初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题.pdf

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1、实用标准文案 文档 初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题 （120 分,100 分钟） 一、选择题（每题3 分，共 24 分） 1. 下列运算正确的是（） A baba 211 Bab b 1 =a C1 xy yx D 3 1 3 1 2. 若等腰三角形有两条边的长分别是3 和 1，则此等腰三角形的周长是（） A5 B7 C 5 或 7 D6 3. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如 cba就是完全对称式 下列四个代数式： abc； cabcab； accbba 222 ； 2 ba其中是完全对称式的是( ) A B C D 4. 若02 2 xx,

2、则20122 23 xxx的值是（） A2014 B2013 C2014 D2013 5. 若n为整数，则能使 1 1 n n 也为整数的n有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6. 湖北仙桃如图1，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6 cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( ) A4 cm B3 cm C 2 cm D1 cm 图 1 图 2 图 3 7. 如图 2 所示，在直角三角形ABC中，已知ACB90，点E是AB的中点，且DEAB， DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若D30，EF2，则

3、DF的长是（） A.5 B.4 C.3 D.2 8. 如图 3 所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合） ，在AE同侧分别作正ABC和正 CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下四个结论： ACDBCE；AD=BE；AOB=60；CPQ是等边三角形其中正确的是（） A B C D 二、填空题（每题3 分，共 24 分） 9. 因式分解：aaa96 23 =_ 实用标准文案 文档 10. 计算： 2014 1 0 1 2 1 2014 =_ 11. 按图 4所示程序计算： a 2 2 aaa结果 图 4 请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：_

4、12. 如图 5，将ABC纸片沿DE折叠，图中实 线围成的图形面积与原三角形面积之比为23， 若图中实线围成的阴影部分面积为2，则图 5 重叠部分的面积为_. 13.辽宁沈阳 已知等边三角形ABC的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点 P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 _ 14. 在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，3） ，若ABC的面积为6，且点C在坐标轴上， 则符合条件的点C的坐标为 _ 15. 如图 6所示， 在平面直角坐标系中，点A(2 ，2) 关于y轴的对称点为B，点C42，关 于y轴的对称点为D把一条长为2 014

5、 个单位长度且没有弹性的细线( 线的粗细忽略不计) 的一端固定在点A处，并按ABCDA的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线 另一端所在位置的点的坐标是_ 图 6 图 7 16.如 图7的 钢 架 中 ， 焊 上 等 长 的13根 钢 条 来 加 固 钢 架 若 APPPPPPPAP 14141332211 ，则A的度数是 _ 三、解答题（ 17、 18 题每题 5 分， 23、25 题每题 9 分， 24 题 8 分， 26 题 12 分，其余每题 实用标准文案 文档 6 分，共 72 分） 17. 如图 8均为 22 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1请分别在两个图中各画出 一个与A

6、BC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形 图 8 18. 如图 9，ABC中，A=40，B=76，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE交CE于 F，求CDF的度数 图 9 19. 在解题目：“当a=2 014 时，求代数式1 2 1 1 3 4 2 a aa a 的值”时，小明认为a 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理 由 20. 已知M=9410124 22 yyxyx，当式中的x、y各取何值时，M的值最小？求此最 小值 . 实用标准文案 文档 21. 是否存在实数x，使分式 63 104 x x 的值比分式 2 45 x x 的值大 1？

7、若存在，请求出x的值； 若不存在，请说明理由. 22. 如图 10 所示，ABDC，ADCD，BE平分ABC，且点E是AD的中点，试探求AB、CD与 BC的数量关系，并说明你的理由. 图 10 23. 如图 11，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60方向上，该船以每小时 15 海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30方向上，继续向东航行到D 处，观测到灯塔B在北偏西 30方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距 60 海里 （1）判断BCD的形状； . 图 11 （2）求该船从A处航行至D处所用的时间； （3）若该船从A处向东航行6 小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方

8、向上？ 实用标准文案 文档 24. 某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m 的旧路上进行整修 铺设柏油路面铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工 效比原计划增加20% ，结果共用30 天完成这一任务 (1) 求原计划每天铺设路面的长度； (2) 若市政部门原来每天支付工人工资为600 元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了 30% ，现市政部门为完成整个工程准备了25 000 元的流动资金请问，所准备的流动资金是 否够支付工人工资？并说明理由 25. 如图 12 所示，已知ABC中，ABAC10 厘米，BC8 厘米，点D为AB的中点

9、图 12 （1）如果点P在线段BC上以 1 厘米 / 秒的速度由B点向C点运动， 同时点Q在线段CA上由 C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3 秒后，BPD与CQP是否全等？请说 明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP全等？ （2）若点Q以（ 1）中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发， 都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ 实用标准文案 文档 26. 数学课上，老师出示了如下框中的题目， 在等边三角形ABC中，点E在AB上， 点D在CB的延长线

10、上，且EDEC， 如图 13，试确定线段 AE与DB的数量关图 13 系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图14（1） ，确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论： AE_DB（填“”“”或“ =” ） 图 14 （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的数量关系是：AE_DB（填“”“”或“ =” ） ，理由如下：如 图 14（2） ，过点E作EFBC，交AC于点F （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若ABC的边长为

11、1，AE=2，求CD的长 （请你直接写出结果） 实用标准文案 文档 参考答案及点拨 一、 1.C 点拨： 因为 ab ba ba 11 ，所以 A错误；因为ab b 1 =a b 1 b 1 = 2 b a ，所以 错误；因为1 yx yx xy yx ，所以 C正确；因为 3 1 3 1 ，所以 D错误应选C 2.B 点拨： 分底边长为3 和底边长为1 两种情况讨论 （1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7； （2）若底边长为3，这个等腰三角形不 存在故选B 3.A 点拨： 根据完全对称式的定义可知abc、cabcab、 2 ba是完全对称式，而 accbba 222 不是完全对称式，

12、应选A 解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项 4.A 点拨： 方法 1: 由02 2 xx得2 2 xx， 所以原式 222 201222012x xxxxxxx 2 201222012xx .2014 方法 2：由02 2 xx得xx2 2 ，2 2 xx, 所以原式2014201222012201222 22 xxxxxx. 5.D 点拨： 原式 1 2 1 1 21 nn n ，要使 1 1 n n 为整数，则 1 2 n 必须为整数，因此 21n或2或1或1，解得3n或1或 2 或 0；因此整数n的值有 4 个，应选 D 6.C 点拨： 如答图 1，连

13、接MA、NA.AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平 分线交BC于N，交AC于F，BM=AM，CN=AN，MAB=B，CAN=C，BAC=120， AB=AC，B=C=30，BAM=CAN=30，AMN=ANM= 60，AMN是等边三角形，AM=AN=MN，BM=MN=NC，MN= 3 1 BC=2 cm，故选 C 答图 1 7.B 点拨： 在 RtAED中，因为D 30，所以DAE60；在 RtABC中，因为ACB 90，BAC60，所以B 30；在 Rt BEF中，因为B30，EF2，所以BF 4； 连接AF，因为DE是AB的垂直平分线，所以FAFB，FABB30；因为BAC

14、 60，所以DAF30，因为D30，所以DAFD， 所以DFAF . 故应选 B. 实用标准文案 文档 8. A 点拨： 由正ABC和正CDE，可知AC=BC，ACB= DCE=60，CD=CE，所以ACD=BCE，所以ACDBCE，从而AD=BE，CAD=CBE； 在ACP和BPO中，因为APC=BPO， CAD=CBE， 所以由三角形内角和定理可得AOB= ACB60；由条件可证PCDQCE，所以PCQC，又PCQ60，所以CPQ是等边 三角形应选A 二、 9. 2 3aa点拨： 原式 2 2 396aaaaa因式分解时，首先考虑提取 公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分

15、解为止 10. 2 点拨：原式2121在无括号的实数混合运算中，先计算乘方， 再计算乘除， 最后进行加减运算 11.22 2 aaaa点拨： 由流程图可得222 2 aaaaaa 12. 2 点拨： 设重叠部分的面积为x, 则实线围成的图形面积为2+x，三角形ABC面积为 2+2x由题意得xx22 3 2 2，解得x=2 13. 1和 7 点拨： 点P可在三角形内和三角形外，需要分情况求解设点P到ABC三边 AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为 321 hhh、，ABC的高为h （1）当点P在等边 三角形ABC内时：连接PA、PB、PC，利用面积公式可得hhhh 321 ，则1 3 h，

16、所以 点P到BC的最小距离是1； （2）当点P在等边三角形ABC外时（只考虑P离BC最远时的情 况） ：同理可得 321 hhhh，此时7 3 h. 综上可知，点P到BC的最小距离和最大距离 分别是 1 和 7. 14. （0,2） 、 （0, 6） 、 （3, 0） 、 （9,0）点拨： 分点C在x轴上和点C在y轴上两种情况讨 论，可得符合条件的点C的坐标（1）当点C在x轴上时，设点C的坐标为 (0，x) ，则 632 2 1 x，解得 x=6 或 2，因此点C的坐标为（0 ,2） 、 （0 ,6） ； （2）当点C在y 轴上时，设点C的坐标为 (0 ，y) ，则623 2 1 y，解得y=

17、3或 9，因此点C的坐标为 （3, 0） 、 （9,0） ；综上得点C的坐标为（0,2） 、 （0,6） 、 （3,0） 、 （9 ,0）. 15. （4,2）点拨： 因为A(2 ，2) 关于y轴的对称点为B，所以点B的坐标为（2,2） ； 因为C（4,2）关于y轴的对称点为D，所以点D的坐标为（4,2） ，所以四边形ABCD 的周长为20，因为2 014 20=100 14，说明细线绕了100 圈，回到A点后又继续绕了 14 个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（4,2）. 本题利用周期的规律求解，因此 求得细线绕四边形ABCD一圈的长度是解题的关键. 16. 12 点拨： 设A=x，AP

18、PPPPPPAP 14141332211 ， A= 12P AP= 1413P AP=x， 312 PPP= 121413 PPP=2x， 实用标准文案 文档 423 PPP= 111312 PPP=3x， 867 PPP= 798 PPP=7x， 87P AP=7x， 78P AP=7x， 在 87P AP中，A+ 87P AP+ 78P AP=180，即 x+7x+7x=180， 解得x=12，即A=12 三、 17. 解： 如答图 2 所示，画出其中任意两个即可 答图 2 点拨： 对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线本题可 以通过折叠操作找到对称轴，从而确定

19、轴对称图形 18. 解： A=40，B=76，ACB= 647640180， CE平分ACB，ACE=BCE=32，CED=A+ACE=40+32=72，DFCE， CDAB，CFD = CDE=90， CDF+ECD=ECD+CED=90，CDF=CED =72 19. 解： 小明说的有道理 理由： .3121 2 3 3 22 1 2 1 1 3 4 2 aaa a a a aa a aa a 所以只要使原式有意义，无论a取何值，原式的值都相同，为常数3 20. 解：M52325449124 22222 yyxyyyxyx， 因为 2 32yx 0， 2 2y 0， 所以当032yx且02

20、y， 即3x且2y时， M的值最小，最小值为5. 21. 解： 不存在 . 理由：若存在，则1 2 45 63 104 x x x x . 方程两边同乘23 x，得23453104xxx， 解这个方程，得2x. 检验：当2x时，023 x，原方程无解 所以，不存在实数x使分式 63 104 x x 的值比分式 2 45 x x 的值大 1 点拨： 先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由. 实用标准文案 文档 22. 解：AB+CD=BC. 理由：如答图3，过点E作EFBC于点F. 因为ABDC，ADCD， 所以ADAB. 因为BE平分ABC，所以 EA=EF. 在

21、RtABE和 Rt FBE中，因为EA=EF，BE=BE， 所以 RtABERtFBE. 所以AB=BF. 因为E是AD的中点，所以AE=ED，所以ED=EF. 在 RtEDC和 Rt EFC中，因为ED=EF，EC=EC， 所以 RtEDCRtEFC. 所以DC=FC. 所以AB+DC=BF+CF=BC，即AB+CD=BC. 答图 3 23. 解： （1）由题意得：BCD=BDC=60，CBD=60. BCD是等边三角形 . （2）由题意得：BAC=30，ACB=120， ABC=BAC=30， AC=BC= BD=60 海里， AD= AC+ CD=60+60=120（海里）， t=120

22、15=8（小时） . 该船从A处航行至D处所用的时间为8 小时 . （3）若该船从A处向东航行6 小时到达E处，连接BE. 此时AE=156=90（海里），CE=90-60=30 （海里） . CE=DE=30 海里 . BCD是等边三角形， BE是CD的垂直平分线. 灯塔B在该船的正北方向上. 24. 解： (1) 设原计划每天铺设路面的长度为x m 根据题意得 30 201 120300120 xx 解之得x9 经检验：x9 是原方程的根 , 且符合题意 答：原计划每天铺设路面的长度为9 m (2) 所准备的流动资金够支付工人工资 理由：共支付工人工资为 600 9 120 1300080

23、00600301 9201 120300 21000( 元) 实用标准文案 文档 因为2100025000，所以所准备的流动资金够支付工人工资 25. 解： （1）因为t=3 秒， 所以BP=CQ=13=3(厘米 ) ， 因为AB=10 厘米，点D为AB的中点， 所以BD=5厘米 又因为PC=BPBC，BC=8 厘米， 所以PC=538( 厘米 ) ， 所以PC=BD 因为AB=AC，所以BC， 所以BPDCQP 因为 P v Q v，所以BPCQ， 当BPDCPQ时，因为BC，AB=10 厘米，BC=8 厘米， 所以BP=PC=4 厘米 ,CQ=BD=5 厘米， 所以点P，点Q运动的时间为4

24、 秒， 所以 4 5 Q v厘米 / 秒，即当点Q的运动速度为 4 5 厘米 / 秒时，能够使 BPD与CQP全等 . （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得102 4 5 xx， 解得80x 所以点P共运动了80 厘米 因为 80=228+24，所以点P、Q在AB边上相遇， 所以经过80 秒点P与点Q第一次在ABC的边AB上相遇 . 26. 解： （1）（2）； 在等边三角形ABC中，ABC=ACB=BAC=60，AB=BC=AC， 因为EFBC， 所以AEF=AFE =60 =BAC 所以AEF是等边三角形， 所以AE=AF=EF， 所以AFACAEAB，即BE=CF. 因为

25、ED=EC， 所以EDB=ECB， 又因为ABC=EDB+BED=60, ACB=ECB+FCE=60, 所以BED=FCE， 所以DBEEFC， 所以DB=EF， 所以AE=DB. (3)1 或 3. 点拨： (1) 利用等边三角形三线合一知，ECB=30，又ED=EC，则D=30，所以 DEC=120，则DEB=30=D, 所以DBEBAE；(2) 先证 AEF为等边三角形，再证EFCDBE，可得AE=DB； (3) 当E在射线AB上时，如答图4 实用标准文案 文档 （1） ，ABBCEB1，EBC120，所以BCE30，因为EDEC，所以D30， 则DEB90，所以DB2EB 2，所以CD2+13； 当E在射线BA上时，如答图 4 （2） ， 过点E作EFBD于点F， 则BEF30，所以BF 2 1 BE 1.5, 所以CF0.5 ，因为ECED，EFCD， 所以CD2CF1. 综上，CD的长为 1 或 3 答图 4