圆锥曲线的知识点归纳与解题方法技巧.pdf

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1、实用标准文案 精彩文档 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 21 21 yy k xx 点 00 (,)P xy到直线0AxByC的距离 00 22 AxByC d AB 夹角公式：直线 111 222 : : lyk xb lyk xb 夹角为，则 21 21 tan 1 kk k k （3）弦长公式 直线ykxb上两点 1122 (,),(,)A x yB xy间的距离 22 2121 ()()ABxxyy 2 12 1ABkxx 22

2、1212 (1)()4kxxx x 12 2 1 1AByy k （4）两条直线的位置关系 （） 111 222 : : lyk xb lyk xb 1212 llk k=-1 212121/ bbkkll且 （） 1111 2222 :0 :0 lA xB yC lA xB yC 121212 0llA AB B 1212211221 / /0llA BA BACA C-=0且-或 111 222 ABC ABC 者（ 222 0A B C） 两平行线距离公式 实用标准文案 精彩文档 11 22 : : lykxb lykxb 距离 12 2 | 1 bb d k 11 22 :0 :0 l

3、AxByC lAxByC 距离 12 22 |CC d AB 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的 和等于常数2a， 且此常数2a一定要大于 21F F， 当常数等于 21F F时，轨迹是线段 F1F2， 当常数小于 21F F时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常 数2a，且此常数2a一定要小于 |F 1F2 | ，定义中的“绝对值”与2a|F 1F2| 不可忽视。 若2a|F 1F2 | ，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F 1F2 | ，则轨迹不存 在。若去掉定

4、义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 2222 (6)(6)8xyxy表示的曲线是 _（答：双曲线的左支） 2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 2 2 2 2 b y a x （0ab） ，焦点在y 轴上时 2 2 2 2 b x a y 1 （0ab） 。方程 22 AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C 同号， AB） 。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程： 2222 ()()2xcyxcy

5、a 参数方程：cos ,sinxayb 若Ryx,， 且623 22 yx， 则yx的最大值是 _， 22 yx的最小值是 _ （答： 5,2 ） （2） 双曲线： 焦点在 x轴上： 2 2 2 2 b y a x =1， 焦点在 y轴上： 2 2 2 2 b x a y 1 （0,0ab） 。 方程 22 AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B异号） 。 如设中心在坐标原点O，焦点 1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C过点 )10, 4(P，则 C的方程为 _（答： 22 6xy） （3）抛物线：开口向右时 2 2(0)ypx p，开口向左时 2 2(0)yp

6、x p，开口向 上时 2 2(0)xpy p，开口向下时 2 2(0)xpy p。 实用标准文案 精彩文档 3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程1 21 22 m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是 _ （答： ) 2 3 , 1()1,(） （2）双曲线：由 x 2 , y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中， a最大， 222 abc，在双曲线中， c最大，

7、 222 cab。 4. 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以1 2 2 2 2 b y a x （0ab）为例） ：范围：,axabyb； 焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，四 个顶点(,0),(0,)ab， 其中长轴长为 2a ， 短轴长为 2b； 准线：两条准线 2 a x c ； 离心率： c e a ，椭圆01e，e越小，椭圆越圆； e越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆 1 5 22 m yx 的离心率 5 10 e ，则m的值是 _（答： 3 或 3 25 ） ； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则

8、椭圆 长轴的最小值为 _（答：22） （2）双曲线（以 22 22 1 xy ab （0,0ab）为例） ：范围： xa或,xa yR；焦 点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（ 0,0 ） ， 两个顶点(,0)a，其中实轴长为 2a ，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相 等时， 称为等轴双曲线， 其方程可设为 22 ,0xyk k； 准线：两条准线 2 a x c ； 离心率： c e a ，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小， e 越大，开口越大；两条渐近线： b yx a 。双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 22 1(0) xy m n

9、 mn 距离式方程： 2222 | ()()| 2xcyxcya （3）抛物线（以 2 2(0)ypx p为例） ：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0) 2 p ， 其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中 实用标准文案 精彩文档 心， 只有一个顶点（0,0 ） ； 准线：一条准线 2 p x；离心率： c e a ， 抛物线1e。 如设Raa, 0，则抛物线 2 4axy的焦点坐标为 _（答： ) 16 1 ,0( a ） ； 5、点 00 (,)P xy和椭 圆1 2 2 2 2 b y a x （0ab）的关系 ： （1） 点 00 (,)P xy

10、在椭圆外 22 00 22 1 xy ab ； （2）点00(,)P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1； （3）点00(,)P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 6. 记住焦半径公式： （1） 00 ;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为，可简记为“左加右减，上 加下减” 。 （2） 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为 （3） 11 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 7. 椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 11, y xA、 22, y xB，baM,为椭圆1

11、 34 22 yx 的弦 AB 中点则有 1 34 2 1 2 1 yx ，1 34 2 2 2 2 yx ；两式相减得0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 21212121 yyyyxxxx AB k= b a 4 3 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？ 如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使 用 判 别 式0 ， 以及 根 与 系数 的 关 系 ， 代 入 弦 长 公式 ， 设 曲 线 上 的 两 点 1122 (,),(,)A xyB xy，将这两点代入曲线方程得到 1

12、2 两个式子，然后 1 -2 ，整体消 元 ，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦 点，则可以利用三点A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关 实用标准文案 精彩文档 系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上，且点 A是椭圆短轴的一个 端点（点 A在 y 轴正半轴上） . （1）若三角形 ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程 ; （2）若角 A为 0 90，AD垂直 BC于 D，试求点 D的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差

13、法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而 写 出 直 线BC 的 方 程 。 第 二 问 抓 住 角A 为 0 90可 得 出AB AC， 从 而 得 016)(14 212121 yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程； 解：（1） 设 B （ 1 x, 1 y） ,C( 2 x, 2 y),BC 中点为 ( 00,y x),F(2,0)则有1 1620 ,1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx (1) F(2,0) 为三角形重心，所以由2 3 21 xx

14、 ，得3 0 x，由0 3 4 21 yy 得2 0 y，代 入（1）得 5 6 k 直线 BC的方程为02856yx 2) 由 AB AC得016)(14 212121 yyyyxx（2） 设直线 BC方程为8054, 22 yxbkxy代入，得080510)54( 222 bbkxxk 2 21 54 10 k kb xx， 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21 2 21 54 804 , 54 8 k kb yy k k yy代入（ 2）式得 0 54 16329 2 2 k bb ，解得)(4 舍b或 9 4 b 直线过定点（ 0，) 9 4 ，设 D （x,y ）

15、 ，则1 4 9 4 x y x y ，即0163299 22 yxy 实用标准文案 精彩文档 所以所求点 D的轨迹方程是)4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 4、设而不求法 例 2、如图，已知梯形ABCD 中CDAB2，点 E分有向线段AC所成的比为，双曲线 过 C 、D 、E三点，且以 A、B为焦点当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运 算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设 Ch c , 2 ，代入1 2 2 2 2 b y a x ，求得 h，

16、进而求得, EE xy再代入1 2 2 2 2 b y a x ， 建立目标函数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e，此运算量可见是难上加难. 我们对 h可 采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e, 化繁为简 . 解法一：如图，以 AB为垂直平分线为y轴，直线 AB为x轴，建立直角坐标系xOy， 则 CD y轴因为双曲线经过点C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D关 于y轴对称 依题意，记A0 , c ，C h c , 2 ，E 00, y x，其中| 2 1 ABc为双曲线 的半焦距，h是梯形的高，由定比

17、分点坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x， 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，则离心率 a c e 由点 C 、E在双曲线上，将点C 、E的坐标和 a c e代入双曲线方程得 1 4 2 22 b he ， 1 11 2 4 2 22 b he 实用标准文案 精彩文档 由式得1 4 2 2 2 e b h ， 将式代入式，整理得 2144 4 2 e ， 故 1 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析：考虑,AEAC 为焦半径 , 可用焦半径公式

18、 , ,AEAC 用,E C的横坐标表示，回避 h的计算 , 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，, EC AEaexACaex ， 2 2 121 E c c c x，又 1 AE AC ，代入整理 1 3 1 2 e ，由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3 已知双曲线 1 22 : 22 xy C ，直线 l 过点0 ,2A，斜率为 k ，当10k时，双曲 线的上支上有且仅有一点B到直线 l 的距离为2，试求 k 的值及此时点 B的坐标。 分析 1：解析几何是用代数方法来研究几

19、何图形的一门学科，因此，数形结合必然 是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有” 这个微观入手， 对照草图， 不难想到： 过点 B 作与 l 平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的 判别式0. 由此出发，可设计如下解题思路： 10)2(:kxkyl 把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 0 直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2 实用标准文案 精彩文档 kkkxyl22 2 2: 的值解得 k 解题过程略 . 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有 且仅有一点 B 到直线l的距离为2” ，相当于化归的方程

20、有唯一解. 据此设计出如下解 题思路： 简解：设点)2,( 2 xxM为双曲线 C上支上任一点，则点M到直线 l 的距离为： 2 1 22 2 2 k kxkx 10k 于是，问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k，所以kxxx 2 2，从而有 .2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 ) 1(222 22 kkxkx 02) 1(2 ,)2)1(2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx .02)1(2 ,022) 1(22) 1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知： 方 程022) 1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk

21、的 二 根 同 正 ， 故 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x 的方程102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一解 实用标准文案 精彩文档 02) 1(2 2 kxkk恒成立，于是等价于 022)1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 5 52 k. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思 维的优越性 . 例 4 已知椭圆 C:和点 P（4，1） ，过 P作直线交椭圆于 A、B两点，在线 段 AB上取点 Q ，使，求动点 Q的轨迹所在曲线的方程 . 分析：这是一个轨迹问题

22、，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。 其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法 将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(yxQ的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 k 作为 参数，如何将yx,与 k 联系起来？一方面利用点Q在直线 AB上；另一方面就是运用题目 条件：来转化 . 由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x ，要建 立x与 k 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽

23、然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已 经做到心中有数 . 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点 Q 满足直线 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去参数k 点 Q 的轨迹方程 QB AQ PB AP )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x kfx 实用标准文案 精彩文档 在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关 于yx,的方程（不含 k） ，则可由1)4(xky解得 4 1 x y k，直接代入kfx即可得 到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解：设),(),(, 2211 yxQyxByxA，则由 QB AQ

24、PB AP 可得： xx xx x x 2 1 2 1 4 4 ， 解之得： )(8 2)(4 21 2121 xx xxxx x（1） 设直线 AB的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C的方程，消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程： 08)41 (2)41(412 222 kxkkxk（2） . 12 8)41(2 , 12 )14(4 2 2 21 2 21 k k xx k kk xx 代入（1） ，化简得： . 2 34 k k x (3) 与1)4(xky联立，消去 k 得：.0)4(42xyx 在（2）中，由0246464 2 kk，解得 4 102 4 102 k ，结合（

25、3）可求得 . 9 10216 9 10216 x 故知点 Q的轨迹方程为：042yx（ 9 10216 9 10216 x ）. 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别 式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去 参. ，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P（0，3） ，和椭圆 xy 22 94 1顺次交于 A、B两点，试求的取 值范围 . 实用标准文案 精彩文档 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： AP PB = B A x x ，但从此后

26、却一筹莫展 , 问题的 根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构 造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想 实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1: 从第一条想法入手，= B A x x 已经是一个关系式，但由于有两个变量 BA xx ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3 个变量直线AB的 斜率 k. 问题就转化为如何将 BA xx ,转化为关于 k 的表达式，到此为止，将直线方程代入 椭圆方程，消去 y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 简解 1：当直线 l 垂直于 x

27、 轴时，可求得 5 1 PB AP ; 当 l 与 x 轴不垂直时，设)(, 2211 yxByxA，直线 l 的方程为：3kxy，代入椭 圆方程，消去 y 得0455449 22 kxxk 解之得. 49 59627 2 2 2,1 k kk x 因为椭圆关于 y 轴对称，点 P在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形 . 当0k时， 49 59627 2 2 1 k kk x， 49 59627 2 2 2 k kk x ， 所求量的取值范围 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 xA= f（k） ，xB = g（k） 得到所求量关于k

28、 的函数关系式 求根公式 AP/PB = （ xA / xB） 由判别式得出k 的取值范围 实用标准文案 精彩文档 所以 2 1 x x PB AP = 5929 5929 2 2 kk kk = 5929 18 1 2 kk k = 2 5 929 18 1 k . 由049180)54( 22 kk, 解得 9 52 k， 所以 5 1 5 929 18 11 2 k ，综上 5 1 1 PB AP . 分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等 的根源 . 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求 量与 k 联系起来 . 一

29、般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用 韦达定理，原因在于 2 1 x x PB AP 不是关于 21,x x的对称关系式 . 原因找到后，解决问题的 方法自然也就有了，即我们可以构造关于 21,x x的对称关系式 . 简解 2：设直线 l 的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y 得 0455449 22 kxxk（*） 则 . 49 45 , 49 54 2 21 2 21 k xx k k xx 令 2 1 x x ，则， . 2045 324 2 1 2 2 k k 在（*）中，由判别式,0可得 9 5 2 k， 从而有 5 36 2045 324 4 2 2 k

30、k ，所以 5 36 2 1 4，解得5 5 1 . 结合10得1 5 1 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（k） ，xA xB = g（k） 构造所求量与k 的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = （ xA / xB） 由判别式得出k 的取值范围 实用标准文案 精彩文档 综上， 5 1 1 PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的 有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又 一优美解法 . 解题犹如打仗，不能

31、只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚 至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵 布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是 数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择 恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注 意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理 严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为BA,，O 为椭圆中心， F 为椭圆的右焦

32、点，且1FBAF ， 1OF （）求椭圆的标准方程； （）记椭圆的上顶点为M ，直线 l 交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线 l ，使点 F 恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l 的方程 ; 若不存在，请说明理由。 思维流程： （） （） 2,1ab 写出椭圆方程 由1AFFB，1OF()()1ac ac ，1c 1 PQ k由 F为PQM的重心,PQMF MPFQ 实用标准文案 精彩文档 消元 解题过程： （）如图建系，设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab , 则1c 又1FBAF即 22 () ()1acacac ， 2 2a 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y （）假

33、设存在直线 l 交椭圆于QP,两点，且 F 恰为PQM的垂心，则 设 1122 (,),(,)P x yQ xy，(0,1),(1,0)MF，故1 PQ k， 于是设直线 l 为yxm，由 22 22 yxm xy 得， 22 34220xmxm 1221 0(1)(1)MP FQx xyy又(1,2)iiyxm i 得 1221 (1)()(1)0x xxm xm即 2 1212 2()(1)0x xxxmmm由韦达定理得 2 2 224 2(1)0 33 mm mmm 解得 4 3 m或1m（舍）经检验 4 3 m符合条件 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘

34、积为零 例 7、已知椭圆 E的中心在坐标原点， 焦点在坐标轴上， 且经过( 2,0)A、(2,0)B、 3 1, 2 C三点 （）求椭圆 E的方程： （）若点 D为椭圆 E 上不同于 A、 B的任意一点，( 1,0),(1,0)FH，当 DFH 内 22 22 yxm xy 22 34220xmxm 两根之和， 两根之积 0MPFQ 得出关于 m 的方程 解出 m 实用标准文案 精彩文档 切圆的面积最大时，求DFH 内心的坐标； 思维流程： （） （） 解题过程：（）设椭圆方程为1 22 nymx0,0 nm ，将 ( 2,0)A、(2,0)B、 3 (1, ) 2 C代入椭圆 E的方程，得

35、41, 9 1 4 m mn 解得 11 , 43 mn. 椭圆E的方程 22 1 43 xy （）| 2FH，设 DFH 边上的高为hhS DFH 2 2 1 当点 D 在椭圆的上顶点时，h最大为 3，所以 DFH S的最大值为 3 设 DFH 的内切圆的半径为 R ，因为 DFH 的周长为定值 6所以，6 2 1 RS DFH 所以 R的最大值为 3 3 所以内切圆圆心的坐标为 3 (0,) 3 . 点石成金： 的内切圆的内切圆 的周长rS 2 1 例 8、已知定点)01(，C及椭圆 53 22 yx ，过点 C的动直线与椭圆相交于AB，两 点. 得出D点坐标为 3 3 ,0 由椭圆经过A

36、、B、C 三点设方程为1 22 nymx 得 到nm,的 方 程 解出 nm, 由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大 转化为点 D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点 DFH面积最大值为3内切圆 周长rS DFH 2 1 3 3 内切圆 r 实用标准文案 精彩文档 （）若线段 AB 中点的横坐标是 1 2 ，求直线 AB 的方程； （）在x轴上是否存在点 M ，使MBMA为常数？若存在，求出点M 的坐标；若 不存在，请说明理由 . 思维流程： （）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)yk x， 将(1)yk x代入53 22 yx， 消去 y 整理得 2222

37、 (31)6350.kxk xk 设 1122 ()()A xyB xy， 则 422 2 12 2 364(31)(35)0 (1) 6 . (2) 31 kkk k xx k ， 由线段 AB 中点的横坐标是 1 2 ，得 2 12 2 31 2312 xxk k ， 解得 3 3 k ， 符合题意。 所以直线 AB 的方程为310xy，或310xy. （）解：假设在x轴上存在点(,0)M m，使MBMA为常数 . 当直线 AB 与x轴不垂直时， 由（）知 22 1212 22 635 . (3) 3131 kk xxx x kk ， 所以 2 12121212 ()()()()(1)(1

38、)MA MBxm xmy yxm xmkxx 2222 1212(1)()().kx xkmxxkm将(3)代入，整理得 2 2 22 22 114 (2)(31)2 (61)5 33 3131 mkm mk MA MBmm kk 2 2 1614 2. 33(31) m mm k 注意到MBMA是与 k 无关的常数，从而有 7 6140 3 mm， 此时 4 . 9 MA MB 当直线AB 与x轴垂直时，此时点AB，的坐标分别为 22 11 33 ，、，当 7 3 m时， 亦有 4 . 9 MA MB 综上，在x轴上存在定点 7 0 3 M ，使MBMA为常数 . 实用标准文案 精彩文档 点

39、石成金： 2 2 22 22 114 (2)(31)2 (61)5 33 3131 mkm mk MA MBmm kk 2 2 1614 2. 33(31) m mm k 例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点 M （2， 1） ，平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m （m 0） ， l 交椭圆于 A、B两个不同点。 （）求椭圆的方程； （）求 m的取值范围； （）求证直线 MA 、MB与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程： 解： （1）设椭圆方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 则 2 8 1 14 2 2 2 22

40、 b a ba ba 解得椭圆方程为 1 28 22 yx （）直线 l 平行于 OM ，且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM= 2 1 mxyl 2 1 的方程为： 由0422 1 28 2 1 22 22 mmxx yx mxy 直线 l 与椭圆交于 A、B两个不同点， 0, 22 , 0)42(4)2( 22 mm mm 且解得 （）设直线 MA 、MB的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0即可 设 42,2),(),( 2 21212211 mxxmxxyxByxA且 则 2 1 , 2 1 2 2 2 1 1 1 x y k x y k 由 可得0422 2 2 mmx

41、x 42,2 2 2121 mxxmxx 实用标准文案 精彩文档 而 )2)(2( )2)(1()2()1( 2 1 2 1 21 1221 2 2 1 1 21 xx xyxy x y x y kk )2)(2( ) 1(4)2)(2(42 )2)(2( )1(4)(2( )2)(2( )2)(1 2 1 ()2)(1 2 1 ( 21 2 21 2121 21 1221 xx mmmm xx mxxmxx xx xmxxmx 0 0 )2)(2( 444242 21 21 22 kk xx mmmm 故直线 MA 、MB与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金：直线 MA 、MB与 x

42、 轴始终围成一个等腰三角形0 21 kk 例 10、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 3 32 e，过),0(),0 ,(bBaA的直线到原点的距 离是. 2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C ，D且C，D都在以 B为圆心的圆 上，求k的值. 思维流程： 解 ： （ 1 ） , 3 32 a c 原 点 到 直 线AB ： 1 b y a x 的 距 离 .3,1 . 2 3 22 ab c ab ba ab d . 故所求双曲线方程为 .1 3 2 2 y x （2）把335 22 yxkxy代入中消去 y，整理得0783

43、0)31( 22 kxxk. 实用标准文案 精彩文档 设CDyxDyxC),(),( 2211 的中点是),( 00 yxE，则 . 11 , 31 5 5 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE ,0 00 kkyx 即7,0,0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 故所求 k=7. 点石成金 : C，D都在以 B为圆心的圆上BC=BDBE CD; 例 11、已知椭圆 C的中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上，椭圆 C上的点到焦点距离的最大 值为 3，最小值为 1 （）求椭圆 C的标准方程； （II ）若直线:l

44、y=kx+m与椭圆 C相交于 A、B 两点（ A、B不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 思维流程： 解： （）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得：31acac， 222 21 3 ac bac ， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （II ）设 1122 ()()A xyB xy， 联立 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 (34)84(3)0kxmkxm，则 222222 12 2 2 12 2 6416(34)(3)0340 8 34 4(3) . 34 m kkmk

45、m mk xx k m x x k ，即， ， 实用标准文案 精彩文档 又 22 22 12121212 2 3(4) ()()() 34 mk y ykxmkxmk x xmk xxm k 因为以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D， 1 ADBD kk，即1 22 2 2 1 1 x y x y . 121212 2()40y yx xxx 222 222 3(4)4(3)15 40 343434 mkmmk kkk 22 71640mmkk 解得： 12 2 2 7 k mkm，且均满足 22 340km 当 1 2mk时， l 的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知矛盾

46、； 当 2 2 7 k m时， l 的方程为 2 7 ykx，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线 l 过定点，定点坐标为 2 0 7 ， 点石成金：以 AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CACB; 例 12、已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右两个焦点分别为 21 FF 、, 点 P在双曲线右 支上. （）若当点 P的坐标为) 5 16 , 5 413 (时, 21 PFPF, 求双曲线的方程； （）若|3| 21 PFPF, 求双曲线离心率e的最值 , 并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程： 解： （） ( 法一) 由题意知 , 1 PF) 5 16 ,

47、 5 413 ( c, 2 PF) 5 16 , 5 413 (c, 21 PFPF, 0 21 PFPF) 5 413 ( c0) 5 16 () 5 413 ( 2 c（1 分） 解得5,25 2 cc. 由双曲线定义得 : ,2| 21 aPFPF 2222 ) 5 16 () 5 413 5() 5 16 () 5 413 5(2a6)341()341( 22 , 4, 3 ba 所求双曲线的方程为 : 1 169 22 yx 实用标准文案 精彩文档 ( 法二) 因 21 PFPF, 由斜率之积为 1, 可得解. （）设 2211 | ,|rPFrPF, (法一)设P的坐标为),(yx

48、, 由焦半径公式得 aexexarexaexar|,| 21 , c a xaexexarr 2 21 2 ),(3,3, , 2 , 2 a c a axca2， e的最大值为 2, 无最小值 . 此时31, 2 2 22 e a ac a b a c , 此时双曲线的渐进线方程为xy3 (法二) 设 21PF F,0(. (1) 当时, 22121 423,2rcrrcrr，且, 221 22rrra 此时2 2 4 2 2 2 2 r r a c e. (2) 当），（0, 由余弦定理得 : cos610cos22 2 2 2 221 2 2 2 1 2 rrrrrrc）（ 2 cos610 2 cos610 2 2 2 2 r r a c e, )1 , 1(cos,)2, 1(e, 综上,e的最大值为 2, 但e无最小值 . ( 以下法一 )