实变函数测试题与答案讲解.pdf

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1、实变函数试题 一，填空题 1. 设 1 ,2 n A n , 1,2n, 则limn n A . 2.,a b,因 为 存 在 两 个 集 合 之 间 的 一 一 映 射 为 3. 设E是 2 R中函数 1 cos,0 0,0 x yx x 的图形上的点所组成的 集合，则E，E. 4. 若集合 n ER满足EE, 则E为集. 5. 若,是直线上开集G的一个构成区间, 则,满足 : , . 6. 设E使 闭 区 间,a b中 的 全 体 无 理 数 集 , 则 mE . 7. 若 ( ) n mEfx( )0f x , 则说 ( ) n fx在E上 . 8. 设 n ER, 0 n xR ,若,

2、则称 0 x是 E的聚点 . 9. 设 ( ) n fx是E上几乎处处有限的可测函数列, ( )f x是E 上几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数 , 若0, 有 , 则称 ( ) n fx在E上依测度收敛于( )f x . 10. 设 ( )( ) n fxf x ,xE, 则( ) n fx的子列 ( ) j n fx , 使 得. 二, 判断题 . 正确的证明 , 错误的举反例 . 1. 若 ,A B可测 , AB且AB,则mAmB. 2. 设E为点集 , PE, 则P是E的外点 . 3. 点集 1 1,2,E n 的闭集 . 4. 任意多个闭集的并集是闭集. 5. 若 n ER,

3、满足 * m E, 则E为无限集合 . 三, 计算证明题 1. 证明 : ABCABAC 2. 设M是 3 R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心 , 有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集 . 3. 设 n ER, i EB且 i B为可测集 , 1,2i .根据题意 , 若 有 *0, i mBEi , 证明E是可测集 . 4. 设P是Cantor集, 3 2 ln 1, ( ) ,0,1 xxP f x xxP . 求 1 0 (L)( )f x dx . 5. 设函数( )f x在Cantor集 0 P中点x上取值为 3 x, 而在 0 P的 余集中长为 1 3 n的构成区间上取

4、值为 1 6 n, 1,2n , 求 1 0 ( )f x dx . 6. 求极限 : 1 3 23 0 lim(R)sin 1 n nx nxdx n x . 实变函数试题解答 一填空题 1. 0,2 . 2. ( )tan,. 2 xxaxa b ba 3. 1 ( , )cos,0(0, )1x y yxyy x ; . 4. 闭集 . 5. ,.,.GGG 6. ba. 7. 几乎处处收敛于 ( )f x 或 a.e.收敛于( )f x . 8. 对 0 0 0,(,)Ux有 0 Ex . 9. lim( )( )0 n n mEfxf x 10. ( )( ) n fxf xa.e.

5、于 E. 二判断题 1.F. 例如 , (0,1)A , 0,1B , 则AB且AB,但 1mAmB. 2.F. 例如 , 0(0,1), 但 0 不是(0,1)的外点 . 3.F. 由于 0EE. 4.F. 例如 , 在 1 R中, 11 ,1 n F nn , 3,4n是一系列 的闭集 , 但是 3 (0,1) n n F 不是闭集 . 5.T. 因为若E为有界集合 , 则存在有限区间I, I , 使得EI, 则 * ,m Em II于 * m E. 三, 计算证明题 . 1. 证明如下 : S SS S S ABCABC ABC ABC ABAC ABAC 2.M中任何一个元素可以由球心

6、 ( , )x y z , 半径为r唯一确 定, x,y, z跑遍所有的正有理数, r跑遍所有的有理数. 因 为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M为可 数集 . 3.令 1 i i BB , 则 i EBB且B为可测集 , 于是对于i, 都有 i BEBE, 故 * 0 i mBEmBE , 令i, 得到 * 0mBE , 故BE可测 . 从而 EBBE可测 . 4. 已知0mP, 令 0,1GP, 则 1 32 0 22 1 0 1 3 0 (L)( )(L)ln 1(L) (L)( ) (L)(L) (R)( ) 1 33 PG G PG f x dxx dxx dx f x

7、dx x dxx dx f x dx x . 5. 将积分区间 0,1分为两两不相交的集合: 0 P , 1 G , 2 G , 其中 0 P为Cantor集, n G是 0 P的余集中一切长为 1 3 n的构成 区间 (共有 1 2 n 个)之并 . 由L积分的可数可加性, 并且注意到 题中的 0 0mP , 可得 0 1 00 00 1 0 1 1 1 11 1 ()()() ()() 1 () 6 112 663 111 2916 n n PG PG n n PG n n nnnn nn n n fxdxfxdxfxdx fxdxfxdx fxdxdx mG 6. 因为 3 23 sin

8、 1 nx nx n x 在0,1上连续 , 1 3 23 0 (R)sin 1 nx nxdx n x 存在且与 1 3 23 0 (L)sin 1 nx nxdx n x 的值相等 . 易知 3 2 3 232323 211 sin. 11122 nxnxnx nx n xn xn xxx 由于 1 2x 在0,1上非负可测，且广义积分 1 0 1 2 dx x 收敛， 则 1 2x 在0,1上(L)可积，由于 3 23 limsin0 1 n nx nx n x ， 0,1x，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到 11 33 2323 00 1 3 23 0 1 0 lim(R)sinlim

9、(L)sin 11 limsin 1 00 nn n nxnx nxdxnxdx n xn x nx nx dx n x dx . 一、判定下列命题正确与否，简明理由( 对正确者予以证明， 对错误者举处反例) （15 分，每小题3 分） 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。 3. 若 m E=0，则 E为可数集 4. 若 |f(x)| 在 E上可测，则f(x) 在 E 上可测 5. 若 f(x) 在 E上有界可测，则f(x) 在 E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8 分，每小题2 分） 1. _可数集之并是可数集。 A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至

10、多可数个 2. _闭集之并交是闭集。 A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是_ A 开集 B 闭集 C F型集 D G 型集 4. 若 |f| 在 E上可积，则 _ A. f 在 E上可积 B. f 在 E上可测 C. f 在 E上有界 D. f 在 E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、 Lebesgue 控制收 敛定理（共9 分，每小题3 分）。 四、证明下列集合等式（共6 分，每小题3 分）： 1. S-S =(S-S ) 2. Efa=Efa- 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。（

11、8 分） 六、证明：设f(x) ，f(x) 为可积函数列， f(x)f(x) a.e 于 E，且 |f|d|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7 分） 七、计算下列各题：（每小题5 分，共 15 分） 1.sin(nx)d=? 2. 设 f(x)=求d =? 3. 设 f(x)= ?n=2,3, , ? 求d =? 一、判定下列命题正确与否，简明理由( 对正确者予以证 明，对错误者举处反例) 1. 非可数的无限集为c 势集， （不正确！如：直线上的所 有子集全体不可数，但其势大于c）。 2. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。 3. 若 m E=0，则 E为可数集（

12、不正确！如contorP集外测 度为 0，但是 C势集）。 4. 若 |f(x)| 在 E上可测，则 f(x) 在 E上可测（不正确！ 如） 5. 若 f(x) 在 E上有界可测，则f(x) 在 E上可积（不正 确！如有界可测，但不可积） 二、将正确答案填在空格内 1 至多可数个可数集之并是可数集。 A. 任意多个 B.c 势个 C. 无穷多个 D 至多可数个 2. 有限个闭集之并交是闭集。 A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是 G 型集 A 开集 B 闭集 C? F型集 D? G 型集 4. 若 |f| 在 E 上可积，则 f在 E 上几乎处处

13、有限 A. f在 E 上可积 B. f 在 E 上可测 C. f 在 E 上有界 D. f 在 E 上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、 Lebesgue 控制收 敛定理（见教材，不赘述！）。 四、证明下列集合等式 1.S-S =(S-S ) 解： =(S-S) 2。Efa=Efa- 证明： 所以，同理，? 故 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。 ? 证明：（分析法证明）设 要证为开集，只须证明 事实上，取时，自然有 。 ? 故为开集。 无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则 =既不是开集，又不是闭集。 六、证明：设f(x)，f(x

14、) 为可积函数列， f(x)f(x) a.e于 E， 且|f|d|f|d， 则对任意可测子集eE有 |f|d|f|d 证明：因为 f(x)f(x) a.e 于 E，对任意由 Fatou 引理知 |f|d|f|d 而已知|f|d|f|d，则对任意由 Fatou 引 理知： 一方面|f|d= |f|d|f|d 另一方面，|f|d= |f|d|f|d |f|d= |f|d= |f|d- |f|d |f|d 故|f|d|f|d|f|d 即|f|d=|f|d 七、计算下列各题： 1sin(nx)d=? 解：因为?sin(nx) 0 于0 ，1 第 3 页? 共 4 页 ? 且| 1 则由 Lebesgu

15、e 控制收敛定理知： sin(nx)d=sin(nx)d=0 2设 f(x)=求d =? 解： 所以 3设 f(x)= ?n=2,3, ,? 求d =? 解：因为 f(x)=? ?n=2,3, , 在上非负 可测，所以由Lebesgue 逐块积分定理知： d =。 一、选择题 ( 共 10 题，每题 3 分，共 30 分) 1. 设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q是 【】 (A) Q(B) (C) R (D)QR 2. 设 n F是 一 列 闭 集 ， 1n n FF， 则F一 定 是 【】 (A) 开集(B) 闭集 (C) G型集(D) F 型集 3.设E是R中有理数全体，则mE 【

16、】 (A) 0 (B)1 (C) (D)- 4. 下 面 哪 些 集 合 的 并 组 成 整 个 集 合 的 点 【】 (A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点， 孤立点 (C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点 5.设P是Cantor集，则 【】 (A) P与 n R对等，且P的测度为 0 (B) P与 n R对等， 且P的测度为 1 (C) P与 n R不对等，P的测度为 0 (D) P与 n R不 对 等，P的测度为 1 6. 设)(xf与)(xg在E上 可 测 ， 则gfE是 【】 (A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定 7. 设)(xf在可测

17、集 E上有定义， nxfxf n ),(min)(，则)(xfn是 (A) 单调递增函数列(B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列(D) 连续函数列 8. 设E是任一可测集，则 【】 (A) E是开集 (B) E是闭集(C) E是完备集 (D) 对任意0，存在开集EG，使)(EGm 9设 Q Q 1 , 021 1 , 02sin )( x,x x,x xf，则 10, f(x)d 【】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 10设 n f是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意 0，有下面条件成立，则)(xfn依测度收敛于 )(xf【】 (A) 0)()(limxfxfmE n

18、 n (B) 0)()(limxfxfmE n n (C) 0)()(limxfxfmE n n (D) 0)()(limxfxfmE n n 二、定理叙述题( 共 2 题，每题 5 分，共 10 分) 1. 鲁津定理 2.Fatou 引理 三、判断改正题 ( 正确的打对号，错误的打错号并改正，共5 题，每题 4 分，共 20 分) 1. 若E与 它 的 真 子 集 对 等 ， 则E一 定 是 有 限 集【】 2. 凡非负可测函数都是L可积 的【】 3. 设A为 1 R空 间 中 一 非 空 集 ， 若.aA则.aA 【】 4. 设E为 可 测 集 ， 则 存 在 G型 集F， 使 得EF，

19、且 0)(FEm【】 5.)(xf在ba,上L可 积 ， 则)(xf在ba,R可 积 且 ( 【 】 四、证明题 ( 共 4 题，每题 10 分，共 40 分) 1. 开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭 集 2. n R上全体有理数点集的外测度为零 3. 设函数列 n f在E上依测度收敛f， 且hfnea.于E， 则hfea. 于E 4. 设)(xf在ba,上可积，则0)()(lim 0 dxxftxf b at 判断题（每题2 分，共 20 分） 1.必有比a大的基数。 （） 2.无限个闭集的并必是闭集。 （） 3.若0mE，则E是至多可列集。 （） 4.无限集的测度一定不为零

20、。 （） 5. 两 集 合 的 外 测 度 相 等 ， 则 它 们 的 基 数 相 等 。 （） 6. 若)(xf在E的任意子集上可测，则)(xf在可测集E上可测。 （） 7.E上 可 测 函 数 列 的 极 限 函 数 在E上 不 一 定 可 测 。 （） 8.)(xf是E上 的 可 测 函 数 ， 则)(xf可 积。 （） 9. 若0)(xf且 E dxxf0)(，则f0)(eax于E。（） 10. 若| )(|xf在E上 可 积 ， 则)(xf在E上 也 可 积 。 （） 二、填空题（每题2 分，共 20 分） 1. 设,2, 1),0(nnAn，则 n n A 1 ， n n A 1

21、。 2. 设 1 ,3 ,2, 1RnA，则 0 A， A。 3. 设B是开区间)2,0(中有理点的全体，则mB。 4. 单调函数的不连续点集的基数是。 5. 设E是 1 ,0上的Cantor集，则E。 6. 闭区 间,ba上的 有界 函 数)(xfRimann可积 的充 要 条件 是。 7. 狄 利 克 雷 函 数 函 数)(xD是可 积 的 ， dxxD)( 1 ,0 。 三、计算题（每题10 分，共 20 分） . 1. 计算dx xn xn R n 1 0 24 2 1 2 1 )(lim。 （提示： 使用 Lebesgue 控制收敛定 理） 2. 设 0 2 0 1 ,0, ;, )

22、( Pxx Pxx xf， 其 中 0 P是Cantor集 ， 试 计 算 1 ,0 )(dxxf。 四、证明题（每题8 分，共 40 分） 1. 证明： 1 |0| 1 n xxxx n 2. 设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交， 证明 M是是至多可列集。 3. 如果0mE，则E的任何子集也可测且测度为零。 4. 设)(xf在E上可积， 且).()(eaxgxf于E，证明：)(xg也在E上 可积。 5. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何 有理数r，集合)(rxfE是可测集。 一、单项选择题（3 分 5=15 分） 1、1、下列各式正确的是（） （A） 1

23、lim nk nnkn AA; （B） 1 lim nk nknn AA; （C） 1 lim nk nnkn AA; （D） 1 lim nk nknn AA; 2、 设 P为 Cantor 集，则下列各式不成立的是 （） （A）P c (B) 0mP (C) PP (D) PP 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都 可测 (C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测 4、 设( ) n fx是E上的. .a e有限的可测函数列, 则下面不成 立的是 ( ) （A） 若()() n f xfx, 则( )( ) n fxf x (B)sup

24、( ) n n fx是可测 函数 （C）inf( ) n n fx是可测函数 ; （D）若( )( ) n fxf x,则 ( )f x可 测 5、设 f(x) 是,ba上有界变差函数，则下面不成立的是 （） (A)(xf在,ba上有界 (B)(xf在,ba上几乎处处 存在导数 （C）)( xf在,ba上 L 可积 (D) b a afbfdxxf)()()( 二. 填空题 (3 分 5=15 分) 1、()() ss C AC BAAB_ 2、设E是0,1上有理点全体，则 E=_, o E=_,E=_. 3 、 设E是 n R中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集T都 有 _， 则称E是

25、L可 测的 4、)(xf可测的 _条件是它可以表成一列简单函 数的极限函数 . （填“充分”， “必要”， “充要”） 5、设( )f x为,a b上的有限函数，如果对于,a b的一切分 划，使 _,则称( )f x为,a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立 , 则证明之 ; 若不成立 , 则举反 例说明 . 1、设 1 ER，若 E是稠密集，则CE是无处稠密集。 2、若0mE，则E一定是可数集 . 3、若|( ) |f x是可测函数，则( )fx必是可测函数。 4设( )f x在可测集E上可积分，若,( )0xE f x，则 ( )0 E f x 四、解答题 （8 分 2=

26、16 分） . 1、 （8分）设 2 , ( ) 1, xx f x x 为无理数 为有理数 ， 则( )f x在0,1上是否R可 积，是否L可积，若可积，求出积分值。 2、 （8 分）求 0 ln() limcos x n xn exdx n 五、证明题 （6 分 4+10=34 分） . 1、 （6 分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c. 2、 （6 分）设( )fx是,上的实值连续函数，则对于任 意常数,|( )a Exf xa是闭集。 3、 （6 分）在,a b上的任一有界变差函数( )f x都可以表 示为两个增函数之差。 4、 （6 分）设,( )mEf x在E上可积，(|)

27、 n eEfn，则 lim0 n n n me. 5、 （10分）设( )f x是E上. .ae有限的函数， 若对任意0， 存在闭子集FE，使( )f x在F上连续，且()m EF，证 明：( )f x是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) 一、判定下列命题正确与否，简明理由( 对正确者予以证明， 对错误者举处反例) （15分，每小题 3分） 11. 非可数的无限集为c 势集 12. 开集的余集为闭集。 13. 若 m E=0，则 E 为可数集 14. 若 |f(x)| 在 E上可测，则f(x) 在 E上可测 15. 若 f(x) 在 E上有界可测，则f(x) 在 E上可积 二、将正确答案填在

28、空格内（共8分，每小题 2分） 16._ 可数集之并是可数集。 A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 17._ 闭集之并交是闭集。 A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 18. 可数个开集之交是_A 开集 B 闭集 C F型集 D G 型集 19. 若 |f| 在 E 上可积，则 _A. f 在 E上可积 B. f 在 E 上可测 C. f 在 E 上有界 D. f在 E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、 Lebesgue 控制收 敛定理（共 9分，每小题 3分） 。 四、证明下列集合等式（共6分，每小题 3分） ：

29、20.S-S =(S-S ) 21.Efa=Efa- 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。 （8分） 六、证明：设f(x) ，f(x) 为可积函数列， f(x)f(x) a.e 于 E，且 |f|d|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7分） 七、计算下列各题： （每小题 5分，共 15分） 22.sin(nx)d=? 23. 设 f(x)=求d =? 24. 设 f(x)= ?n=2,3, , ? 求d =? 一、判定下列命题正确与否，简明理由( 对正确者予以证明， 对错误者举处反例) 6. 非可数的无限集为c 势集，（不正确！如：直线上的所

30、 有子集全体不可数，但其势大于c） 。 7. 开集的余集为闭集。 （正确！教材已证的定理）。 8. 若 mE=0，则 E为可数集（不正确！如contorP集外测 度为 0，但是 C势集） 。 9. 若 |f(x)| 在 E 上可测，则 f(x) 在 E上可测（不正确！ 如） 10. 若 f(x) 在 E上有界可测， 则 f(x) 在 E 上可积（不正 确！如有界可测，但不可积） 二、将正确答案填在空格内 1 至多可数个可数集之并是可数集。 A. 任意多个 B.c 势个 C. 无穷多个 D 至多可数个 2. 有限个闭集之并交是闭集。 A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个

31、3. 可数个开集之交是 G 型集 A 开集 B 闭集 C? F型 D? G 型集 4. 若 |f| 在 E 上可积，则 f在 E 上几乎处处有限 A. f在 E 上可积 B. f 在 E上可测 C. f 在 E 上有界 D. f 在 E 上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、 Lebesgue 控制收 敛定理（见教材） 。 四、证明下列集合等式 1.S-S =(S-S ) 解： =(S-S) 2。Efa=Efa- 证明： 所以，同理，? 故 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。 ? 证明： （分析法证明）设 要证为开集，只须证明 事实上，

32、取时，自然有 。 ? 故为开集。 无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则 =既不是开集，又不是闭集。 六、证明：设f(x)，f(x) 为可积函数列， f(x)f(x) a.e于 E， 且|f|d|f|d， 则对任意可测子集eE有 |f|d|f|d 证明：因为 f(x)f(x) a.e 于 E，对任意由 Fatou 引理知 |f|d|f|d 而已知|f|d|f|d，则对任意由 Fatou 引 理知： 一方面|f|d= |f|d|f|d 另一方面，|f|d= |f|d|f|d |f|d= |f|d= |f|d- |f|d |f|d 故|f|d|f|d|f|d 即|f|d=|f|d 七、计算下列各

33、题： 1sin(nx)d=? 解：因为?sin(nx) 0于0 ，1 且| 1 则由 Lebesgue 控制收敛定理知： sin(nx)d=sin(nx)d=0 2设 f(x)=求d =? 解： 所以 3设 f(x)= ?n=2,3, ,? 求d =? 解： 因为 f(x)=? ?n=2,3, , 在上非负可测， 所以由 Lebesgue 逐块积分定理知： d =。 一、填空：（共 10 分） 1如果则称E是自密集，如果则 称E是开集，如果EE则称E是， EEE称为E的. 2设集合G可表示为一列开集 i G之交集： 1i i GG，则G称 为. 若集合F可表示为一列闭集 i F之并集： 1i

34、i FF，则F称 为. 3 （Fatou 引理）设nf是可测集 q RE上一列非负可测函数， 则. 4设)(xf为,ba上的有限函数，如果对于,ba的一切分划 bxxxaT n10 :，使 n i ii xfxf 1 1 | )()(|成一有界数集，则 称)(xf为,ba上的， 并称这个数集的上确界为 )(xf在,ba上的，记为. 二、选择填空： （每题 4 分，共 20 分） 1下列命题或表达式正确的是 AbbB2 2 C对于任意集合BA,，有BA或ABD 2下列命题不正确的是 A若点集A是无界集，则Am * B若点集E是有 界集，则Em* C可数点集的外测度为零D康托集P的测度为 零 3下

35、列表达式正确的是 0),(max)(xfxfB)()()(xfxfxf )()(|)(|xfxfxfD),(min)(nxfxf n 4下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集B可测集都是Borel 集 C外测度为零的集是可测集DF型集，G型集都是可 测集 5下列集合基数为 a（可数集）的是 A康托集PB) 1 ,0( C 设 in n xxxxxARA|),(, 21是 整 数 ， ,2, 1ni D区间)1 ,0(中的无理数全体 三、 （20 分） 叙述并证明鲁津（Lusin ）定理的逆定理 四、 （20 分） 设RE，)(xf是E上ea有限的可测函数， 证 明 ： 存 在 定 义 在

36、R上 的 一 列 连 续 函 数 n g， 使 得 )()(limeaxfxgn n 于E 五、 （10 分） 证明0 1 sin )(lim sin 22 2007 1 0 dxe xn nxnx R nx n 六、 （10 分） 设)(xf是满足 Lipschitz条件的函数，且 0)(eaxf于,ba，则)(xf为增函数 七、 （10 分）设f是,ba上的有界变差函数， 证明 2 f也是,ba上 的有界变差函数 一、填空题：（共 10 分） 1、EE, 0 EE（或 0 EE）闭集，闭包 2、G型集，F型集 3、dxxfdxxf n E n n n E )(lim)(lim 4、有界变差

37、函数，全变差，)( fV b a 二、选择填空： （每小题 4 分，共 20 分） 1、D 2、A 3、D 4、B 5、C 三、 （20 分） 定理：设)(eaxf有限于E，若对于任意的0，总有闭集 EF，使)(FEm，且)(xf在F上连续，则f是E上的可测 函数 . 证对任意的正整数n，存在闭集EFn使 n FEm n 1 )(， 且f在 n F上连续，从而f在 n F上可测 设 1k k FF，则F是可测集，且,2, 1,nFEFE n ，于是 ,2, 1, 1 )()(n n FEmFEm n fFEm0)(在FE上可测 由于FFEE)(，只须证f在F上可测，事实上，对任 意的Ra， 1

38、 afFafF n n afF是 可 测 集f在F上 可 测f在E上 可 测 （5 分） 四、 （20 分） 证明f在E上可测，由Lusin 定理，对任何正整数n， 存在E的可测子集 n E，使得 n EEm n 1 )(，同时存在定义在R上 的 连 续 函 数)(x n， 使 得 当n Ex时 有)()(xfx n （7 分） 所以对任意的0，成立 nn EEfE|，,2, 1n ,2, 1, 1 )(|n n EEmfmE nn 0|lim n n fmE因此f n 由 F.Riesz 定理， 存在 n的子列 kn ，使)()(l i meaxfx k n k 于E，记)()(xgx kn

39、k ，则 )()(lim)(limeaxfxgxg k k n n 于E 五、 （10 分） 证明设 nx n e xn nxnx xf sin 22 2007 1 sin )( 则)(xf n 在1 ,0上连续，因而R可积L可积， 且0 1 sin lim)(lim sin 22 2007 nx n n n e xn nxnx xf 1 ,0x 取exF 2 1 )(，则)(| )(|xFxfn，而1)1 ,0(m 由 Lebesgue有界收敛定理 0)()()(lim)()(lim 1,0 1 ,0 1 0 dxldxxfLdxxfR n n n n 六、 （10 分） 证因为f满足 Li

40、pschitz 条件， 所以f是绝对连续函数， 对任意的 2121 ,xxbaxx， 由牛顿莱布尼兹公式dxfafxf x a 1 )()( 1 （1） dxfafxf x a 2 )()( 2 （2） （2）（ 1）0)()( 2 1 12 dxfxfxf x x )()( 12 xfxf)(xf是,ba上的单调 函数 七、 （10 分） 证f是有界变差函数，因而是有界函数，于是mf |， ,bax 对,ba的任意分划bxxxaT n10 :有 n i ii xfxf 1 1 22 |)()(|)()(| |)()(| 1 1 1ii n i ii xfxfxfxf n i ii xfxfM 1 1 |)()(|2 )(2fVM b a 因此 2 f也是,ba上的有界变差函数