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1、实用标准文案 文档 二次根式化简的常用技巧 江苏朱元生 二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一, 也是中考和数学竞赛中的常见题型. 对于特殊的二次根式的化简, 除了掌握基本概念和运算法则外, 还应根据根式的具体结构特 征, 灵活选用一些特殊的方法和技巧. 这样做 , 不仅可以化难为易、化繁为简, 提高解题速度, 收到事半功倍的奇效, 而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习 惯. 现就几类常用的方法和技巧举例说明如下, 供同学们参考： 一、巧用乘法公式 例 1、化简： )303223)(532( 解析：本题的关键是对第二个因式提取6后，易发现与第一个因式的数量关系，再
2、变 形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式. 原式 = 5)32(5)32(6)523(6)532( =12626)53622(65)32(6 2 2 练习：化简： 567567576675 解：原式 2222 567765 42 302 304 104 二、巧用逆运算 例 3、化简 20092008 )322()322( 解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算： nnn abba)( 原式 = )322()322)(322()322()322()322( 200820082008 = 322)322()1( 2008 练习：化简： 19981999 32 232 2 解 ：原式 199
3、8 32 232 232 2 1998 9832 232 2 解题技巧 实用标准文案 文档 三、巧因式分解 对“分式型”代数式, 分子分母都是多项式时, 有时可以先分别因式分解, 通过约分达到 化简目的 . 例 2、化简 235 6101528 解析：本题的关键是将分子中的8 拆数配方因式分解，进而约分求得结果. 原式 = 235 61033525 22 = 235 35235 2 = 235 23535 =35 化简：。 分析 ：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算， 可惜运算量太大，不宜采取。 但我们发现（x-y ）和（ x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。 解
4、：原式 = = =0. 练习：化简 10151421 57 23 23 1 )57)(23( 57 )23(5)23(7 57 ：原式解 （1） 57 10141521 实用标准文案 文档 （2） 12 35 (13)(35) 解： （1） 5757 32 101415217(23)5(23) （2） 12 35(13)( 35)1151 2 (13)( 35)(13)(35)3513 说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌 握式子变形的一些技巧。如本例（2） ，采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（4） 逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，
5、就容易进行分母有理化。 练：把下列各式分母有理化： （1） 12 235 （2） 1 1236 解： （1） 原式 12( 235)2 66(235) 2 33 230 ( 235)( 235)2 6 （2）原式 = 111236 2(1-2)+3(1-2)(1-2)(1+3) 实用标准文案 文档 四、巧拆项、裂项添项 对于一些连续相加的分式型二次根式, 如果拆项后能互相抵消, 则可用此法 . 例 4、化简 4235630 5627 解析：本题的关键是将分子中的62拆成66，分母因式分解，进而裂项化简 原式 )76)(65( )56()67( )65(7)65(6 )56()67( = 67
6、1 56 1 )76)(65( 56 )76)(65( 67 =57)67()56( 练习 1、化简 ： 52 31 5331 解 ：原式 5331 5331 11 3153 3153 22 51 2 练习 2、 2004200320032004 1 3223 1 22 1 化简 解 : 因为 1nnn) 1（n 1 实用标准文案 文档 , 1n 1 n 1 ) 1n(n n1n )n1n( )1n(n 1 巧添项 例 6化简 ： 2 10 257 解： 原式 22 1057 257 22 257 257 257257 257 257 化简： 532 62 . 分析 ：本题若直接分母有理化显然
7、较复杂，若将分子添加 222 )5()3()2(，利 用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷. 解： 532 62 = 532 )5()32( 532 )5(62)3()2( 22222 实用标准文案 文档 =.532 532 )532)(532( 五、巧换元 当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简 单形式，以便于发现解题规律。 例 5、化简 11 11 xx xx + 11 11 xx xx 解析：注意到11xx与11xx的和为12 x，积为 2 因此若设11xx=A，11xx=B 则A+B=21x，2)1()1(xxAB 所以，原式 = A B
8、 + B A = AB BA 22 = AB ABBA2 2 = 2 2212 2 x =x2 练习：化简 ： 2 2789834 32 aaa aaa aaaa 解： 设am，则原式 2 332 22 2789834 32 mmmm mmmm 2 2 2 194 32964 321 mmm mmm mmm m 25. 练习：化简：81 82 83 84 1。 分析 ：本题若先计算出81 828384将十分复杂，如果将数字转化成字母积的形式， 将会出现“柳暗花明又一村”的境界。 解 ：令81a，则 原式 2 2 123131a aaaaa 2 316805aa。 实用标准文案 文档 练习：化简
9、 235 6102 。 分析：观察式子的结构，分母中含有三项，若将分母中的根式去掉，必须进行两次以上 的运算，运算量大。如果用字母代数的方法，将其转化为有理式运算，则可简化运算过程。 解 ：设5a, 3=b, 2=c, 则10 ac, 6=bc,a 2b2=2. 原式 cba bcacba 22 cba bcbabacaba)()( 22 cba cbaba)( ab= 53。 练习 1、 （第十届初二“希望杯”）已知 a、b、c 都为正数，且 , ac 1 bc 1 ab 1 y, c 1 b 1 a 1 x,ba则 x 与 y 的大小关系为（） （A）xy （B）xy （C）x=y （D）
10、随 a、b、c 的取值变化而定 （A）。,mknkmnknm .0mknkmnknm,knm, cba ,)km()kn()nm( 2 1 mknkmnknm .mknkmny,knmx, c 1 k, b 1 n, a 1 m： 222 222 222222 222 答案为故 所以从而又因为 因为 则设解 练习 2、 （十二届初二“希望杯”）化简._ 3426302 352 的结果是 . 12 6 62 1 ac2 1 )acb(ac2 cba )caacabc(2 cba ,3c,5b,2a： 22 原式 则设解 实用标准文案 文档 六、巧构方程 方程法 : 对于一些带号的无限循环式的化简
11、, 通常可设原式值为x, 设法建立一个关于x 的方程求解 . 例 6、化简 333 解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设x=333 两边平方，得xx3 2 即0)3(xx 解得0, 3 21 xx（不合舍去）所以333= 3 练习：化简求值666 解 : 设原式 =x, 则 x=,x6两边平方得,06xx 2 即 (x-3)(x+2)=0,取正数 x=3. 22 1 22 1 22 1 29化简例 解 : 设原式 =x,m2x .3 ,32m .32 2 1222 m 原式 取正值 用求根公式得 .0122 , 1 22 2 mm m m 所以 则 实用标准文案 文档 七、巧取倒数
12、如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解, 常常可先取倒再来解决. 例 7、化简 1325 33515 解析： 此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。 设原式 =a，则 35 1 13 1 )13)(35( )13()35( 33515 13251 a = 2 15 2 35 2 13 ，原式 2 15 15 2 a 练习：. 1223 2236 化简 实用标准文案 文档 八、平方法 对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）, 常以退为进，先求出它的平方。 110 310310 7化简例 解 : 设原式 =x, 则,2 110 2102 x 2 所以原
13、式 = .2 化简：5353. 分析 ：观察式子，发现结果大于0，故可先将整个式子先平方，再求其算术平方根. 解 ：设5353=m（)0m，则 2 m= 2 )5353(=3+5253)53)(53(2， 因 为 0m，所以2m，即原式 =.2 练习 1、化简 ：3535 解：设3535k，则 2 22 35352 356410k 10kk， 实用标准文案 文档 即353510 练习 2、化简：6208 36208 3 解：设x=6208 36208 3 显然0x则 2 x 2 6208 36208 3 = 122 36208 3 大胆地用完全平方公式吧！计算量其实不大。 =122 168 3
14、 =12442 3 = 2 12431 = 124( 31) =84 3 = 2 62 0x，62x 即原式 = 62 用这种方法可以很轻松地解决下面这道题题。 （4）计算3535 解：令3535x 则 2 2 3535x =10 把这长串式子平方看起来挺复杂，你用完全平方公式配合平方差公式试试，就这么简单。 实用标准文案 文档 显然0x，所以10x 所以原式的结果为10。 评注：当然， 2 51 62 5 35 22 ，你配方这么做也行。 九、配方法（公式法） （巧用韦达定理） 在复合二次根式bma中，如果存在x0,y0,使得 .， xy2bm，.yx)yx(bma ，, ayx,bmxy2
15、 2 22 再检查平方项的形式 成一般先拆开在使用此法时写成式子为 达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完 例 4 化简.5614 解：原式 =55329 .53)53( 2 例 5 化简)(212172232等于 （A）245(B)124 （C）5 （D）1 .1223222 )223()12(2 822329112222 212172232: 22 解 1. amb型二次根式的化简 例：化简： （1）52 6 （2）64 2 （3）35 实用标准文案 文档 解： （1） 2 52 6( 32)32 （2） 2 64 2(42)42 （3） 2 62 5(51)51102 35 2222
16、说明：这是一类复合二次根式am b的化简问题，化简方法如下： （ i ）当m=2 时，可应用配方法，设法找到两个正数x、y（xy） ，使x+y=a，xy=b，则 2 22()abxyxyxyxy，如本例（ 1） 。 （ii ）当2m时，设法转化为（i ）处理： 如果 m是大于 2 的偶数（如本例（2） ）或被开方数b 中含有 4 的因数（如练习（2） ） ， 那么可利用根号内（外）因式的移动，容易转化成2ab型。 如果 m=1 ，b 中又不含有4 的因数，那么把根号内式子乘以 2 2 ，即可转化为（i ） ，如本 例（ 3） 。 如果 m是大于 1 的奇数，那么可先把m移到根号里面，再把根号内式子乘以 2 2 ，转为为 （i ） ，如练习（ 3） 。 练：化简 （1）82 15 （2）412 （3）63 3 解： （1） 2 82 15( 53)5353 （2） 2 412( 31)31 （3） 2 12227( 93)933 26 63 3 222 2