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1、1 第一章三角形的证明 1.经历探索、猜想、证明的过程, 进一步体会证明的必要性, 提高推理能力. 2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容, 掌握基本的证明方法, 结合实例体 会反证法的含义. 3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的 性质定理及判定定理. 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念, 会识别两个互逆命题, 并明确原命题成立 其逆命题不一定成立. 6.已知底边及底边上的高线, 能用尺规作出等腰三角形; 已知一条直角边和斜边, 能用 尺规作出直角三角形; 能用尺规过一点作已知直线的
2、垂线. 经历探索、猜测、证明的过程, 进一步体会证明的必要性, 培养学生的推理论证能力. 发展勇于质疑、严谨求实的科学态度. “三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容, 无论是标准对证 明的要求上 , 还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位, 以及证明在整套教材中的编排 顺序 , 都和我们传统几何教学中的证明大有不同. 本章是平行线的证明的继续, 首先给出作为继续进行证明基础的几条公理, 并与平行线 的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明. 本章中所涉及的很多命题( 如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理 及其逆定理等 ) 在前几册教材中学生们已经通过
3、一些直观的方法进行了探索,所以学生们对 这些结论已经有所了解.对于这些命题 , 教材力争将证明的思路展现出来. 教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论, 并回忆用来探索这些结论的方 法和过程 ,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发, 然后再利用公理和已有的定 理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来, 本章中还涉及一些以前没有探索过的命题, 这些命题的获得, 有些是直接通过证明得到 的, 而对于有些命题, 教材则尽可能地创设一些问题的情境, 为学生提供自主探索发现的空 间, 然后再进行证明, 从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展, 使学生经历“探索 发现猜想证明
4、”的过程, 体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的 作用. 此外 ,教材还注意渗透数学思想方法, 如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思 想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间, 将探索发现和证 2 明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法, 并进行适当 的比较和讨论 , 开阔学生的视野, 提高学生的思维能力. 【重点】 1.等腰三角形的性质. 2.等腰三角形的判定. 3.直角三角形的性质. 4.直角三角形的判定. 5.线段的垂直平分线的性质定理. 6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理. 7.角平分线的性质定理. 8.角平分线的性
5、质定理的逆定理. 【难点】 1.等腰三角形的性质的证明. 2.添加辅助线的方法. 3.勾股定理的证明. 4.勾股定理的逆定理的证明. 5.三线共点的证明方法. 6.用尺规作等腰三角形. 7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题. 推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的, 在探索图形性质的活动中, 学习合情推 理; 在交流的过程中, 学习有条理思考; 在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的 基础上 , 从几个基本事实出发, 证明一些有关三角形、四边形的基本性质, 从而体会证明的 必要性 , 理解证明的基本过程, 掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行 观察、试验、猜测、验证
6、、推理、交流与反思等数学活动. 因此在前几册的学习中, 学生们已经经历了探索图形性质的过程, 并且发现了图形的很 多性质 , 但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始, 逐渐地开始证明已探索过的图形的 性质 , 同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的 引导 , 帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中, 原来在进行图形 的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的, 应注意引导和 启发. 很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的, 辅助线的添加方法也是多样 的, 因此 , 在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法
7、, 提倡证明方法的多样性, 并引导学 生在与他人的交流中比较证明方法的异同, 发散逻辑思维.另外 , 通过一定数量的推理证明 的训练 , 逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下: 1.等腰三角形 :教材直截了当地提出等腰三角形的性质, 进而去探讨证明的思路, 我认 为创设问题的情境不足, 学生准备不充分.我采用先折纸, 再复习等腰三角形的性质, 而后提 出证明 , 并分析证明的思路, 让学生在循序渐进的过程中学习. 2.直角三角形 :利用图形割补的方法可以证明勾股定理, 但证明有一定的难度, 因此在 “读一读”中介绍了两种方法, 可供有兴趣的学生阅读, 而不作为对所有学生的要求. 3.勾股
8、定理的逆定理的证明方法新颖, 对学生来说有一定难度, 教学中只要学生能接受 证明的方法和过程即可, 不必做更多要求. 4.线段的垂直平分线: 对于作图学生没有困难, 但要求学生会写已知、求证、及说明作 图的理由 , 学生就会感到困难, 在教学中 , 应注意引导学生会说明理由, 学生的思路可能较多, 应鼓励学生多种思维发展; 应让学生在作图的基础上, 学会用尺规作已知直线的垂线( 过直 线上一点或直线外一点) 、已知底边和底边上的高作等腰三角形, 作三角形三边的垂直平分 3 线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计 算. 5.角平分线 : 学生已经探索过角平
9、分线上的点的性质, 此处可先让学生回顾其性质和探 索过程 , 并尝试证明.在前面的学习中, 学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线 段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程, 因此 , 学生会类比构造角平分线性质定 理的逆命题.在叙述其逆命题时, 可不加什么条件, 但验证其真假时, 教师应引导学生注意角 平分线是在角的内部的射线, 所以就要附加“在角的内部”这个条件. 1等腰三角形4 课时 2直角三角形2 课时 3线段的垂直平分线2 课时 4角平分线2 课时 回顾与思考1 课时 1等腰三角形 1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质. 2.能够证明判定三角形全等的“角
10、角边”定理和等腰三角形的性质, 掌握证明的基本 步骤和书写格式. 3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题. 4.理解并能说出等腰三角形的判定定理, 且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形. 5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法, 且能够用其证明或解决有关的问 题. 6.能说出并能够证明在直角三角形中, 如果一个锐角等于30, 那么它所对的直角边 等于斜边的一半, 且能够应用其证明或解决有关的问题. 7.了解反证法的思想和方法. 1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索 证明过程 ,感受数学的严谨性. 2.在探索和证明中,
11、 提高学生的数学语言表达能力. 在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观. 4 【重点】 1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用. 2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用. 【难点】 1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索. 2.对反证法的认识和了解. 第课时 1.了解作为证明基础的几条公理的内容. 2.使学生经历“探索发现猜想证明”的过程, 学会用综合法证明等腰三 角形的有关性质定理. 让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式. 经历作辅助线的证明过程, 进一步发展学生的合情推理意识, 培养主动探究的习惯, 进 一步体
12、会数学与现实生活的紧密联系. 【重点】等腰三角形的性质及推论. 【难点】命题的书写格式. 【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】复习三角形全等的判定方法. 导入一 : 请学生回忆并整理已经学过的8 条基本事实中的5 条: 1.两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行; 5 2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等 ; 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS); 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA); 5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(
13、AAS), 并要求学生利用前 面所提到的公理进行证明. 已知 :如图所示 , 在ABC和DEF中, 有A=D, B=E,BC=EF. 求证ABCDEF. 证明: A=D, B=E( 已知 ), 又A+B+C=180, D+E+F=180( 三角形内角和等于180), C=180 -( A+B), F=180 -( D+E), C=F( 等量代换 ). 又BC=EF( 已知 ), ABCDEF(ASA). 设计意图 经过一个假期 , 学生对上学期所学知识难免有所遗忘, 因此 , 在第一课时 , 回顾有关内容 , 既是对前面学习内容的一个简单梳理, 也为后续有关证明做足了知识准备. 导入二 : 我
14、们已经证明了有关平行线的一些结论, 运用下面的公理和已经证明的定理, 我们还可 以证明有关三角形的一些结论. 我们已学过的部分基本事实: 1.两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行; 2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等 ; 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS); 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA); 5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS). 通过上面的这些结论, 我们能否证明等腰三角形的底角相等呢? 设计意图 帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用, 同时通过设问引入本课时 的学习内容. 一、等腰三角形的两底角相等 过
15、渡语 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的, 你能再次通过折纸 活动验证这些性质吗?并根据折纸过程, 得到这些性质的证明吗? 让学生按图示的方法先独自折纸观察, 再探索并写出等腰三角形的性质. 定理 :等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为: 等边对等角. 6 已知 :如图所示 , 在ABC中,AB=AC. 求证B=C. 解析我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上 , 折痕将等腰三角 形分成了两个全等三角形.这启发我们 , 可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角 形, 从而证明这两个底角相等. 证明 :取BC的中点D, 连接AD.( 如图所示 ) AB=AC,
16、BD=CD,AD=AD, ABDACD(SSS). B=C ( 全等三角形的对应角相等). 设计意图 通过折纸活动 , 获得有关命题的证明思路, 并通过进一步的整理, 再次感 受证明是探索的自然延伸, 熟悉证明的基本步骤和书写格式. 二、三线合一 过渡语 在上图中 , 线段AD还具有怎样的性质?为什么 ?由此你能得到什么结论? 让学生回顾前面的证明过程, 思考线段AD具有的性质 , 讨论图中存在哪些相等的线段 和相等的角 , 发现等腰三角形性质定理的推论, 这一结论通常简述为“三线合一”. 推论 :等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 证明 :过顶点A作BAC的平分线A
17、D, 交BC于点D, AD是ABC中的角平分线 , BAD=CAD. 在ABD和ACD中, ABDACD(SAS), BD=CD( 全等三角形的对应边相等), ADB=ADC( 全等三角形的对应角相等). AD是BC边上的中线 , BDA=90, AD是BC边上的高 , 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 设计意图 教师和学生一起完成证明, 可以让学生经历自主命题的证明过程.同时 , 对学生书写格式的规范起到引领作用. 知识拓展 “等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合” 的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题, 在学习等腰三角形
18、的性 质定理后 ,可将该定理作如下的延伸. 如图所示 , 已知ABC, AB=AC, 1=2, ADBC, BD=DC中, 若其中任意两组成 立, 可推出其余两组成立. 已知 :; 求证 :; 7 证明 :. 例如 :已知 1=2, BD=DC, 求证AB=AC, ADBC.根据等腰三角形的“三线合 一”定理即可得证. 证明 :延长AD至E, 使DE=AD, 连接CE.( 如图所示 ) 在ABD和ECD中, ABDECD(SAS). AB=EC, 1=E. 1=2, E=2, CE=AC, AC=AB. ADBC. 1.定理 : 等腰三角形的两底角相等. 2.推论 : 等腰三角形顶角的平分线、
19、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 1.一个等腰非等边三角形中, 它的角平分线、中线及高线的条数共为( 重合的算一条 ) () A.9 B.7 C.6 D.5 解析 :等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选 B. 2.在ABC中, 如果AB=AC, 那么在这个三角形中, 重合的线段是() A.A的平分线 ,AB边上的中线 ,AB边上的高线 B.A的平分线 ,BC边上的中线 ,BC边上的高线 C.B的平分线 ,AC边上的中线 ,AC边上的高线 D.C的平分线 ,AB边上的中线 ,AB边上的高线 解析 :本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选 B. 3.若等腰三角形中有一个角为110, 则其余两角分别为. 解析 :因为 110的角只能是顶角,所以其余两角均为35.故填 35,35 . 4.如果等腰三角形的一边长为6 cm, 周长为 14 cm, 那么另外两边的长分别 为. 解析 :边长为 6 cm 的边有可能是腰也有可能是底. 答案 :6 cm,2 cm或 4 cm,4 cm 5.如图所示 , 在ABC中,AB=AC,D是AC上一点 , 且AD=BD=BC.求A的度数. 解: 设A=x, AD=BD, 1=A.