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1、1 / 12 旋转模型专题 一、等线段共点 二、按图形分类 1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形， 4、正方形 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 2 / 12 M D N E CB F A A B C D 三、按模型分类 1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型 4、与勾股定理结合5、费马点问题 例题精讲 一、手拉手模型 1、已知：如图，点C为线段 AB上一点，ACM、CBN是等边三角形 常见结论： （1）ANBM （2）CDCE （3）CF平分AFB （4）CDE是等边三角形 （5）AFM=60 且保持不变 2、如图，在凸四边形A
2、BCD中，30BCD,60DABADAB， 求证： 222 ACCDBC 3、 已知ABC， 以AC为边在ABC外作等腰ACD，其 中ACAD。 如图，若2DACABC，ACBC，四边形ABCD是平 行四 边形，则_ABC 如图，若30ABC，ACD是等边三角形，3AB，4BC，求BD的长； 如 图 ， 若ACD为 锐 角 ， 作A HB C于H， 当 222 4B DAHB C时 ， 3 / 12 2DACABC是否成立？若不成立， 请说明你的理由； 若成立，证明你的结论。 二、角含半角模型 4、已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC 上两动点，若45
3、DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结E D，使问题 得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明 5、在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且EAF=CEF=45， （1）将ADF绕着点A顺时针旋转 90，得到ABG，如图1， 求证： AEGAEF； （2）若直线 EF 与 AB、AD 的延
4、长线分别交于点M,N，如图 2， A HC B D D CB A D C B A 图1 A B C D E 图2 A B C DE 4 / 12 求证： 222 NFMEEF （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系。 A B C D E F 5 / 12 6、在等边ABC 的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC 外一 点，且60MDN，120BDC，CDBD，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB，AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量关系及AMN 的周长与等边ABC 的周长 L 的关系 如图，当点 M，N
5、在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的 数量关系式 _ ；此时 L Q =_ 如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且DNDM时，猜想 (1)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明； 如图，当点 M，N 分别在边 AB，CA 的延长线上时，若AN=x，则 Q=_(用 x，L 表示) 图（1）图（2）图（3） 三、对角互补类 7、已知：MAN ， AC 平分MAN 在图 1 中，若90MANDCB，证明：2ABADAC 在图 2 中，若120MAN，60DCB，探究AB、AD、AC三者之间的数量 关系，并给出证明； 在图 3 中： 若MAN（0180） ，
6、180DCB， 则_ABADAC （用含的三角函数表示 ,直接写出结果，不必证明） NM D C B A N M D C B A N M D C B A 6 / 12 8、如图 1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交 AB于F，QM交AD于E 猜想：ME与MF的数量关系 如图 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形” ，且MB，其它条件不变， 探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明 如图 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形” ，且:1: 2AB BC，其它条件不 变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由 如图 4，若将原题中的 “正方形”改为平行
7、四边形， 且MB，:AB BCm， 其它条件不变，求出:ME MF的值（直接写出答案） 四、直角三角形斜边中点 9、在等腰直角ABC中，90ACB，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发 向C运动，MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化 图3 图2 图1 AB M C D N A B M C D N N M D C B A 图4 图1图2图3 A B C D Q P N M E F A B C D F E M Q P N F E F E A BC D Q P N M Q P N M D CB A 7 / 12 10、等腰直角三角形ABC，902ABCABO，为AC中点，45E
8、OF，求 BEF的周长 11、 已知 RtABC 中， AC=BC， C=90 ， D 为 AB 边的中点，EDF=90 ， EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于 E、F 当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 ABCCEFDEF SSS 2 1 当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述 结论是否成立 ? 若成立，请给予证明；若不成立，, , 又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 五、等线段共点 12、如图所示，P是等边ABC内部一点，3PC，4PA，5PB，求ABC的 边长
9、. A P M C Q B O F E CB A 图 3 E B A D F C B A E C F D 图 2 F B C E D A 图 1 DEF S CEF S ABC S 8 / 12 BPC S= , ABP S= , APC S= , ABC S= , 13、P为等边 ABC内一点，113APB，123APC，求证：以AP、BP、 CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数. 14、如图， P 为正方形 ABCD 内一点， PA1，PD2，PC3，将PAD绕着 D 点按逆时针旋转 90 到DCM的位置 （1）求APD的度数。(2)求正方形的边长 六、费马点问题
10、 15、阅读下列材料 P C B A P C B A P CB A M P D C BA 9 / 12 对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PAPBPC有最小值， 则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件120APBBPCAPC时，点P既 为费马点 解决问题： 如图，ABC中， 三个内角均小于120， 分别以AB、AC为边向外作等边ABD、 ACE，连接CD、BE交于点P， 证 明 ： 点P为ABC的 费 马 点 。 ( 即 证 明120APBBPCAPC) 且 PAPBPCCD
11、 如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QAQCQBPAPBPC 若30ABC，3AB，4BC，直接写出PAPBPC的最小值 16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意 一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN 求证：AMBENB 当M点在何处时，AMCM的值最小； P E D CB A Q A BC D E P 10 / 12 当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长 17、阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图1,ABC中， ACB =30o，BC=6，AC=5，在A
12、BC 内部有一点P，连接 PA 、PB 、PC，求 PA +PB+PC的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线 段最短” ，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发 现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60o，得 到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求 （1）请你写出图 2 中，PA +PB+PC的最小值为； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，菱形 ABCD中，ABC =60
13、o，在菱形 ABCD内部有一点 P，请 在图 3 中画出并指明长度等于PA +PB +PC最小值的线段（保留画图痕迹， 画出一条即可） ；若中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当 PA +PB +PC值最小时 PB的长 七、最值问题 18、已知：2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直 线AB的两侧 . A 图 2 图 3 A 图 1 E N M D CB A 11 / 12 如图，当45APB时，求AB及PD的长； 当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小 . 19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点作 正方形D
14、EFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG 试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论 将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0 ，小于或 等于 360） ， 如图，通过观察或测量等方法判断 （1） 中的结论是否仍然成立？ 如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 若2BCDE，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值 八、综合应用 20、已知：在Rt ABC中，ABBC，在Rt ADE中，ADDE，连结EC，取EC的 中点M，连结DM和BM 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM P D C B A A B C
15、 D E F G G F E D C B A 12 / 12 的关系并给予证明； 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的 结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 21、已知：如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，90AOBCOD 如图，点C、D分别在边OA、OB上，联结AD、BC，点M为线段BC的中 点，联结OM，请你猜想OM与AD的数量关系：（直接写出答案， 不必证明）； 如图，在图 1 的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转一个角度(900) OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； 求证：OMAD 图1 A B C D E M 图2 M E D C B A M A C O D B M OD C B A