《初中数学一题多解与一题多变.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学一题多解与一题多变.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、实用标准文案 文档 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革， 有了指导意见，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌 现；如今又提出课程要改革，有了课程标准，其中突出了学生自 主探索的学习过程， 强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造 性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势， 我们会思考这样一些问题： 教学要 如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问 题，形成有效的学习策略， 提高效益？该如何引导和组织学生从事观 察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴 趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人
2、在实际教学过程中，对 这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行 一题多解和一题多变的训练。 下面，我提出几个实例来分析其引导过 程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于“一题多解 “ ，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一 个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是 多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和 外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼 分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例 1：如图，已知 D 、E在 BC上，AB=AC ，AD=AE ， 求证： BD=CE
3、. EDCB A 实用标准文案 文档 （本题来自几何第2 册 69 页例 3） 思路与解法一： 从ABC和ADE是等腰三角形这一角度出发， 利用“ 等腰三角形底边上的三线合一“ 这一重要性质，便得三种证法，即过 点 A 作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是“ 等 腰三角形底边上的三线合一“，证得 BH=CH. 思路与解法二： 从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可 设法证 ABD ACE或证 ABE ACD ，于是又得两种证法，而证 这两对三角形全等又都可用AAS 、ASA 、SAS进行证明，所以实际是六 种证法。其通性是 “全等三角形对应边相等 “。 思路与解法三：
4、从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合 法可证。 例 2：已知，如图，在 O中，AD是直径， BC是弦，AD BC ，E为垂 足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加 字母，不写推理过程） 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD ； 2.BE=CE ； 3.AB=AC ； 4.BD=CD. O E D CB A 实用标准文案 文档 思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论： 1. AEC= AEB= BED= CED =ABD= ACD=Rt ； 2. ABC= ACB ； 3. DBC= DCB ； 4. BAD= CAD
5、 ； 5. BDA= CDA ； 6. BAD= BCD ； 7. CBD= CAD ； 8. ABC= ADC ； 9. ACB= ADB. 思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论： 1. 弧 AB= 弧 AC ； 2. 弧 BD= 弧 CD ； 3. 弧 ABD= 弧 ACD ； 4. 弧 ABC= 弧 ACB ； 5. 弧 BAD= 弧 DAC. 思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论： 1. AEB AEC ； 2. BED CED ； 3. ABD ACD. 思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论： ABE ACE CDE BDE ABD AC
6、D ， 即图中所有的直角三 实用标准文案 文档 角形两两相似。 思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论： 1. AE DE=EB EC 2. BE 2=EA ED=EC2 3. AB 2=AE AD=AC2 4. BD 2=DE DA=DC2 思路与解法七：从其它一些角度去思考，还可得如下一些结论： 1. AE 2+BE2=AB2=AC2=AE2+EC2 2. BE 2+ED2 =BD 2=CD2=CE2+DE2 3. BAC+ BDC=180 o 4. BAE+ ABE=90 o 5. BCADS ABCD 2 1 四边形 6. ACBABC SS 弓形弓形 以上两例分别从解法和
7、结论发散性地分析与解决问题，其中例2 虽然不要求写推理过程， 但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维 和推断过程，如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能 力和有效地发展创造性思维能力。 二、一题多变，多题归一 知识是静态的，思维是活动的；例、习题是固定的，而它的变化 却是无穷的。我们可以通过很多途径对课本的例、习题进行变式，如： 实用标准文案 文档 改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件 开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归一 的训练，可以把各个阶段所学的知识、 知识的各个方面紧密联系起来， 加深对知识的理解， 认识和体会数学是一个整体，
8、但更重要的是可以 起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学 习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。 例 3：已知，如图， AB是O的直径， CD是弦，AE CD ，垂足为 E， BFCD ，垂足为 F， 求证： EC=DF. G FEDC B A O 变式一：如图，已知AB是O的直径， CD是弦， AE CD于 E，BF CD于 F，BF交O于 G ，下面的结论： 1.EC=DF ；2.DE=CF ；3.AE=GF ； 4.AE+BF=AB 中，正确的有（） A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、4 G F EDC B A O 变式
9、二：把直线 EF和直径 AB的相对位置加以变化，即图形变化，条 件和结论均不变，便得新题，变化后的图形如下： 实用标准文案 文档 O F E D C B A 变式三：把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形 特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和O 切于点 C，AB 是O的直径， AC是弦，AE MN 于 E，BF MN于 F， NM FEC B A （1）求证： AC平分BAE ； （2）求证： AB=AE+BF； （3）求证：BFEAEF4 2 （4）如果 O的半径为 5，AC=6 ，试写出以 AE 、BF的长为根的一元 二次方程 . 变式四：把直线EF动起来，由相切变为
10、相交，在运动变化过程中猜 想并推断原有的结论是否仍成立， 即把原来的封闭型试题演变为动态 几何探索题。题目如下： l FE B A O l F EC2C1 B A OO （1）如图，AB是O的直径，直线 L 与O有一个公共点 C，过 A、 B分别作 L 的垂线，垂足为E、F，则 EC=CF. 实用标准文案 文档 （2）上题中当直线 L向上平行移动时，与O有了两个交点 C1 、 C2 ， 其它条件不变，如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结 论：EC1=FC2 ； （3）把 L 继续向上平行移动， 使与弦 C1C2与 AB交于点 P （P不与 A、 B重合） ，在其它条件不变的情形下，请你在圆
11、中将变化后的图 形画出来，标好对应的字母，并写出与（1） 、 （2）相应的结论 等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由；若成 立，给予证明。结论 :_ 。 证明结论成立或不成立的理由: 象以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中， 如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到 一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以 一当十、以少胜多的效果， 增大课堂的容量， 培养学生各方面的技能， 特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生 不学了。我会继续努力并也建议老师们深入去研究课本的例、习题和 全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。