傅里叶变换地基本性质.pdf

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1、实用文档 标准文案 3-5傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中， 经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必 要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、 线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 )()( 11 jFtf)()( 22 jFtf 则 )()()()( 2121 jbFjaFtbftaf (3-55) 其中 a 和 b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例 3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数 )( jF 。 解因 )sgn( 2 1 2 1 )()(

2、ttUtf 由式 (3-55) 得 jj ttUjF 1 )( 2 2 1 )(2 2 1 )sgn( 2 1 1 2 1 )()( 二、对称性 若 )()(jFtf )(2)(fjtF (3-56) 证明因为 实用文档 标准文案 dejFtf tj )( 2 1 )( 有 dejFtf tj )()(2 dejFtf tj )()(2 将上式中变量换为 x，积分结果不变，即 dxejxFtf jxt )()(2 再将 t 用代之，上述关系依然成立，即 dxejxFf xj )()(2 最后再将 x 用 t 代替，则得 )()()(2jtFdtejtFf tj 所以 )(2)(fjtF 证毕

3、若 )(tf 是一个偶函数，即 )()(tftf ，相应有 )()(ff ，则式 (3-56) 成为 )(2)(fjtF (3-57) 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互 相置换的关系， 其幅度之比为常数 2 。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。 例如 1)()()(jFttf )(2)(21)(fjtF 例 3-7若信号 )(tf 的傅里叶变换为 实用文档 标准文案 0 2 )( A jF 2/ 2/ 试求 )(tf 。 解将 )( jF 中的换成 t ，并考虑 )( jF 为的实函数，有 0 2 )()( A tFjtF 2/ 2/ t t 该信号

4、的傅里叶变换由式(3-54) 可知为 ) 2 (2)(SaAtF 根据对称性 )(2)(ftF 故 ) 2 ()(SaAf 再将 )(f 中的换成 t ，则得 ) 2 ()( t SaAtf )(tf 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20 所示。 图 3 - 20 )( jF A 2/02/ f(t) 0 t E /2/2 三、折叠性 若 )()(jFtf 实用文档 标准文案 则 )( )( )()( jF jF jFtf 为虚函数 为实函数 )( )( tf tf (3-58) 四、尺度变换性观看动画 若 )()(jFtf 则 )( 1 )( a jF a atf (a 为大于零的实常数 )

5、 （3-59) 证明因 a0，由 dteatfatf tj )()( 令atx，则 adtdx ，代入前式，可得 )( 1 )()( / a jF aa dx exfxf axj 证毕 函数 )(atf 表示 )(tf 沿时间轴压缩( 或时间尺度扩展) a倍，而 )( a jF 则表示 )( jF 沿频率轴扩展 ( 或频率尺度压缩 ) a 倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好 等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例 3-8已知 0 )( E tf 4/ 4/ t t , 求频谱函数 )( jF 。 解前面已讨论了 实用文档 标准文案 0 )( 0 E

6、tf 2/ 2/ t t 的频谱函数，且 ) 2 ()( 0 SaEjF 根据尺度变换性，信号 )(tf 比 )( 0 tf 的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因 此其频谱函数 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 1 )( 0 Sa E jFjF 两种信号的波形及频谱函数如图3-21 所示。 图 3 - 21 E 2/02/ )( 0 jF 0 E /2/2 t )( 0 tf E 4/04 / t )(tf )(jF 0 2/E /4 五、时移性 若 )()(jFtf 则 0 )()( 0 tj ejFttf (3-60) 此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域 )(tf 平

7、移时间 0 t ，则 实用文档 标准文案 其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变 0 t 。 例 3-9求 0 )( E tf tt t ,0 0 的频谱函数 )( jF 。 解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有 2/ ) 2 ()( j eSaEjF 六、频移性 若 )()(jFtf 则 0 0 )(jFetf tj (3-61) 证明 )()()()( 0 )( 000 jFdtetfdteetfetf tjtjtjtj 证毕 频移性说明若信号 )(tf 乘以 tj e 0 ，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以 tj e 0 ，这就使频谱中的每条谱线都必须平移

8、0，亦即整个频谱相应地搬移了0 位置。 频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频 谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号 )(tf 乘以所谓载频信号 t 0 cos 或 t 0 sin ，即 )()( 2 1 cos)( 000 jFjFttf )()( 2 sin)( 000 jFjF j ttf 七、时域微分性 实用文档 标准文案 若 )()(jFtf 则 )()( )( jFj dt tfdn n n (3-62) 证明因为 dejFtf tj )( 2 1 )( 两边对 t 求导数，得 dejFj dt tdftj )( 2 1)( 所以 )

9、()( )( jFj dt tdf 同理，可推出 )()( )( jFj dt tfdn n n 证毕 例 3-10求 )()( )( ttf n 的频谱函数 )( jF 。 解:因为 1)(t 由时域微分性 n jjF)()( 例 3-11图 3-22 所示信号 )(tf 为三角形函数 实用文档 标准文案 0 1 ) 2 ()( t t tf t t 求其频谱函数 )( jF 。 解:将 )(tf 微分两次后，得到图3-22(c) 所示函数，其表达式为 )( 1 )( 2 )( 1 )( ttttf 由微分性 1cos 2 )2( 1 )()()( 2 jj eetfjtf 所以 ) 2 (

10、 )2/( )2/(sin )( ) 1(cos2 )( 2 2 2 2 Sa j tf t )/(tf(t) 1 0 t (t)f 0 /1 /1- t (t)f 0 )/(1 )/(1 )/(-2 (a) (b) (c) 图3 - 22 八、频域微分性 若 )()(jFtf 则 d jdF jttf )( )( 实用文档 标准文案 n n nn d jFd jtft )( )()( (3-63) 例 3-12求 )()(ttUtf 的频谱函数 )( jF 。 解: 因为 j tU 1 )()( 根据频域微分性 2 1 )( 1 )()(j jd d jttU 九、时域积分性 若 )()(j

11、Ftf 则 )()0( )( )(F j jF dttf t (3-64) 例 3-13根据 1)(t 和积分性求 )()(tUtf 的频谱函数。 解:因为 1)(t 又 t dxxtU)()( 根据时域积分性 )( 1 )( j tU 例 3-14求图 3-23 所示信号 )(tf 的频谱函数 )( jF 。 实用文档 标准文案 解: )(tf 对t求两次微分后，得 )2/( 1 )2/( 1 )( tttf 且 ) 2 sin( 211 )( 2/2/ jeetf jtj 由时域积分性 ) 2 () 2 sin( 2 )(0) 2 sin( 2 )()( Sadxxftf t ) 2 (

12、1 )()()0() 2 sin( 2 )()( 2 Sa j Sa j dxxftf t (a) (b) (c) 图3 - 23 t f(t) 1 02/2/ t f(t) 1 02/ 2/ /1 t f(t) 0 )/(-1 )/(1 2/ 2/ 十、频域积分性 若 )()(jFtf 则 dxjxF j tf t tf j )( 1 )( 1 )()0( 1 (3-65) 例 3-15已知t t tf )sin( )( ，求 )( jF 。 解:因为 实用文档 标准文案 )1()1() 1()1( 2 2 )( 2 1 )sin(j j ee j t jtjt 根据频域积分性 )1()1(

13、)1()1( 1)sin( UUdxxxj jt t 十一、时域卷积定理 若 )()( 11 jFtf)()( 22 jFtf 则 )()()()( 2121 jFjFtftf (3-66) 证明 ddtetffdtedtfftftfF tjtj )()()()()()( 212121 )()()()()()( 121221 jFjFdefjFdejFf tjtj 证毕 例 3-16 图 3-24(a) 所示的三角形函数 0 1 )( t tf t t 可看做为两个如图324(b) 所示门函数 )(tG 卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数 )( jF 。 实用文档 标准文案 t f(t) 1

14、 0 t (t)G 1 0 2/2/ 1 (a) (b) 图 3 - 24 解：因 ) 2 ( 2 ) 2 sin( )(SatG 又 1 )()()(tGtGtf 所以 ) 2 ()( 2 SajF 例 3-17一个信号 )(tf 的希伯特变换 )(tf 是 )(tf 和 t 1 的卷积，即 d t f t tftf )( )(11 )()( 解：因为 j t 2 )sgn( 则对称性 )sgn(2)sgn(2 2 jt 有 实用文档 标准文案 )sgn( 1 j t 由时域卷积定理 )()sgn( 1 )()(jFj t tftf 即 )()sgn()(jFjjF 十二、频域卷积定理 若

15、)()( 11 jFtf)()( 22 jFtf 则 )()( 2 1 )()( 2121 jFjFtftf (3-67) 或 )2()2()()( 2121 fjFfjFtftf 例 3-18利用频域卷积定理求 )()(ttUtf 的傅里叶变换 )( jF 。 解： 因为 jt)( 由对称性 )(2)(2 jt 有 )(2 jt j tU 1 )()( 所以根据频域卷积定理 实用文档 标准文案 )()(ttUtf 有 ) 1 ()()( 1 )()( 1 )()(2 2 1 )( jj j jjF 即 ) 1 ()()( 2 jjF 十三、帕塞瓦尔定理 若 )()( 11 jFtf)()(

16、22 jFtf 则 djFjFdttftf)()( 2 1 )()(2 121 (3-68) 可推广 djFdttf 2 1 2 1 )( 2 1 )( (3-69) 若 )( 1t f 为实函数，则 djFdttf)( 2 1 )( 2 1 2 1 (3-70) 若 )( 1 tf , )( 2 tf 为实函数，则 djFjFdttftf)()( 2 1 )()(2 121 (3-71) 例 3-19求 dSa)( 2 。 解： 因 实用文档 标准文案 dSaSadSa)(2)(2 2 1 4 2 )( 2 又 )()(2 2 tGSa 由帕塞瓦尔定理可得 dttGtGdSa)()( 2 )

17、( 22 2 十四、奇偶性 若 )()()()()( )( jXReFjFtf j ，则 (1) 当 )(tf 为实函数时，则 )()( )()()(FjFF )()( )()( XX RR (3-72) 若 )(tf 为实偶函数，即 )()(tftf ，则 0)( )()()( X RFjF (实偶函数 ) (3-73) 若 )(tf 为实奇函数，即 )()(tftf ，则 0)( )()( R jXjF (虚奇函数 ) (3-74) (2) 当 )(tf 为虚函数，即 )()(tjxtf 时，则 )()( )()(FF )()( )()( XX RR (3-75) 傅里叶变换的基本性质归纳

18、如表3-3 所示。 表 3-3 傅里叶变换的基本性质 实用文档 标准文案 性 质 名 称时 域频 域 1. 线性)()( 21 tbftaf)()( 21 jbFjaF 2. 对称性)( jtF)(2 f 3. 折叠性)( tf )(jF 4. 尺度变换性)(atf )( 1 a jF a 5. 时移性)( 0 ttf 0 )( tj ejF 6. 频移性)( 0 tfe tj )( 0 jF 7. 时域微分 n n dt tfd)()()(jFj n 8. 频域微分)(tft n n n n d jFd j )( )( 9. 时域积分 t dxxf)( )()0( )( F j jF 10. 频域积分)( 1 )()0(tf t tf dxjxF j )( 1 11. 时域卷积)()( 21 tftf)()( 21 jFjF 12. 频域卷积)()( 21 tftf)()( 2 1 21 jFjF 13. 帕塞瓦尔定理djFjFdttftf)()( 2 1 )()( 2 121 实用文档 标准文案 跳转至第六节