圆锥曲线题型总结材料.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 直线和圆锥曲线经常考查的一些题型 直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情 况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线 来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行 于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切 直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所 组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在 （2）联立直线和曲线的方程组；

2、（3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k( 斜率 ) 的取值范围 （8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识： 1、中点坐标公式： 1212 ,y 22 xxyy x，其中, x y是点 1122 (,)(,)A xyB xy，的中 点坐标。 2、弦长公式：若点 1122 (,)(,)A xyB xy，在直线(0)ykxb k上， 则 1122 ykxbykxb，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 222222 1212121212 ()()()()(1)()ABxxyy

3、xxkxkxkxx 22 1212 (1)()4kxxx x 或者 22222 12121212122 111 ()()()()(1)()ABxxyyxxyyyy kkk 2 12122 1 (1)()4yyy y k 。 3、两条直线 111222 :,:lyk xb lyk xb垂直：则 12 1k k 两条直线垂直，则直线所在的向量 12 0v v 4、韦达定理：若一元二次方程 2 0(0)axbxca有两个不同的根 12 ,xx，则 1212 , bc xxx x aa ， 12 xx a 。 实用标准文档 文案大全 常见题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1、

4、 已知直线:1lykx与椭圆 22 :1 4 xy C m 始终有交点，求m的取值范围 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0， 1） ，椭圆的特点是过定点（-2， 0）和（ 2，0） ， 和动点0),4mm（ ，且。 解：根据直线:1lykx的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆 22 :1 4 xy C m 过动 点0),4mm（ ，且， 如果直线:1lykx和椭 圆 22 :1 4 xy C m 始终 有交点，则 14mm，且，即14mm且。 规律提示： 通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101lykx过定点（， ） :(1)1lyk x过定点（，0） :2(1)1lyk x

5、过定点（，2） 证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。 练习 1、 过点 P(3,2) 和抛物线23 2 xxy只有一个公共点的直线有（）条。 A4B3C2D1 题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴， 用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1 ）和平分（中点坐标公式）。 例题 2、过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N ： 2 yx交于 A、 B 两点，在x 轴上是否存在一点 E( 0 x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出 0 x；若不存在，请说明理由。 分析： 过点 T(-1,

6、0) 的直线和曲线N ： 2 yx相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于 0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定 理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由 实用标准文档 文案大全 正三角形的性质：中线长是边长的 3 2 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)lyk x， 0k ， 11 (,)A xy， 22 (,)B xy。 由 2 (1)yk x yx 消 y 整理，得 2222 (21)0k xkxk 由直线和抛物线交于两点，得 2242 (21)4410

7、kkk 即 2 1 0 4 k 由韦达定理，得： 2 122 21 , k xx k 12 1x x。 则线段 AB 的中点为 2 2 211 (,) 22 k kk 。 线段的垂直平分线方程为： 2 2 1112 () 22 k yx kkk 令 y=0,得 02 11 22 x k ，则 2 11 (,0) 22 E k ABE为正三角形， 2 11 (,0) 22 E k 到直线 AB 的距离 d 为 3 2 AB。 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 2 14 1 k k k 2 1 2 k d k 22 2 2 3 141 1 22 kk k kk 解得 39 13 k满足

8、式 此时 0 5 3 x。 思维规律： 直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利 用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质： 高是边长的 3 2 倍，将 k 确定，进而求出 0 x的坐标。 练习 2： 已知椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C过点) 2 3 , 1(，且离心率 2 1 e。 实用标准文档 文案大全 （）求椭圆方程； （）若直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直 平分线过定点)0 , 8 1 (G，求k的取值范围。 题型三：动弦过定点的问题 例题 3、已知椭圆C

9、： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，且在x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II ） 若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点T,点 P为直线l上异于点T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析 ：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、 A2的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA2的方程，直线 PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和 M ，通过韦达定理，可以求出点 M 的 坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)lxt t

10、上，相当于知道了点P 的横 坐标了，由直线PA1、 PA2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通 过所求的M、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就 可以了，否则就不存在。 解： （I）由已知椭圆C 的离心率 3 2 c e a ，2a,则得3,1cb。 从而椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （II ） 设 11 (,)M xy， 22 (,)N xy， 直线 1 A M的斜率为 1 k,则直线 1 A M的方程为 1( 2)ykx， 由 1 22 (2) 44 yk x xy 消 y 整理得 222 121 (14)161640kxk

11、 xk 1 2x和是方程的两个根， 实用标准文档 文案大全 2 1 12 1 164 2 1 4 k x k 则 2 1 1 2 1 28 14 k x k ， 1 12 1 4 14 k y k ， 即点 M 的坐标为 2 11 22 11 284 (,) 1414 kk kk ， 同理，设直线A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐 标为 2 22 22 22 824 (,) 141 4 kk kk 12 (2),(2) pp yk tykt 12 12 2kk kkt ， 直线 MN 的方程为： 121 121 yyyy xxxx ， 令 y=0，得 2112 12 x yx y x y

12、y ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得： 4 x t 又2t， 4 02 t 椭圆的焦点为( 3, 0) 4 3 t ，即 4 3 3 t 故当 4 3 3 t时， MN 过椭圆的焦点。 练习 3：直线mkxyl：和抛物线 2 2ypx相交于A、B，以 AB 为直径的圆过抛物线 的顶点，证明：直线mkxyl：过定点，并求定点的坐标。 实用标准文档 文案大全 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程 （或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐 标，进而解决问题。下面我们就通过例题领

13、略一下思维过程。 例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 22 22 1 xy ab (0)ab上的三点， 其中点 A(23,0) 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O，且0AC BC，2BCAC，如图。 (I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程； (II) 若椭圆 E 上存在两点P、Q，使得直线PC 与直线 QC 关于直线3x对称，求直线PQ 的斜率。 解： (I) 2BCAC，且 BC 过椭圆的中心O OCAC 0AC BC 2 ACO 又A (23,0) 点 C 的坐标为( 3,3)。 A(23,0)是椭圆的右顶点， 2 3a，则椭圆方程为： 22 2 1 12 xy b 将点 C

14、( 3,3)代入方程，得 2 4b， 实用标准文档 文案大全 椭圆 E 的方程为 22 1 124 xy (II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x对称， 设直线 PC 的斜率为k，则直线 QC 的斜率为k，从而直线PC 的方程为： 3(3)yk x，即 3(1)ykxk， 由 22 3(1) 3120 ykxk xy 消 y，整理得： 222 (13)6 3 (1)91830kxkk xkk3x是方程的一个根， 2 2 9183 3 13 P kk x k 即 2 2 9183 3(1 3) P kk x k 同理可得： 2 2 9183 3(1 3) Q kk x k 3(1)3(1)

15、 PQPQ yykxkkxk()2 3 PQ k xxk 2 12 3(13) k k 22 22 91839183 3(1 3)3(13) PQ kkkk xx kk 2 36 3(13) k k 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 则直线 PQ 的斜率为定值 1 3 。 方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线 QC关于直线3x对称”得两直线的斜率 互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为 -k 。利用3是方程 实用标准文档 文案大全 222 (1 3)6 3 (1)91830kxkk xkk的根，易得点P的横坐标： 2 2 9183 3(13) P kk x k ，

16、再将其中的k 用-k 换下来，就得到了点Q的横坐标： 2 2 9183 3(1 3) Q kk x k ，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。 接下来，如果分别利用直线PC 、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计 算量会增加许多。 直接计算 PQ yy、 PQ xx，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一 想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得 到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。 练习 4、已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2

17、，且在x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II ） 若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点T,点 P为直线 l上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 题型五：共线向量问题 解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理- 同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。 例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线M： 22 1 94 xy 于 P、Q 两点， 且DPDQl= uuu ruuu r ,求实数 l 的取值范围。 分析 ：由DP

18、DQl= uuu ruuu r 可以得到 12 12 3(3) xx yy l l ?= ? ?=+- ? ? ，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出 点的坐标，用l 表示出来。 解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2), Q DPDQl= uuu ruuu r (x1,y1-3)= l (x2,y2-3) 即 12 12 3(3) xx yy l l = ? ? ?=+- ? ? ? 方法一： 方程组消元法 实用标准文档 文案大全 又QP、Q 是椭圆 2 9 x + 2 4 y =1 上的点 22 22 22 22 1 94 ()(33 ) 1 94 xy xylll

19、? ? += ? ? ? ? +- ? +=? ? ? ? 消去 x2， 可得 222 2 22 (33 ) 1 4 yylll l +- =- 即 y2= 135 6 l l - 又Q2y22， 2 135 6 l l - 2 解之得： 1 5 5 则实数 l 的取值范围是 1 ,5 5 。 方法二： 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线 PQ 的方程为：3,0ykxk， 由 22 3 4936 ykx xy 消 y 整理后，得 22 (49)54450kxkx P、Q 是曲线 M 上的两点 22 (54 )445(49)kk 2 144800k 即 2 95k 由韦达定理得： 1212 2

20、2 5445 , 4949 k xxx x kk 2 1212 1221 () 2 xxxx x xxx 222 2 54(1) 45(49) k k 即 2 222 36944 1 5(1)99 k kk 实用标准文档 文案大全 由得 2 11 0 95k ，代入，整理得 2 369 1 5(1)5 ， 解之得 1 5 5 当直线 PQ 的斜率不存在，即 0x 时，易知 5或 1 5 。 总之实数 l 的取值范围是 1 ,5 5 。 方法总结： 通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是 通性通法， 但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能

21、用通性 通法解，但计算量较大，计算繁琐， 考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性 通法， 要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛 丝马迹，通过自己的思维将问题解决。 练习 5：已知椭圆C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上， 它的一个顶点恰好是抛物线 2 4 1 xy的 焦点，离心率为 5 52 （1）求椭圆C 的标准方程； （2） 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点，交 y 轴于 M 点，若AFMA 1 ， BFMB 2 ，求 21 的值 题型六：面积问题 例题 6、 （07 陕西理）已知椭圆C：1 2 2 2 2

22、 b y a x （ab0）的离心率为, 3 6 短轴一个 端点到右焦点的距离为3。 （）求椭圆C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为 2 3 ，求 AOB 面积的最大值。 实用标准文档 文案大全 解： （）设椭圆的半焦距为c，依题意 6 3 3 c a a ， ， 1b，所求椭圆方程为 2 2 1 3 x y。 （）设 11 ()A xy， 22 ()B xy，。 （1）当 ABx 轴时，3AB。 （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为ykxm。 由已知 2 3 2 1 m k ，得 22 3 (1) 4 mk。 把ykxm代

23、入椭圆方程，整理得 222 (31)6330kxkmxm， 12 2 6 31 km xx k ， 2 122 3(1) 31 m x x k 。 2 22 21 (1)()ABkxx 222 2 222 3612(1) (1) (31)31 k mm k kk 22222 2222 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31) kkmkk kk 2 42 2 2 121212 33(0)34 1 961236 96 k k kk k k 。 当且仅当 2 2 1 9k k ，即 3 3 k时等号成立。当0k时，3AB， 综上所述 max 2AB。 实用标准文档 文案大全 当AB最大时

24、，AOB面积取最大值 max 133 222 SAB。 练习 6、 （07 浙江理）如图，直线ykxb与椭圆 2 2 1 4 x y交于 A、B 两点，记ABC 的面积为S。 （）求在0k，01b的条件下，S的最大值； （）当12，SAB时，求直线AB 的方程。 题型七：弦或弦长为定值问题 例题 7、 （07 湖北理科）在平面直角坐标系xOy 中，过定点C（0，p）作直线与抛物线 x 2=2py（p0）相交于 A、B 两点。 （）若点N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB 面积的最小值； （）是否存在垂直于y 轴的直线l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？ 若存在，求

25、出l 的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行 推理运算的能力和解决问题的能力. 解法 1： （）依题意，点N 的坐标为N（0,-p）,可设 A（x1,y1）,B（x2,y2） ，直线 AB 的方程 实用标准文档 文案大全 为 y=kx+p, 与 x 2=2py 联立得 . 2 2 pkxy pyx 消去 y 得 x2-2pkx-2p 2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p 2. 于是 21 2 2 1 xxpSSS ACNBCNABN 21 2 2121 4)(xxxxpxx

26、p .2284 22222 kppkpp 2 22min0pSk ABN） 时，（当. （）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与ACtO ,径的圆 相交于点 P、Q，PQ 的中点为H，则）点的坐标为（ 2 , 2 , 11 pyx OPQHO 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 pyxACPO 22 1 2 1 py. ,2 2 1 2 1 1 pya py aHO 222 HOPOPH = 2 1 22 1 )2( 4 1 )( 4 1 pyapy ),() 2 ( 1 apay p a 实用标准文档 文案大全 2 2 )2( PHPQ =.)() 2 (4 2

27、 apay p a 令0 2 p a，得pPQ p a此时, 2 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为 2 p y， 即抛物线的通径所在的直线. 解法 2： （）前同解法1，再由弦长公式得 2222 21 2 21 2 21 2 8414)(11pkpkxxxxkxxkAB .212 22 kkp 又由点到直线的距离公式得 2 1 2 k p d. 从而，,22 1 2 212 2 1 2 122 2 22 kp k p kkpABdS ABN .22max0 2 pSk ABN） 时，（当 （）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为 ,0)()(0(

28、 11 yypyxxx将直线方程y=a 代入得 ).(1) 2 (4)(4 ,0)( 1 2 1 11 2 apay p ayapax yapaxxx 则 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有 实用标准文档 文案大全 . )() 2 (2)() 2 (4 1143 apay p aapay p axxPQ 令pPQ p a p a此时得, 2 ,0 2 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为 2 p y. 即抛物线的通径所在的直线。 练习 7： （山东 09 理） （22） （本小题满分14 分） 设椭圆 E: 22 22 1 xy ab （a

29、,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点， O 为坐标原点， （I）求椭圆E 的方程； （II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且 OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求| AB | 的取值范围，若不存在说明理由。 题型八：角度问题 例题 8、 （ 08 重庆理）如图（21）图，M（-2 ，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PMPN （）求点P的轨迹方程； （）若 2 1cos PMPN MPN ,求点P的坐标 . 解： ( ) 由椭圆的定义，点P的轨迹是以M 、N为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 . 因此半焦距c=2，长半

30、轴a=3，从而短半轴 b= 22 5ac， 所以椭圆的方程为 22 1. 95 xy () 由 2 , 1cos PMPN MPN 得 实用标准文档 文案大全 cos2.PMPNMPNPMPN 因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M 、N构成三角形 . 在PMN 中， 4,MN由余弦定理有 222 2cos.MNPMPNPMPNMPN 将代入，得 22 2 42(2).PMPNPMPN 故点P在以M 、N为焦点，实轴长为2 3的双曲线 2 2 1 3 x y上. 由( ) 知，点P的坐标又满足 22 1 95 xy ，所以 由方程组 22 22 5945, 33. xy xy 解得

31、3 3 , 2 5 . 2 x y 即P点坐标为 3 353 353 353 35 (,) 22222222 、（，-）、（ -，）或（，-）. 练习 8、 （05 福建理）已知方向向量为v=(1,3)的直线 l 过点（ 0， 23）和椭圆 C： 1 2 2 2 2 b y a x (ab0)的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上 . （）求椭圆C 的方程； （）是否存在过点E（ 2，0）的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N，满足 6 3 4 ONOM cotMON 0（O 为原点） .若存在，求直线m 的方程；若不存在， 请说明理由 . 实用标准文档 文案大全 问题

32、九：四点共线问题 例题9、 （ 08 安徽理）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,1)M，且着焦点为 1( 2, 0)F （）求椭圆C的方程； （）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时，在线段AB上取点Q， 满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上 解 (1)由题意： 2 22 222 2 21 1 c ab cab ，解得 22 4,2ab，所求椭圆方程为 22 1 42 xy (2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为 1122 ( ,),(,),(,)x yxyxy。 由题设知,APPBAQQB均不为零，记 APAQ PBQB ,

33、则0且1 又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB 于是 12 4 1 xx ， 12 1 1 yy 12 1 xx x ， 12 1 yy y 从而 222 12 2 4 1 xx x， （1） 222 12 2 1 yy y， （2） 又点 A、B 在椭圆 C 上，即 22 1124,(3)xy 22 2224,(4)xy （1）+（ 2） 2 并结合（ 3） ， （ 4）得424sy 即点( ,)Q x y总在定直线220xy上 方法二 实用标准文档 文案大全 设点 1122 ( ,),(,),(,)Q x yA x yB xy，由题设，,PAPBAQQB均不为零。 且 P

34、APB AQQB 又,P A Q B四点共线，可设,(0,1)PAAQ PBBQ,于是 11 41 , 11 xy xy（1） 22 41 , 11 xy xy（2） 由于 1122 (,),(,)A x yB xy在椭圆 C 上，将（1） ， （ 2）分别代入C 的方程 22 24,xy整 理得 222 (24)4(22)140xyxy（3） 222 (24)4(22)140xyxy(4) (4)(3) 得8 ( 22 )0xy 0,220xy 即点( , )Q x y总在定直线220xy上 练习 9、（08 四川理）设椭圆 22 22 1 xy ab (0)a b的左、右焦点分别为 1 F

35、、 2 F， 离心率 2 2 e ， 右准线为l，M、N是l上的两个动点， 12 0F M F N （）若 12 | | 2 5F MF N，求a、b的值； （）证明：当|MN取最小值时， 12 FMF N与 12 F F共线 问题十：范围问题（本质是函数问题） 例 10、 （ 07 四川理）设 1 F、 2 F分别是椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点。 （）若 P是该椭圆上的一个动点，求 1 PF 2 PF的最大值和最小值； （）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O 实用标准文档 文案大全 为坐标原点） ，求直线l的斜率k的取值范围。 本题主要

36、考察直线、椭圆、 平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题 及推理计算能力。 解： （）解法一：易知2,1,3abc 所以 12 3,0 ,3,0FF，设,P x y，则 22 12 3,3,3PFPFxyxyxy 2 221 1338 44 x xx 因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时， 12 PFPF有最小值2 当 2x ，即点 P为椭圆长轴端点时， 12 PFPF有最大值1 解法二：易知2,1,3abc，所以 12 3,0 ,3,0FF，设,P x y，则 222 1212 12121212 12 cos 2 PFPFF F PFPFPFPFF PFPFPF

37、PFPF 22 2222 1 33123 2 xyxyxy （以下同解法一） （）显然直线0x不满足题设条件，可设直线 1222 :2,lykxA x yB xy， 联立 2 2 2 1 4 ykx x y ，消去y，整理得： 221 430 4 kxkx 1212 22 43 , 11 44 k xxxx kk 由 2 2 1 443430 4 kkk 得： 3 2 k或 3 2 k 又 00 0090cos000A BA BOA OB 实用标准文档 文案大全 1212 0OA OBx xy y 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 22 22 38 4 11

38、44 kk kk 2 2 1 1 4 k k 2 22 31 0 11 44 k kk ，即 2 4k22k 故由、得 3 2 2 k或 3 2 2 k 练习 10、已知直线)0(11 2 2 2 2 ba b y a x xy与椭圆相交于 A、B 两点。 （1）若椭圆的离心率为 3 3 ，焦距为 2，求线段AB 的长； （2） 若向量OBOA与向量互相垂直（其中 O 为坐标原点） ， 当椭圆的离心率 2 2 , 2 1 e 时，求椭圆的长轴长的最大值。 问题十一、 存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三 角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆

39、） 例 11、(2009 山东卷理 ) （本小题满分14 分） 设椭圆 E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点， O 为坐标原点， （I）求椭圆E 的方程； （II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且 OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求| AB | 的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过 M（2，2） ， N(6,1)两点 , 实用标准文档 文案大全 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b

40、 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB, 设 该 圆 的 切 线 方 程 为ykxm解 方 程 组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm,即 222 (12)4280kxkmxm, w.w. w.s.5.u.c.o.m 则 = 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 122 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28

41、)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB, 需使 1212 0xxyy, 即 222 22 288 0 1212 mmk kk , 所以 22 3880mk,所 以 2 2 38 0 8 m k又 22 840km,所 以 2 2 2 38 m m ,所 以 2 8 3 m,即 2 6 3 m或 2 6 3 m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切 线,所以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r,所求的圆为 22 8 3 xy,此时圆的切线yk

42、xm都满足 2 6 3 m或 2 6 3 m,而当切线的斜 率不存在时切线为 2 6 3 x与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 262 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足OAOB,综上 , 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy，使得该圆的 实用标准文档 文案大全 任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB. 因为 12 2 2 122 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 1212122222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk , 22 2 2222 12

43、1212 22 8(84) |()(1)()(1) (1 2) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 当0k时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 112 1 33 44k k , 所以 4 6| 2 3 3 AB当且仅当 2 2 k时取 ” =” . w.w.ws.5.u.c.o.m 当0k时 , 4 6 | 3 AB. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6

44、 (,) 33 ,所以此时 4 6 | 3 AB, 综上 , | AB | 的取值范围为 4 6| 2 3 3 AB即: 4 | 6,2 3 3 AB 【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关 参数问题以及方程的根与系数关系. 实用标准文档 文案大全 练习 11：设m R,在平面直角坐标系中 ,已知向量(,1)amx y,向量( ,1)bx y,ab, 动点( , )M x y的轨迹为E. （1）求轨迹E 的方程 ,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.s.5.u.c.o.m （2）已知 4 1 m,证明 :存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交 点 A,B, 且OAOB(O 为坐标原点 ),并求出该圆的方程; (3)已知 4 1 m,设直线l与圆 C: 222 xyR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹E 只有一个公共 点 B1,当 R 为何值时 ,|A1B1|取得最大值 ?并求最大值 .