八上培优5半角模型.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 八上培优 5 半角模型方法 ：截长补短 图形中，往往出现90套 45的情况，或者120套 60的情况。还有2套的情况。求 证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻 折分割构全等。截长法，补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49 页，新观察在第34 页，新观察培优也有涉及，在第27 页 2 两个例题， 29 页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两 次全等。 下面是新观察第34 页 14 题 1. 如图， 四边形ABCD中，A=C=90 ，D=60 ，AB=BC ，E、F，分别在AD 、CD上

2、，且EBF=60 求证：EF=AE+CF 2. 如图 2，在上题中，若E、F分别在 AD 、 DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF 3. 如图，A=B=90 , CA=CB=4, ACB=120 ， ECF=60 ，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积 . 实用标准文档 文案大全 A C B F E A C B F E D 4如图 1在四边形ABCD中AB=AD ， B+D=180，E、F分别是边BC 、CD上的点， 且 BAD=2 EAF （1）求证： EF=BE+DF ； （2）在（ 1）问中，若将AEF绕点 A逆时针旋转，当点E、F 分别运动到BC 、CD延

3、长线上时， 如图 2 所示，试探究EF、BE 、DF之间的数量关系 3. 如图 3，在四边形ABDC 中，B+C=180 ，DB=DC ，BDC=120 ，以 D为顶点作一个60的 角，角的两边分别交AB 、AC于 E、F 两点，连接EF，探索线段BE 、CF 、EF之间的数量关系，并 加以证明 实用标准文档 文案大全 勤学早第40 页试题 1. （ 1）如图，已知AB= AC, BAC=90 ，MAN=45 ,过点 C作NC AC交AN于点 N ， 过点 B作 BM 垂直AB交AM于点 M ，当MAN在 BAC内部时，求证：BM+CN =MN; B AC M N B AC M N G B A

4、C M N G 证明 : 延长 MB到点 G ，使 BG=CN, 连接 AG ，证ABG ACN(SAS), AN=AG, BAG= ,NAC. L GAM= GAB + BAM= CAN+ BAM=45 = LMAN, 证AMN AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM十 NC. 证明二： (此证明方法见新观察培优第27 页例 3) (2) 如图 , 在(1) 的条件下，当AM和 AN在 AB两侧时， (1) 的结论是否成立?请说明理由 . B AC N M B AC N M F 解: 不成立，结论是:MN=CN一 BM, 证明略 . 实用标准文档 文案大全 基本模型二 1

5、20 套 60 2. 如图， ABC中,CA=CB,ACB=120 ,E 为 AB上一点， DCE=60 , DAE= 120， 求证 :DE=BE A B C D E A B C D F E 证明 :( 补短法 ) 延长 EB至点 F,使 BF=AD,连接 CF,则 CBF CAD ， CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE. 3. 如图 , ABC中 ,CA=CB,ACB=120 ，点 E为 AB上一点， DCE= DAE= 60， 求证 :AD+DE= BE. C B A D E C B A D EF 证明 :( 截长法 ) 在 BE上截取 BF=AD,连接 CF，易证 C

6、BF CAD ， CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE. 比较：新观察培优版27 页 例 4 如图， ABC是边长为1 的等边三角形，BDC是顶角， BDC= 120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB 、 AC于 M 、N, 连结 MN, 试求 AMN 的周长 . 32 1 A BC D P M N 实用标准文档 文案大全 分析 : 由于 MDN=60 , BDC=120 ，所以 BDM 十 CDN=60 ，注意到DB=DC ，考虑运用“旋转 法”将 BDM和 CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面, AMN的周长AM+AN + MN=

7、AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想 MN= BM+CN, 证三角形全等解决. 新观察培优68 页例 5 如图，点 A 、B(2,0) 在 x 轴上原点两侧, C在 y 轴正半轴上 , OC平分 ACB. (1) 求 A点坐标 ; (2) 如图 1, AQ 在 CAB内部，P是 AQ上一点， 满足ACB= AQB, AP=BQ. 试判断 CPQ 的形状， 并予以证明 ; (3) 如图 2. BD BC交 y 轴负半轴于D. BDO=60 , F为线段 AC上一动点， E在 CB延长线上， 满足 CFD+ E=180. 当 F在 AC上移动时，结论: CE+CF 值不变 ; CE- CF 值

8、不变，其中只 有一个正确结论，请选出正确结论并求其值. y x 2 1 O D C AB P 3 y x 2 1 O G C A B D F E 分析 :(1) 由 A0C BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0). (2) 由 ACP BCQ 得 CP=CQ. (3) 由 BDBC, BDO=60 ， 可证得等边 ABC.由角平分线和DB_ BC的条件 , 运用对称性知DA AC, 连结 DA, 加上条件 CFD+ E=180，可证得ADFBDE, 于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8. 基本模型三 2套 实用标准文档 文案大全 4.(1) 如图 1， 在四边形ABCD 中， AB

9、=AD,B+D=180 , E,F分别是BC,CD上的点，且EAF= 1 2 BAD, 求证:EF= BE+ DF; (2) 如图 2, 在(1) 的条件下 , 若将 AEF绕点 A逆时针旋转， 当点 E,F 分别运动到BC,CD延长线上时， 则 EF,BE,DF 之间的数量关系是EF=BE- DF A BC D G E F A B C D E F M 解:(1)EF=BE+DF, 延长 FD到点 G，使 DG=BE, 连接 AG, 证ABE ADG (SAS), AE = AG, BAE= DAG ，EAF= 1 2 BAD, GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF= BAD- EA

10、F= EAF, EAF= GAF, 证AEF GAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF; (2)EF=BE DF. 外地试题： 实用标准文档 文案大全 4 探究： 如图，点 E、 F分别在正方形ABCD 的边 BC、 CD上， EAF=45 ， 连结 EF， 求证：EF=BE+DF 应用：如图，在四边形ABCD中，点 E、F 分别在 BC 、CD上， AB=AD ， B+D=90， EAF=1 2 BAD ，若 EF=3，BE=2 ，则 DF= 5通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补 充完整 原题：如图

11、 1， 点 E、 F 分别在正方形ABCD 的边 BC 、CD上，EAF=45 ，连接 EF ，求证：EF=BE+DF （1）思路梳理 AB=AD ，把 ABE绕点 A逆时针旋转90至 ADG ，可使 AB与 AD重合 ADG= B=90， FDG= ADG+ ADC=180 ，则点F、D、G共线 根据，易证 AFG ，从而得EF=BE+DF ； （2）类比引申 如图 2，四边形ABCD 中， AB=AD ， BAD=90 点 E、F 分别在边BC 、CD上， EAF=45 若 B、 D都不是直角， 但当 B与 D满足等量关系时，仍有 EF=BE+DF ， 请给出证明； （3）联想拓展 如图

12、3，在 ABC中， BAC=90 ， AB=AC ，点 D 、E均在边 BC上，且 DAE=45 ，猜想BD 、DE 、 EC应满足的等量关系，并写出推理过程 7 （1）如图 1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B=D=90，E、F 分别是边BC 、 CD上的点， 且 AE=AF ， EAF=1 2 BAD 现有三种添加辅助线的方式：延长EB至 G，使 BG=BE ，连接AG ；延长FD 至 G ，使 DG=BE ，连接 AG ；过点 A作 AG EF，垂足为 G；选择其中一种方法添加辅助线，求证： EF=BE+FD ； 实用标准文档 文案大全 （2）如图 2，在四边形ABCD中， AB=

13、AD ，若 B+D=180， EAF=1 2 BAD ，证明（ 1）中结论 是否还成立？ （3）如图 3，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+ADC=180 ，E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点， 且 EAF=1 2 BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间 的数量关系，并证明 8 （ 1）如图 1，在四边形ABCD 中， AB=AD ， B=D=90， E、F 分别是边 BC 、CD上的点，且 EAF=1 2 BAD 求证： EF=BE+FD （2） 如图 2， 在四边形ABCD 中，AB=AD ， B+D=180，E、 F分别是边BC 、

14、CD上的点， 且 EAF=1 2 BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE 、FD它们 之间的数量关系，并证明 （3）如图 3，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+ADC=180 ，E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点， 且 EAF=1 2 BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、 BE 、 FD它们之间的数量关系，并证明 半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？ 实用标准文档 文案大全 1如图 1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4） （1）求 B点坐标； （2）如图 2，

15、若 C为 x 正半轴上一动点，以 AC为直角边作等腰直角ACD ，ACD=90 ，连接 OD ， 求 AOD的度数； （3）如图 3，过点 A作 y 轴的垂线交y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G在 EF的延长线上，以 EG为直角边作等腰RtEGH ，过 A作 x 轴垂线交EH于点 M ，连 FM ，等式 AM=FM+OF 是否成立？若 成立，请说明；若不成立，说明理由 解： （1）如图所示，作AE OB于 E， A（4，4） ， OE=4 ， AOB为等腰直角三角形，且AEOB ， OE=EB=4 ， OB=8 ， B（8，0） ； （2）如图所示，作AE OB于 E，DFOB于 F

16、， ACD为等腰直角三角形， AC=DC ， ACD=90 即 ACF+ DCF=90 ， FDC+ DCF=90 ， ACF= FDC ， 又 DFC= AEC=90 ， DFC CEA （AAS ） ， EC=DF=4 ，FC=AE ， A（4，4） ， AE=OE=4 ， FC=OE ，即 OF+EF=CE+EF， OF=CE ， OF=DF ， DOF=45 ， AOB为等腰直角三角形， AOB=45 ， AOD= AOB+ DOF=90 ； （3）AM=FM+OF 成立，理由：如图所示，在AM 上截取 AN=OF ，连 EN A（4，4） ， AE=OE=4 ， 又 EAN= EOF

17、=90 ， AN=OF ， EAN EOF （SAS ） ， 实用标准文档 文案大全 OEF= AEN ，EF=EN ， 又 EGH 为等腰直角三角形， GEH=45 ，即 OEF+ OEM=45 ， AEN+ OEM=45 又 AEO=90 ， NEM=45 =FEM ， 又 EM=EM ， NEM FEM （SAS ） ， MN=MF ， AM-MF=AM-MN=AN， AM-MF=OF ， 即 AM=FM+OF； 【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综 合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 2如图，

18、直线L 交 x 轴、 y 轴分别于 A、B两点， A（a，0）B（0，b） ，且（ a-b ） 2+|b-4|=0 （1）求 A 、B两点坐标； （2）C为线段 AB上一点， C点的横坐标是3，P是 y 轴正半轴上一点，且满足OCP=45 ，求 P 点坐标； （3）在（ 2）的条件下，过B作 BD OC ，交 OC 、OA分别于 F、D两点， E为 OA上一点，且 CEA= BDO ，试判断线段OD与 AE的数量关系，并说明理由 （1）解：（ a-b ） 2+|b-4|=0 ， a-b=0 ，b-4=0 ， a=4，b=4， A（4，0） ，B（0，4） ； （2） 实用标准文档 文案大全 3

19、如图，已知A（a，b） ，AB y 轴于 B ，且满足 |a-2|+ （b-2 ） 2=0， （1）求 A点坐标； （2）如图 1，分别以AB ， AO为边作等边三角形ABC和 AOD ，试判定线段AC和 DC的数量关系 和位置关系，并说明理由； （3）如图 2，过 A作 AE x 轴于 E，点 F、G分别为线段OE 、AE上两个动点，满足FBG=45 ， 试探究 OFAG FG 的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由 2017-2018 江汉期中如图点 P为 ABC的外角 BCD的平分线上一点，PA=PB （1）求证： PAC= PBC ； （2）作 PE BC于 E ，若

20、 AC=5 ，BC=11 ，求 S PCE ：SPBE ； 实用标准文档 文案大全 （3）若 M 、N分别是边AC 、BC上的点，且MPN= 1 2 APB ，则线段AM 、MN 、 BN之间有何数量关 系，并说明理由 解： （1）如图 1，过点 P作 PE BC于 E，PF AC于 F， PC平分 DCB ， PE=PF ， 在 RtPAF和 Rt PEB中， PFPE PAPB， Rt PAF RtPEB ， PAC= PBC ， （ 2） 如图2，过点P 作PF AC 于F， PEBC ，CP是 BCD的平分线， PE=PF ， PCF= PCE ， PC=PC ， PCF PCE ，

21、CF=CE ， 由（ 1）知， RtPAF RtPEB ， AF=BE ， AF=AC+CF ，BE=BC-CE ， AC+CF=BC-CE， 5+CF=11-CE ， CE=CF=3 ， PFC PEC ， S PFC=SPEC， RtPAF RtPEB ， S PAF=SPEB， S PCE：SPBE=SPFC：SPFA = 1 2 CFPF： 1 2 AC PF =CF ：AC=3 ： （3+5）=3： 8； （3）如图 3，在 BC上截取 BQ=AM ， 在 PMA和 PQB中， PAPB PAMPBQ MABQ ， PMA PQB ， PM=PQ ， MPA=QPB， APM+ QP

22、A= APQ+ QPB ， 即： APB= MPQ ， MPN= 1 2 APB ， MPN= 1 2 MPQ ， MPN= QPN ， 实用标准文档 文案大全 在 MPN 和 QPC中， PNPN MPNQPN MPQP ， MPN QPC ， MN=QN ， BN=AM+MN 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全 等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平 分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF ， 解（ 2）的关键是求出CE=CF=3 ，解（ 3）的关 键是构造全等三角形判断出APB= MPQ ，是 一道中等难度的中考常考题 2015-2016 江岸八上期末已知在 ABC中， A

23、B=AC ，射线 BM 、BN在 ABC内部，分别交线段AC于 点 G 、H （1）如图 1，若 ABC=60 、 MBN=30 ，作 AE BN于点 D，分别交BC 、BM于点 E 、 F 求证： CE=AG ； 若 BF=2AF ，连接 CF ，求 CFE的度数； （2）如图 2，点 E 为 BC上一点， AE交 BM于点 F，连接CF ，若 BFE= BAC=2 CFE ，直接写出 ABF ACF S S V V = 【分析】（1） 由 AB=AC ， ABC=60 得到 ABC为等边三角形， 根据等边三角形的性质得到BAC= ACB=60 ，AB=CA ，求得 BFD= AFG=60

24、，推出 EAC= GBA证得 GBA EAC ，根据全等三 角形的性质即可得到结论；如图 1，取 BF的中点 K连接 AK ，由 BF=2AF ，推出 FAK是等腰三角 形，根据等腰三角形的性质得到FAK= FKA ，求得AKF 1 2 BFD 30，根据全等三角 形的性质得到AG=CE ，BG=AE ， AGB= AEC ，推出 GAK EFC ，根据全等三角形的性质得到 CFE= AKF即可得到结论； （2）如图 2，在 BF上取 BK=AF ，连接 AK，推出 EAC= FBA ，根据全等三角形的性质得到SABK=S ACF，AKB= AFC ，证得 FAK是等腰三角形， 根据等腰三角形

25、的性质得到AF=FK ，即可得到结论 【解答】解： （1） AB=AC ， ABC=60 ABC为等边三角形， 则 BAC= ACB=60 ， AB=CA ， ADBN ， MBN=30 ， BFD= AFG=60 ， ABF+ BAF=60， BAF+EAC=60 EAC= GBA 在 GBA与 EAC中， GBAEAC ABCA GABECA， GBA EAC ， CE=AG ； 如图 1，取 BF的中点 K连接 AK ， BF=2AF ， AF=BK=FK= 1 2 BF， FAK是等腰三角形， 实用标准文档 文案大全 FAK= FKA ， BFD= FAK+ FKA=2 AKF ， B

26、FD=60 ， AKF 1 2 BFD 30， GBA EAC ， AG=CE ，BG=AE，AGB= AEC ， KG=BG-BK=AE-AF=FE， 在GAK 与EFC中， AG CE AGB AEC KG FE ， GAK EFC ， CFE= AKF ， CFE= AKF=30 ； 方法二：只要证明ADB BFC即可解决问 题； （2）如图 2， 在 BF上取 BK=AF ，连接 AK ， BFE= BAF+ ABF ， BFE= BAC ， BAF+ EAC= BAF+ABF ， EAC= FBA ， 在 ABK与 ACF中， ABAC ABKFAC BKAF， ABK AFC ， S ABK=SACF， AKB= AFC ， BFE=2 CFE ， BFE=2 AKF ， BFE=2 AKF= AKF+KAF ， AKF= KAF ， FAK是等腰三角形， AF=FK ， BK=AF=FK ， S ABK=SAFK， S ABF=SABK+S AFK=2SABK=2SACF， ABF ACF S S V V =2 故答案为： 2