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1、实用标准文案 文档大全 9. 已知RtABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。 10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广. (1) 如图，以RtABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积 1 S、 2 S、 3 S之间有 何关系？并说明理由。 （2）如图，以Rt ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 1 S、 2 S、 3 S之间有何关系？ （3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面 积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
2、 题型二：利用勾股定理测量长度 例 1. 如果梯子的底端离建筑物9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 跟踪练习： 1. 如图（ 8） ，水池中离岸边D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5 米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 2. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 米，消防车的云梯最大升 长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（） A、12 米 B 、13 米 C、14 米 D、 15 米 3. 如图，有两颗树，一颗高10 米，另一颗高4 米，两树相距8 米一
3、只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树 的树梢，问小鸟至少飞行（） 实用标准文案 文档大全 A、8 米 B、10 米 C、 12 米 D、14 米 题型三：勾股定理和逆定理并用 例 3. 如图 3，正方形ABCD中， E 是 BC边上的中点， F 是 AB上一点，且ABFB 4 1 那么 DEF是直角三 角形吗？为什么？ 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习： 1.如图，正方形ABCD 中， E为 BC边的中点， F 点 CD边上一点，且DF=3CF ，求证： AEF=90 题型四：利用勾股定理求线段长度 例 1. 如图 4，已知长方形ABCD 中 AB=8cm,BC=10
4、cm, 在边 CD上取一点E，将 ADE折叠使点 D恰好落在BC 边上的点F，求 CE的长 . 跟踪练习： 1. 如图，将一个有45 度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一 边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，求三角板的最大边AB的长 . 2. 如图，在 ABC中， AB=BC ， ABC=90 ， D为 AC的中点， DE DF，交 AB于 E，交 BC于 F， （1）求证： BE=CF;（2）若 AE=3 ，CF=1 ，求 EF的长 . 实用标准文案 文档大全 3. 如图， CA=CB,CD=CE, ACB= ECD=90 ,D 为
5、AB边上的一点 . 若 AD=1，BD=3 ，求 CD的长 . 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例 1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就 自动打开，一个身高1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 跟踪练习： 1. 如图，每个小正方形的边长都是1，ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断 ABC的形状， 并说明理由 . （1）求证： ABD=90 ; （2）求的值 2. 下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（） A、9，12，15 B、7,24,25 C、 D、， 实用标准文案 文档大全 3. 在
6、ABC中，下列说法 B=C- A； ； A: B:C=3： 4： 5； a:b:c=5:4:3； ：=1:2:3 ，其中能判断ABC为直角三角形的条件有（） A、2 个 B、 3个 C、4 个 D、5 个 4. 在 ABC中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c. 判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个 是直角？ （1） a=26，b=10，c=24; （2）a=5，b=7，c=9; （3）a=2， A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 5. 已知 ABC的三边长为a、b、c，且满足，则此时三角形一定是（） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、锐角三角形
7、 6. 在 ABC中，若 a=1 2 n，b=2n，c=1 2 n，则 ABC是（） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形 7. 如图，正方形网格中的ABC是（） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形 8. 已知在 ABC中， A、 B、 C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（） A、如果 C-B=A,那么 C=90 B、如果 C=90，那么 C、如果（ a+b） （a-b ）=，那么 A=90 D 、如果 A=30，那么AC=2BC 9. 已知 ABC的三边分别为a，b，c，且 a+b=3，ab=1，求的值，试判断AB
8、C的形状， 并说明理由 10. 观察下列各式：， 根据其中规律， 写出下一个式子为_ 11. 已知， m n，m 、n 为正整数，以，2mn ，为边的三角形是_三角形 . 12. 一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1 ， 8，其中 n+1 是最大边， 当 n 为多少时， 三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题： 例题 6. 如图， P是等边三角形ABC内一点， PA=2,PB=2 3,PC=4, 求 ABC的边长 . 跟踪练习 1. 如图，ABC为等腰直角三角形， BAC=90 ， E 、 F 是 BC上的点，且 EAF=45 ， 试探究 222 BECFEF、 实用标准文案 文档大全 间
9、的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题 例题 7. 如图，矩形纸片ABCD 的边 AB=10cm ，BC=6cm ，E为 BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点 B恰好落 在 CD边上的点 G处，求 BE的长 . 跟踪练习 1. 如图， AD是 ABC的中线， ADC=45 ，把 ADC沿直线 AD翻折，点 C落在点 C的位置， BC=4,求 BC 的长 . ( 一)折叠直角三角形 1. 如图，在 ABC中， A = 90 ，点 D为 AB上一点，沿CD折叠 ABC ，点 A恰好落在BC边上的 A处， AB=4 ，AC=3 ，求 BD的长。 2. 如图， RtABC中， B=90， AB=3
10、 ， AC=5 将 ABC折叠使 C与 A重合，折痕为DE ，求 BE的长 实用标准文案 文档大全 （二）折叠长方形 1. 如图，长方形ABCD中， AB=4 ，BC=5，F 为 CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的 点 E处，求 CF的长。 2. 如图，长方形ABCD 中， AD=8cm ，AB=4cm ，沿 EF 折叠，使点D 与点 B重合，点C 与 C重合 . （1）求 DE的长 ; （2）求折痕EF的长 . 3. （2013? 常德）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE ，且 D点落在对 角线 D处若AB=3 ，AD=4 ，则 ED
11、的长为（） 4. 如图，长方形ABCD 中， AB=6 ，AD=8 ，沿 BD折叠使 A到 A处 DA 交 BC于 F 点. （1）求证： FB=FE （2）求证： CA BD （3）求 DBF的面积 实用标准文案 文档大全 7. 如图，正方形ABCD 中，点 E在边 CD上，将 ADE沿 AE对折至 AFE ，延长 EF交边 BC于点 G,G为 BC 的中点，连结AG 、CF. （ 1）求证： AG CF;（2）求的值 . 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例 1、如图，公路MN和公路 PQ在 P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点 A到公路 MN的距离为 80 米，假使拖拉机
12、行驶时，周围100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶时， 学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 / 小时，那么学校受到影 响的时间为多少？ 例 2. 一辆装满货物高为1.8 米，宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为5 米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利 通过吗？ 跟踪练习： 1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60方向 移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请 实用标准文案 文档大全 求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请
13、说明理由。 2. 一辆装满货物的卡车, 其外形高2.5 米, 宽 1.6 米, 要开进厂门形状如下图的某工厂, 问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门? 3. 有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整 数） 4. 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA AB于 A，CB AB于 B，已知 DA=15km,CB=10km ， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得 C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多 少 km处？ 题型九：关于最短性问题 例 1、如右图119，壁虎在一座底面半径为2 米，高为4 米的油罐的
14、下底边沿A 处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美 餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14 ，结果保留1 位小数，可以用计算器计算） 实用标准文案 文档大全 例 2. 跟踪练习： 1. 如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬 行 2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？ 2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于
15、5cm，3cm和 1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶 面爬到B点，最短线路是多少？ 3. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm ，6cm ，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点, 你能帮 蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 4. 如图将一根13.5 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和 12 厘米的长方体无盖盒子中， 能全部放进去吗？ 题型十：勾股定理与特殊角 B A 5 3 1 B A A 3 ？ ？ A 实用标准文案 文档大全 （一）直接运用30
16、或 45的直角三角形 1. 如图，在 ABC中， C = 90 ， B = 30 ， AD是 ABC的角平分线，若AC=2 3，求 AD的长。 2. 如图，在 ABC中， ACB = 90 ， AD是 ABC的角平分线，CD AB于 D， A= 30， CD=2 ，求 AB的 长。 3. 如图，在 ABC中， AD BC于 D， B= 60， ,C= 45 ， AC=2 ，求 BD的长。 （二）作垂线构造30或 45的直角三角形 （1）将 105转化为45和 60 1. 如图，在 ABC中， B= 45， A=105， AC=2，求 BC的长。 2. 如图，在四边形 ABCD 中， A=C=
17、45， ADB= ABC=105 , 若 AD=2,求 AB的长； 若 AB+CD=2 3+2， 求 AB的长。 实用标准文案 文档大全 （2）将 75转化为30和 45 3. 如图，在 ABC中， B= 45， BAC=75 ， AB=6，求 BC的长。 题型十一：运用勾股定理列方程 （一）直接用勾股定理列方程 1. 如图，在 ABC中， C= 90， AD平分 CAB交 CB于 D， CD=3,BD=5 ，求 AD的长。 2. 如图，在 ABC中， ADBC于 D，且 CAD=2 BAD,若 BD=3，CD=8 ，求 AB的长。 ( 二) 巧用“连环勾”列方程 1. 如图，在 ABC中，
18、AB=5 ，BC=7 ，AC=24,求 ABC S . A B D C 实用标准文案 文档大全 2. 如图，在 ABC中， ACB= 90， CD AB于 D，AC=3 ，BC=4，求 AD的长。 3. 如图， ABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，AD=1 ，BD=4，求 AC的长 4. 如图， ABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，CD=3 ，BD=4 ，求 AD的长 题型十二：勾股定理与分类讨论 （一）锐角与钝角不明时需分类讨论 1. 在 ABC中， AB=AC=5 ，求 BC的长 2. 在 ABC中， AB=15 ，AC=13 ，AD为 ABC的高，且AD=12 ，
19、求 ABC的面积。 实用标准文案 文档大全 （二）腰和底不明时需分类讨论 3. 如图 1，ABC中， ACB=90 ，AC=6，BC=8 ，点 D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求ABD 的周长 . （三）直角边和斜边不明时需分类讨论 1. 已知直角三角形两边分别为2 和 3，则第三边的长为_ 2. 在 ABC中， ACB=90 ， AC=4 ，BC=2 ，以 AB为边向外作等腰直角三角形ABD ，求 CD的长 3. 如图， D(2,1),以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个? 写 出落在 x 轴上的顶点坐标. 实用标准文案 文档大全 题
20、型十三：或问题的证明 1. 如图 1，ABC中， CA=CB ， ACB=90 ， D为 AB的中点， M 、N分别为 AC 、BC上一点，且DM DN. （1） 求证： CM+CN=BD （2）如图 2，若 M 、N分别在 AC 、CB的延长线上，探究CM 、CN 、BD之间的数量关系式。 2. 已知 BCD= ， BAD= ， CB=CD. （1）如图 1，若 =90，求证： AB+AD=AC ； （2）如图 2，若 = =90，求证： AB-AD=AC ； （3）如图 3，若 =120， =60，求证： AB=AD=AC ； （4）如图 3， 若 =120，求证： AB-AD=AC ；
21、实用标准文案 文档大全 题型十四：问题的证明 1. 如图， OA=OB ，OC=OD ， AOB= COD=90 ， M 、N分别为 AC 、BD的中点，连MN 、ON.求证： MN=ON. 2. 已知 ABC中， AB=AC ， BAC=90 ， D为 BC的中点， AE=CF ，连 DE 、EF. （1）如图 1，若 E、F 分别在 AB 、AC上，求证： EF=DE ； （2）如图 2，若 E、F 分别在 BA 、AC的延长线上，则(1) 中的结论是否仍成 立？请说明理由 实用标准文案 文档大全 3. 如图， ABD中， O为 AB的中点， C为 DO延长线上一点，ACO=135 ， O
22、DB=45 探究 OD 、OC 、AC之 间相等的数量关系 4. 如图， ABD是等腰直角，BAD=90 ， BC AD ，BC=2AB ，CE平分 BCD ，交 AB于 E，交 BD于 H求 证： （1） DC=DA ； （2） BE=DH 实用标准文案 文档大全 题型十五： 勾股定理（逆定理）与网格画图 1. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为 2. 如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2，且三角 形的三个顶点都在格点上 3. 如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上
23、 4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3 个 5. 如图，在4个均匀由16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4 个三角形中， 与众不同的是_中的三角形，图4 中最长边上的高为_ 6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下 列要求画图： （1）画一条线段MN ，使 MN=； （2）画 ABC ，三边长分别为3，2。 实用标准文案 文档大全 7. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段 AB的端点在格点上 （1）图 1 中以 AB为腰的等腰三角形有_个，画出其中的一个，
24、并直接写出其底边长 （2）图 2 中，以 AB为底边的等腰三角形有_个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高 题型十六： 利用勾股定理逆定理证垂直 1. 如图，在 ABC中，点 D为 BC边上一点，且AB=10 ，BD=6 ， AD=8 ，AC=7 ，其求 CD的长 . 2. 如图，在四边形ABCD 中， B=90， AB=2 ， CD=5 ，AD=4 ，求. 3. 如图，在 ABC中， AD为 BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求 BC的长 . 实用标准文案 文档大全 4. 已知 ABC中， CA=CB, ACB= ，点 P为 ABC内一点，将CP绕点 C顺时针旋转得到CD
25、，连 AD （1）如图 1，当 =60， PA= 10，PB=6 ，PC=8时，求 BPC的度数 （2）如图 2，当 =90， PA=3 ， PB=1 ，PC=2时，求 BPC的度数 题型十七： 勾股定理综合纯几何问题 1. 已知，在RtABC中， C=90， D是 AB的中点， EDF= 90， DE交射线 AC于 E，DF交射线 CB于 F （1）如图 1，当 AC=BC 时，、之间的数量关系为_（直接写出结果） ； （2）如图 2，当 AC BC时，试确定、之间的数量关系，并加以证明； （3）如图 3，当 AC BC时， (2) 中结论是否仍成立？ 2. 已知 OMN 为等腰直角，MON
26、=90 ，点 B为 NM延长线上一点，OC OB ，且 OC=OB. 实用标准文案 文档大全 （1）如图 1，连 CN ，求证： CN=BM; （2）如图 2，作 BOC 的平分线交MN于 A，求证： （3）如图 3，在 (2) 的条件下，过A作 AE ON于 E，过 B作 BFOM 于 F，EA 、BF的延长线交于P，请探究 、之间的数量关系式 题型十八： 勾股定理综合（二）与代数结合 1. 已知点 A的坐标为（ 1，-3） ， OAB=90 ， OA=OB. （1）如图 1，求点 B的坐标； （2）如图 2，AD y 轴于 D，M为 OB的中点，求DM的长； 2. 已知点 A 、B分别在 x 轴、 y 轴上， OA=OB ，点 C为 AB的中点， AB=12. 实用标准文案 文档大全 （1）如图 1，求点 C的坐标 （2）如图 2，E、 F分别为 OA上的动点，且ECF=45 ，求证： （3）在图 2 中，若点E的坐标为 (3 ，0) ，求 CF的长