最新2019—2020学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷.pdf

《最新2019—2020学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新2019—2020学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷.pdf（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 / 29 最新 20192020 学年山东省青岛市李沧区九年级( 上) 期末数学 试卷 一、选择题（本题满分24分，共有 8 道小题，每小题3 分）下列每小题都给出 标号为 A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分， 不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 1 （3 分）已知 2x=3y，则下列比例式成立的是（） A=B=C=D= 2 （3 分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左 视图是（） ABCD 3 （3 分）一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10 个球， 记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20 次

2、，发现共有黑 球 48 个，由此估计袋中的白球数是（）个 A28 个B38 个C48 个D50 个 4 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx 22x1=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（） Ak1Bk1 且 k0Ck1Dk1 且 k0 5 （3 分）二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列说法不正确的 是（） 2 / 29 Ab 24ac0 Ba0Cc0D 6 （3 分）随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高 架桥上车辆的行驶速度y（千米 /时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆） 的关系如图所示，当x10 时，y 与 x成反比例函

3、数关系，当车行驶速度低于 20 千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的 数量 x 应该满足的范围是（） Ax40Bx40Cx40Dx40 7 （3 分）如图，在宽为 20 米、长为 32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图 中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为540 平方米，则道路的 宽为（） A5 米B3 米C2 米D2 米或 5 米 8（3分）在同一直角坐标系中， 函数 y=kx+1 与 y= （k0） 的图象大致是（） AB 3 / 29 CD 二、填空题（本题满分18 分，共有 6 道小题，每小题3 分） 9 （3 分）计算 cos60+sin30

4、= 10 （3 分）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面 积是 11 （3 分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如 图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y=x2+x+（单位： m） ， 绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2 点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的 身高为m 12 （3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5 ，点 E在 AB上，将 DAE 沿 DE折叠，使点 A 落在对角线 BD上的点 A 处，则 AE的长为 13 （3 分）如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2 所示的几何图形，已知BC=B

5、D=15cm ，CBD=40 ，则点 B 到 CD 的距离为 cm（参考数据 sin20 0.342，cos200.940，sin40 0.643，cos400.766， 结果精确到 0.1cm，可用科学计算器） 4 / 29 14 （3 分）如图，都是由边长为1 的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的 表面积为 6 个平方单位，第（ 2）个图形的表面积为18 个平方单位，第（ 3） 个图形的表面积是36 个平方单位依此规律，则第（6）个图形的表面积 个平方单位 三、作图题（本题满分4 分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕 迹 ） 15 （4 分）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角

6、三角形（C为直角）的铁皮 加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、 BC 、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线 四、解答题（本题满分74分，共有 9 道小题） 16 （8 分） （1）用配方法解方程： x 22x3=0 （2）求二次函数 y=3x2+6x+2 的图象与 x 轴的交点坐标 17 （6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉图中线段AB表示站在广场上的小 亮，线段 PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯 5 / 29 （1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）如果灯杆高 PO=12m，小亮的身高 AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=

7、13m， 请求出小亮影子的长度 18 （6 分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足， 某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同 （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图 或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率 19 （6 分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进 行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里 的 C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往 C处护航， 已知 C位于 A 处的北偏东 45 方向上，A 位于 B 的

8、北偏西 30 的方向上，求 A、 C之间的距离 20 （8 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作 程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待 加热到 100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（）和通电时 间 x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复 上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下 6 / 29 图所示，回答下列问题： （1）分别求出当 0x8 和 8xa 时，y 和 x 之间的关系式； （2）求出图中 a 的值； （3）李老师这天早上7：30 将饮水机电源打开，若他想再8：1

9、0 上课前能喝到 不超过 40的开水，问他需要在什么时间段内接水 21 （8 分）在 RtABC与 RtABD中， ABC= BAD=90 ，AC=BD ，AC ，BD相 交于点 G，过点 A 作 AEDB交 CB的延长线于点 E，过点 B 作 BF CA交 DA 的延长线于点 F，AE，BF相交于点 H （1）证明： ABD BAC （2）四边形 AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明 （3）若使四边形 AHBG是正方形，还需在RtABC添加一个什么条件？请添加 条件并证明 22 （10 分）某公司营销 A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润y（万元

10、）与所售产品x（吨）之间存在二次函 数关系，如图所示： 信息 2：销售 B 种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例 函数关系 y=0.3x 根据以上信息，解答下列问题； 7 / 29 （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售A、 B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 23 （10 分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现 要将一块四边形的空地 （如图 5，四边形 ABCD ）铺上草皮，但由于年代久远， 小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC ，BD的长

11、度分别为 20cm，30cm 及夹角 AOB为 60 ，你能利用这些数据，帮助物业人 员求出这块空地的面积吗？ 问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出 ABD与BCD （也可以 是ABC与ACD ）的面积，再相加就可以了 建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况： 如图 1，ABC中，O为 BC上任意一点 （不与 B，C两点重合），连接 OA，OA=a， BC=b ，AOB= （为 OA与 BC所夹较小的角），试用 a，b，表示 ABC的 面积 解：如图 2，作 AMBC于点 M， AOM 为直角三角形 又 AOB= ，sin =即 AM=OA?sin ABC的面积 =?BC?A

12、M= ?BC?OA?sin = absin 问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题 如图 3，四边形 ABCD中，O 为对角线 AC ，BD的交点，已知 AC=20m ，BD=30m， AOB=60 ，求四边形 ABCD的面积 （写出辅助线作法和必要的解答过程） 新建模型：若四边形ABCD中，O 为对角线 AC，BD的交点，已知 AC=a ，BD=b， AOB= （为 OA 与 BC 所夹较小的角），直接写出四边形ABCD 的面积 8 / 29 = 模型应用： 如图 4，四边形 ABCD中，AB+CD=BC ，ABC= BCD=60 ，已知 AC=a ， 则四边形 ABCD的面积为多

13、少？（ “ 新建模型 ” 中的结论可直接利用） 24 （12 分）如图，已知RtABC中， C=90 ，AC=8cm ，AB=12cm ，点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC方向向点 C匀速运 动，速度均为 1cm/s以 AQ、PQ为边作 ?AQPD ，连接 DQ，交 AB于点 E设 运动的时间为 t（单位： s） （0t6） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时， ?AQPD为矩形 （2）当 t 为何值时， ?AQPD为菱形 （3）是否存在某一时刻t，使四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若 存在，请求出 t 值，若不存在，请说明

14、理由 9 / 29 2017-2018 学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分24分，共有 8 道小题，每小题3 分）下列每小题都给出 标号为 A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分， 不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 1 （3 分）已知 2x=3y，则下列比例式成立的是（） A=B=C=D= 【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的 比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断 【解答】 解：A、变成等积式是： xy=6，故错误； B、变成等积式是： 3x=2y，故错误； C、变成

15、等积式是： 2x=3y，故正确； D、变成等积式是： 3x=2y，故错误 故选： C 2 （3 分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左 视图是（） ABCD 【分析】 左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案 【解答】 解：所给图形的左视图为C选项说给的图形 故选： C 10 / 29 3 （3 分）一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10 个球， 记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20 次，发现共有黑 球 48 个，由此估计袋中的白球数是（）个 A28 个B38 个C48 个D50 个 【分析】同样条件下， 大量反复试验时，

16、 随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附 近，根据题中条件求出黑球的频率，再近似估计白球数量 【解答】 解：设袋中的白球数是x 个，根据题意得： =， 解得： x=38， 答：袋中的白球数是38 个； 故选： B 4 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） Ak1Bk1 且 k0Ck1Dk1 且 k0 【分析】 根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围即可 【解答】 解：关于 x 的一元二次方程kx22x1=0 有两个不相等的实数根， ，即， 解得 k1 且 k0 故选： B 5 （3 分）二次函数 y

17、=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列说法不正确的 是（） Ab 24ac0 Ba0Cc0D 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 11 / 29 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所 得结论进行判断 【解答】 解：A、正确，抛物线与x 轴有两个交点， =b 24ac0； B、正确，抛物线开口向上，a0； C、正确，抛物线与y 轴的交点在 y 轴的正半轴， c0； D、错误，抛物线的对称轴在x 的正半轴上，0 故选： D 6 （3 分）随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高 架桥

18、上车辆的行驶速度y（千米 /时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆） 的关系如图所示，当x10 时，y 与 x成反比例函数关系，当车行驶速度低于 20 千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的 数量 x 应该满足的范围是（） Ax40Bx40Cx40Dx40 【分析】利用已知反比例函数图象过 （10，80） ，得出其函数解析式， 再利用 y=20 时，求出 x 的最值，进而求出x 的取值范围 【解答】 解：设反比例函数的解析式为：y= ， 则将（ 10，80） ，代入得： y=， 故当车速度为 20 千米/时，则 20=， 解得： x=40， 故高架桥上每百米拥有车的

19、数量x 应该满足的范围是： x40 故选： A 7 （3 分）如图，在宽为 20 米、长为 32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图 中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为540 平方米，则道路的 12 / 29 宽为（） A5 米B3 米C2 米D2 米或 5 米 【分析】 设道路的宽为x，利用 “ 道路的面积 ” 作为相等关系可列方程20x+32x x2=2032540，解方程即可求解 解题过程中要根据实际意义进行x 的值的 取舍 【解答】 解：设道路的宽为 x，根据题意得 20x+32xx2=2032540 整理得（ x26）2=576 开方得 x26=24或 x26=24 解得

20、x=50（舍去）或 x=2 所以道路宽为 2 米 故选： C 8（3分）在同一直角坐标系中， 函数 y=kx+1 与 y= （k0） 的图象大致是（） AB CD 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k0，所以分 k0 和 k0 两种情 况讨论当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的 即为正确答案 【解答】 解：分两种情况讨论： 13 / 29 当 k0 时，y=kx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数 的图象在第一三象限； 当 k0 时，y=kx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数 的图象在第二四象限 故选： A 二、填

21、空题（本题满分18 分，共有 6 道小题，每小题3 分） 9 （3 分）计算 cos60+sin30 =1 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】 解：原式 = +=1， 故答案为： 1 10 （3 分）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面 积是96cm2 【分析】 因为周长是 40，所以边长是 10根据对角线互相垂直平分得直角三角 形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘 积的一半计算求解 【解答】 解：因为周长是 40cm，所以边长是 10cm 如图所示： AB=10cm ，AC=16cm 根据菱形的性质， AC BD ，A

22、O=8cm， BO=6cm ，BD=12cm 面积 S= 1612=96（cm2） 故答案是： 96cm2 11 （3 分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如 图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y=x2+x+（单位： m） ， 14 / 29 绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2 点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的 身高为1.5m 【分析】 实际上告诉了抛物线上某一点的横坐标x=2，求纵坐标代入解析式即 可解答 【解答】 解：在 y=x2+x+中， 当 x=2时，得 y=1.5 即小明的身高为 1.5 米 故答案为： 1.5 12 （3分）如图，在矩形纸片ABCD中

23、，AB=12，BC=5 ，点 E在 AB上，将 DAE 沿 DE折叠，使点 A 落在对角线 BD上的点 A 处，则 AE的长为 【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得 AD=A D=5 ，进而得 到 AB的长，再设 AE=x ，则 AE=x，BE=12 x，再在 RtAEB 中利用勾股定理 可得方程：（12x） 2=x2+82，解出 x 的值，可得答案 【解答】 解： AB=12 ，BC=5 ， AD=5 ，BD=13， 根据折叠可得： AD=A D=5 ， AB=135=8， 设 AE=x ，则 AE=x，BE=12 x， 在 RtAEB 中： （12x）2=x 2+82，

24、解得： x=， 故答案为： 15 / 29 13 （3 分）如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2 所示的几何图形，已知 BC=BD=15cm ， CBD=40 ， 则点 B到 CD的距离为14.1 cm（参考数据 sin20 0.342，cos200.940，sin40 0.643，cos400.766， 结果精确到 0.1cm，可用科学计算器） 【分析】作 BE CD于 E，根据等腰三角形的性质和CBD=40 ，求出 CBE的度 数，根据余弦的定义求出BE的长 【解答】 解：如图 2，作 BE CD于 E， BC=BD ，CBD=40 ， CBE=20 ， 在 Rt

25、CBE中，cosCBE=， BE=BC?cos CBE =150.940 =14.1cm 故答案为： 14.1 14 （3 分）如图，都是由边长为1 的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的 表面积为 6 个平方单位，第（ 2）个图形的表面积为18 个平方单位，第（ 3） 个图形的表面积是36 个平方单位依此规律，则第 （6） 个图形的表面积126 个平方单位 16 / 29 【分析】 结合图形，发现第（ 1）个图形的表面积是16=6，第（ 2）个图形的 表面积是（ 1+2）6=18，第（3）图形的表面积是（ 1+2+3）6=36；以此类 推即可求解 【解答】 解：结合图形，发现： 第（1）个

26、图形的表面积是16=6， 第（2）个图形的表面积是（ 1+2）6=18， 第（3）图形的表面积是（ 1+2+3）6=36， 第（4）图形的表面积是（ 1+2+3+4）6=60， 故第 n 个图形的表面积是（ 1+2+3+ +n）6=3n（n+1） ， 第（ 6）个图形的表面积是36（6+1）=126， 故答案为： 126 三、作图题（本题满分4 分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕 迹 ） 15 （4 分）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（C为直角）的铁皮 加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、 BC 、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线

27、【分析】直接利用正方形的性质得出C的角平分线交 AB于点 M，进而过 M 作 MDAC ，MEBC得出答案即可 【解答】 解：如图所示：点 M 即为所求 17 / 29 四、解答题（本题满分74分，共有 9 道小题） 16 （8 分） （1）用配方法解方程： x22x3=0 （2）求二次函数 y=3x2+6x+2 的图象与 x 轴的交点坐标 【分析】 （1）根据配方法的步骤计算可得； （2）求出 y=0时 x 的值可得 【解答】 解： （1）x22x3=0， x 22x=3， 则 x22x+1=3+1，即（ x1）2=4， x1=2 或 x1=2， 解得： x=3或 x=1 （2）令 y=0得

28、3x2+6x+2=0， 解得： x=， 该二次函数图象与x 轴的交点为（，0） 、 （，0） 17 （6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉图中线段AB表示站在广场上的小 亮，线段 PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯 （1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）如果灯杆高 PO=12m，小亮的身高 AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m， 请求出小亮影子的长度 18 / 29 【分析】 （1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶 端； （2）根据中心投影的特点可知CAB CPO ，利用相似比即可求解 【解答】解： （1）连接 PA并延长交地面于点

29、C，线段 BC就是小亮在照明灯（ P） 照射下的影子（2 分） （2）在 CAB和CPO中， C= C，ABC= POC=90 CAB CPO （5 分） BC=2m ， 小亮影子的长度为2m（7 分） 18 （6 分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足， 某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同 （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图 或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率 【分析】 （1）由商店只有雪碧、 可乐、果汁、奶汁四种饮料， 每种饮料数量充足， 某同学去该店购买饮料，每种饮

30、料被选中的可能性相同，直接利用概率公式 19 / 29 求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好 买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量 充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同， 他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：； 故答案为：； （2）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2 种情况， 他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：= 19 （6 分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进 行捕鱼作业，当渔船

31、航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里 的 C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往 C处护航， 已知 C位于 A 处的北偏东 45 方向上，A 位于 B 的北偏西 30 的方向上，求 A、 C之间的距离 【分析】作 ADBC ，垂足为 D，设 CD=x ，利用解直角三角形的知识， 可得出 AD， 20 / 29 继而可得出 BD，结合题意 BC=CD +BD可得出方程，解出x 的值后即可得出答 案 【解答】 解：如图，作 ADBC ，垂足为 D， 由题意得， ACD=45 ，ABD=30 设 CD=x ，在 RtACD中，可得 AD=x， 在 RtABD中，可得

32、 BD=x， 又BC=20 （1+） ，CD +BD=BC ， 即 x+x=20（1+） ， 解得： x=20， AC=x=20（海里） 答：A、C之间的距离为 20海里 20 （8 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作 程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待 加热到 100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（）和通电时 间 x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复 上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下 图所示，回答下列问题： （1）分别求出当 0x8 和 8xa 时，y 和

33、x 之间的关系式； （2）求出图中 a 的值； （3）李老师这天早上7：30 将饮水机电源打开，若他想再8：10 上课前能喝到 不超过 40的开水，问他需要在什么时间段内接水 21 / 29 【分析】 （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定 系数法即可求得 y 与 x 的关系式； （2）将 y=20代入 y=，即可得到 a 的值； （3）要想喝到不超过40的开水， 7：30 加 20 分钟即可接水，一直到8：10； 【解答】 解： （1）当 0x8 时，设 y=k1x+b， 将（0，20） ， （8，100）代入 y=k1x+b， 得 k1=10，b=20， 所以当

34、0x8 时，y=10x+20； 当 8xa 时，设 y=， 将（8，100）代入，得 k2=800， 所以当 8xa 时，y=； 故当 0x8 时，y=10x+20；当 8xa 时，y=； （2）将 y=20代入 y=， 解得 a=40； （3）8：108 分钟=8：02， 10x+2040， 0x2， 40， 20x40 所以李老师这天早上7：30 将饮水机电源打开， 若他想在 8：10 上课前能喝到不 22 / 29 超过 40的热水， 则需要在 7：508：10 时间段内接水 21 （8 分）在 RtABC与 RtABD中， ABC= BAD=90 ，AC=BD ，AC ，BD相 交于点

35、 G，过点 A 作 AEDB交 CB的延长线于点 E，过点 B 作 BF CA交 DA 的延长线于点 F，AE，BF相交于点 H （1）证明： ABD BAC （2）四边形 AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明 （3）若使四边形 AHBG是正方形，还需在RtABC添加一个什么条件？请添加 条件并证明 【分析】 （1）可根据已知条件 ABC= BAD=90 ，AB=BA ，AC=BD即可得到 ABC BAD （2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（ 1）可知 ABD= BAC ，得到 GAB为等腰三角形， ?AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是 菱形 （3）根据有一个角是

36、直角的菱形是正方形，进行判断即可 【解答】 解： （1）ABC= BAD=90 ，AB=BA ，AC=BD ， RtABC RtBAD （HL） （2）四边形 AHBG是菱形 证明： AHGB，BHGA， 四边形 AHBG是平行四边形 ABC BAD ， ABD= BAC ， GA=GB ， 23 / 29 平行四边形 AHBG是菱形 （3）需要添加的条件是AB=BC 证明： AB=BC ，ABC=90 ， ABC是等腰直角三角形， BAG=45 ， 又 ABC BAD ， ABG= BAG=45 ， AGB=90 ， 菱形 AHBG是正方形 22 （10 分）某公司营销 A，B两种产品，根据

37、市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函 数关系，如图所示： 信息 2：销售 B 种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例 函数关系 y=0.3x 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售A、 B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 24 / 29 【分析】 （1）由抛物线过原点可设y 与 x 间的函数关系式为 y=ax 2+bx，再利用待 定系数法求解可得； （2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（

38、10m）吨，销售 A、B 两种产品获得 的利润之和为W 元，根据： A 产品利润 +B 产品利润 =总利润可得W= 0.1m2+1.5m+0.3（10m） ，配方后根据二次函数的性质即可知最值情况 【解答】解： （1）根据题意，设销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函 数关系式为 y=ax 2+bx， 将（1，1.4） 、 （3，3.6）代入解析式， 得：， 解得：， 销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为y=0.1x 2+1.5x； （2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（ 10m）吨，销售 A、B 两种产品获得 的利润之和为 W 元， 则

39、W=0.1m2+1.5m+0.3（10m） ， =0.1m 2+1.2m+3， =0.1（m6） 2+6.6， 0.10， 当 m=6 时，W 取得最大值，最大值为6.6 万元， 答：购进 A 产品 6 吨，购进 B产品 4 吨，销售 A、B两种产品获得的利润之和最 大，最大利润是 6.6 万元 23 （10 分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现 要将一块四边形的空地 （如图 5，四边形 ABCD ）铺上草皮，但由于年代久远， 25 / 29 小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC ，BD的长 度分别为 20cm，30cm 及夹角 AOB为 60

40、 ，你能利用这些数据，帮助物业人 员求出这块空地的面积吗？ 问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出 ABD与BCD （也可以 是ABC与ACD ）的面积，再相加就可以了 建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况： 如图 1，ABC中，O为 BC上任意一点 （不与 B，C两点重合），连接 OA，OA=a， BC=b ，AOB= （为 OA与 BC所夹较小的角），试用 a，b，表示 ABC的 面积 解：如图 2，作 AMBC于点 M， AOM 为直角三角形 又 AOB= ，sin =即 AM=OA?sin ABC的面积 =?BC?AM= ?BC?OA?sin = absin 问题解决

41、：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题 如图 3，四边形 ABCD中，O 为对角线 AC ，BD的交点，已知 AC=20m ，BD=30m， AOB=60 ，求四边形 ABCD的面积 （写出辅助线作法和必要的解答过程） 新建模型：若四边形ABCD中，O 为对角线 AC，BD的交点，已知 AC=a ，BD=b， AOB= （为 OA 与 BC 所夹较小的角），直接写出四边形ABCD 的面积 = absin 模型应用： 如图 4，四边形 ABCD中，AB+CD=BC ，ABC= BCD=60 ，已知 AC=a ， 则四边形 ABCD的面积为多少？（ “ 新建模型 ” 中的结论可直接利用） 26

42、/ 29 【分析】 问题解决，如图5 中，作 AEBD于 E，CF BD于 F根据 S四边形ABCD=S ABD+SBCD计算即可； 新建模型，如图5 中，作AEBD 于 E，CF BD 于 FS四边形 ABCD=S ABD+S BCD=?BD?AE +?BD?CF= ?BD?（ AE+CF） =?BD?（ OA?sin +OC?sin ） =?BD?AC?sin ； 模型应用，如图 4 中，在 CB上取 CE=CD ，连接 DE，AE，BD 只要证明 BD=AC ， APB=60 即可； 【解答】 解：问题解决，如图5 中，作 AEBD于 E，CF BD于 F S四 边 形 ABCD=SAB

43、D+SBCD=?BD?AE +?BD?CF= ?BD?（ AE+CF） =?BD? （OA?sin60 +OC?sin60）=?BD?AC=150 新建模型，如图 5 中，作 AEBD于 E，CF BD于 F S 四 边 形ABCD=SABD+SBCD=?BD?AE +?BD?CF=?BD?（ AE+CF） =?BD? （OA?sin +OC?sin ）=?BD?AC?sin = absin ， 故答案为absin 模型应用，如图 4 中，在 CB上取 CE=CD ，连接 DE，AE，BD AB+DC=BC ， 27 / 29 AB=BE ， ABC= BCD=60 ， ABE与CDE均为等边

44、三角形， AE=BE ，DE=CE ， AEB= CED=60 ， BED= AEC=120 ， 在BED与AEC中， ， BED AEC （SAS ） ， AC=BD ，EAC= EBD ， AOP= BOE ， APO= AEB=60 ， S四边形ABCD= ?a?a?sin60 = a2 24 （12 分）如图，已知RtABC中， C=90 ，AC=8cm ，AB=12cm ，点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC方向向点 C匀速运 动，速度均为 1cm/s以 AQ、PQ为边作 ?AQPD ，连接 DQ，交 AB于点 E设 运动的时间为 t（

45、单位： s） （0t6） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时， ?AQPD为矩形 （2）当 t 为何值时， ?AQPD为菱形 （3）是否存在某一时刻t，使四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若 存在，请求出 t 值，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用矩形的性质得到APQ ABC ，利用相似三角形对应边的比 相等列出比例式即可求得t 值； 28 / 29 （2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答； （3）过点 P作 PMAC于 M先表示出 APQ的面积和 S四边形 PQCB=S ABCSAPQ， 进而建立方程即可得出结论 【解答】 解： （1）如图 2，当?AQPD是矩形时

46、， PQ AC ， PQ BC ， APQ ABC =， 由运动知， QA=t，BP=t， AP=AB BP=12t， 即， 解之t=， 当 t=时，?AQPD是矩形； （2）当?AQPD是菱形时， DQAP，AE= AP 则 cosBAC=， 由运动知， QA=t，BP=t， AP=AB BP=12t，AE=6 t， 解之t=， 所以当 t=时， AQPD是菱形； （3）存在时间 t，使四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积 在 RtABC中，根据勾股定理得， BC=4， 如图 3，过点 P作 PMAC于 M 则=， 29 / 29 即， 故 PM=（12t） SAPQ=AQPM=t（12t） ， S四边形PQCB=SABCSAPQ=48t（12t） ， 四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积， 2t（12t）=48t（12t） ， t=（舍）或 t=