 3 表示Bi比Bj稍微重要 5 表示 i B比Bj明显重要 7 表示Bi比Bj强烈重要 9 表

9、示Bi比Bj极端重要 2、4、6、8 上述两相邻判断中的值，如2 为同样重要 和稍微重要之间的判断值 1、2、 9 的倒数元素Bi和Bj比较时为bij，则Bj和Bi比较时为1/bij （1）各目标的权向量计算 根据所得到的正互反矩阵，计算对于上一层因素而言的本层次各因素间相关重要 性的权重方法有特征值法、方根法、和法等，本文采用和法计算。 a. 将A的每一列向量归一化得 : n i ijijij aaw 1 . b. 对w 按行求和得 : n i iji ww 1 . c. 将iw 归一化 : n i iii www 1 , T n wwwW),( 21 , 即为近似特征向量 . d. 计算

10、n ii i n w Aw 1 1 max )( , 作为最大特征根的近似值. （2）一致性检验 定义2 1 ：对于正互反矩阵 nnij aA)(，若满足 ikjkij aaa，则称A为一致性矩 阵我们知道，正互反矩阵不一定是一致性的，也就是所建的矩阵不一定是一致矩 阵. 当正互反矩阵不是一致矩阵时，近似特征向量W能否表示权向量，要视不一致 性的程度而定的衡量不一致程度的指标叫做一致性指标，定义 1 为： . 1 max n n CI ( 当正互反矩阵具有完全一致性时，CI=0 ) 如果有CI偏差，那偏差是否在满意的一致性范围，还需要引进平均随机一致性 指标 RI ，RI值见表 2。 图表 2

11、 平均随机一致性指标RI 数值 阶数n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 计算 根据实际情况，正互反矩阵中元素比较尺度表不太适合这些因素比例的确定， 所以我们咨询了一些专家，并进行打分去均值得出有力的数据，并用层次分析法分 析这些数据，检验其合理性。 经过相关专家的打分并取各个专家的算术平均值，国民收入占35% 、军事 力量占 25% 、科技水平占 15% 、社会稳定占 10% 、对外贸易占 15% ，于是我们通 过层次分析法对该比例进行分析： A B C D E 几何平均值 A 1 1.4 2.33

12、 3.5 2.33 0.95 B 0.714 1 1.66 2.5 1.66 1.5 C 0.428 0.6 1 1.5 1 0.91 D 0.285 0.4 0.66 1 0.66 0.6 E 0.428 0.6 1 1.5 1 0.91 其中 A、B、C 、D 、E分别表示国民收入、 军事力量、 科技水平、 社会稳定、 对外贸易五个指标。得到 =（0.95 ，1.5 ，0.91 ，0.6 ，0.91 ） =（0.35，0.25，0.15 ，0.10,0.15 ） 一致检验性： =4.687 CI=0.0750, CR=0.0750/0.9=0.0830.1 通过一致性检验。所以认为各个指标

13、占国家百分比合理 无量纲化 由于各个指标的单位不一，无法进行直接比较，所以我们采用无量纲化的标准化法 对其进行指标单位化。 标准化法 统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它 们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数 据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化 （Z-score ）公式为： s xx y i i （2.29 ） 上式中： 注：在 5 个指标中只有各国对外贸易和国民收入可以找到具体的数据，因此我们通 过失业率来表示社会稳定，失业率比较能过反映一个国家的社会稳定性，失业率越 高较大程度上造成社会不稳定。用军事支出占国

14、内生产总值的比例来表示各国的军 事力量。用联合国公布的R&D 指标作为各国科学技术的指标。 下列的图表即为无量纲化前的原始数据汇总表 各国对外贸易汇总表 国家2009 年对外贸易总额（亿美元） 美国2614988 中国2207226 德国2050310 日本1131524 南非1025968 各国军事实力表 国家 2007 军事支出占国内生产 总值的比重 中国1.96 日本0.93 美国4.05 法国2.34 德国1.28 南非3.47 各国国民收入汇总表 国家各国国民生产总值（亿美元） 美国 中国5745133 日本5390897 德国3305898 南非2555439 各个国家失业率的汇总

15、表 国家各个国家2008 年失业率 中国4.2 法国7.4 德国7.5 日本4 南非5.3 各个国家科学技术汇总表 国家2007 年各国 R&D指数 美国1807631 中国1502470 日本1148400 德国721712 南非452074 下列图表即为无量纲化后的各指标汇总表 无刚量化后的各国国民收入汇总表 国家Y 美国2. 中国0.9 日本0.0 德国-0.5 南非-0.1 英国-0.6 俄罗斯-0.3 无刚量化后的各国对外贸易汇总表 国家Y 美国1. 中国0. 德国0.6 日本-0.3 南非-0.6 无量纲化后的各国军事实力汇总表 国家Y 美国1.9 中国-0.3 日本-1.2 德国

16、-0.4 法国-0.003843891 无量纲化后各国科技水平的汇总表 国家Y 美国1.4 中国0.4 日本0.9 德国-0.9 法国-1.0 英国-0.5 俄罗斯-0.7 无量纲化后各国的社会稳定值汇总表 国家Y 美国-0.0 中国1.7 日本1.6 德国-1.1 法国-1.7 英国0.8 俄罗斯-0. 4 国家综合实力模型的求解和分析 我们利用国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易这5 个方面对 7 个主要大国的综合实力进行评估判断。 4.1 核算各项指标综合得分 各个国家在各一级指标在2009或 2010 年的相应评价 各 级 指 标 国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易

17、国 家 美2. 1.9 1.4 -0.01. 国 中 国 0.9-0.30.41.70. 南 非 -0.6-0.003843891-0.0.8-0.8084478 德 国 -0.50.4-0.-1.10. 日 本 0.0-1.20.91.6-0.4339747 4.2 各国家综合评分 国家评分 美国1. 中国0. 德国 0. 日本 -0.4339747 南非 -0.5369684 4.3 模型主要结论 通过模型我们可以清楚的知道上述7 个大国的综合国力的基本排名：美国，中 国，德国，日本，法国，英国，俄罗斯。 5. 模型评价与改进方向 如果时间充分，可以寻找更多的数据，特别是各个国家的军事力量数据，科 技水平和社会稳定的数据，会使得统计更加具有说服力。本模型只用了横向比较， 并且数据有限， 如果能从 2006 年开始的 5 年间的数据进行比较和分析， 模型将会更 有说服力。