圆锥曲线轨迹方程经典例题.pdf

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1、实用标准 文档大全 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修 2 课本 P124B 组 2：长为 2a 的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程： 必修 2 课本 P124B 组：已知 M 与两个定点（ 0,0） ，A（3,0）的距离之比为 2 1 ，求点 M 的轨迹方程 ;（一般地：必修2 课 本 P144B 组 2：已知点 M(x,y)与两个定点 21,M M的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1， 与m1 进行讨论） 2、 必修2 课本P122 例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3） ，端点A 在圆 1) 1( 22

2、yx上运动，求AB 的中点 M 的轨迹。 （2013 新课标 2 卷文 20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长 为22，在 y轴上截得线段长为 32。（1）求圆心的 P的轨迹方程； （2）若P点到直线 xy 的距离为 2 2 ，求圆P的方程。 如图所示，已知P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足 APB=90，求 矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 . 解：设 AB 的中点为R，坐标为 (x,y)，则在 RtABP 中， |AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点， 依垂径定理：在RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR

3、| 2 =36(x 2+y2)又|AR|=|PR|=22 )4(yx所以有 (x 4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y) ， R(x1,y1) ， 因 为 R 是PQ 的 中 点 ， 所 以x1= 2 0 , 2 4 1 y y x , 代 入 方 程x 2+y2 4x 10=0, 得 2 4 4) 2 () 2 4 ( 22xyx 10=0 整理得： x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 . 在平面直角坐标系xOy中，点)3 ,0(A，直线42:xyl设圆C的半径为1，圆心

4、在l上（1）若圆心C也在直 线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围 （2013 陕西卷理20）已知动圆过定点)0 ,4(A，且在y轴上截得弦MN的长为 8. M B A 实用标准 文档大全 （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）已知点)0 ,1(B，设不垂直于x轴的直线 l与轨迹C交于不同的两点QP, ，若x轴是PBQ的角平分线， 证明 直线l过定点。 二、椭圆类型： 3、定义法： （选修 2-1P50第 3 题）点 M(x,y)与定点 F(2，0)的距离和它到定直线8x 的距离之比为 2 1 ，求点 M 的轨迹方程

5、 .(圆锥曲线第二定义) 讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1 是的情形呢？（对应双曲线，抛物线） 4、 圆 锥 曲 线 第 一 定 义 ： （ 选 修2-1P50 第2 题 ） 一 个 动 圆 与 圆 056 22 xyx外切，同时与圆0916 22 xyx内切，求 动圆的圆心轨迹方程。 5、 圆锥曲线第一定义：点 M( 00,y x)圆 1 F9)1( 22 yx上的一个动点, 点 2 F （1,0）为定点。线段 2 MF的垂直平分线与 1 MF相交于点Q(x,y),求点 Q 的 轨迹方程 ;(注意点 2 F（1,0）在 圆内 ) 6、 其他形式：（选修 2-1P50例 3

6、）设点 A,B 的坐标分别是（ -5,0） ， （ 5,0） ，直线 AM,BM相交于点M，且他们的斜 率的乘积为 9 4 ，求点 M 的轨迹方程 :（是一个椭圆） （讨论当他们的斜率的乘积为 9 4 时可以得到双曲线） （2013 新课标 1 卷 20） 已知圆:M1)1( 22 yx， 圆:N9)1( 22 yx， 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 圆心P的轨迹为曲线C。（ 1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两 点，当圆P的半径最长时，求AB Q F1F2 M M F1F2 实用标准 文档大全 （2013 陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线

7、4: xl 的距离是它到点)0, 1 (N的距离的 2倍。 （1）求动点 M 的轨迹C的方程 （2）过点)3 ,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线 m的斜率。 三、双曲线类型： 8、圆锥曲线第一定义：点M( 00, y x)圆 1 F1)1( 22 yx上的一个动点 , 点 2 F（1,0）为定点。线段 2 MF的垂直平分线与 1 MF相交于点Q(x,y),求点 Q 的轨迹方程 ;(注意点 2 F（1,0）在 圆外 ) 定义法： （选修 2-1P59例 5）点 M(x,y)与定点 F(5，0)的距离和它到定直线 5 16 x的距离之比为 4 5 ，求点 M 的轨迹方

8、 程.(圆锥曲线第二定义) 四、抛物线类型：10、定义法：（选修 2-1）点 M(x,y)与定点 F(2，0)的距离和它到定直线2x的距离相等，求 点 M 的轨迹方程。 （或：点M(x,y)与定点 F(2，0)的距离比它到定直线3x的距离小1，求点 M 的轨迹方 程。 ） （2013 陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4: xl的距离是它到点)0, 1(N的距离的2倍。（1）求动点M的轨 迹C的方程 （ 2）过点)3 ,0(P的直线m与轨迹 C交于BA, 两点，若 A是PB的中点，求直线m的斜率 已知三点(0,0)O，( 2,1)A，(2,1)B，曲线C上任意一点( , )M x y满足

9、 |()2MAMBOMOAOB。 （1）求曲线C的方程； ）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的点均在 C2： （x-5）2y 2=9 外，且对 C1上任意一点 M，M 到直线 x=2 的距离等 于该点与圆C2上点的距离的最小值. Q F1F2 M 实用标准 文档大全 （）求曲线C1的方程； （湖北）设 A是单位圆 x 2+y2=1上的任意一点， i 是过点 A与x轴垂直的直线，D是直线 i 与x轴的交点，点 M 在直线 l 上， 且满足丨 DM 丨=m 丨DA 丨（ m0,且 m 1）。当点 A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线 C。 （I ）求曲线 C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦

10、点坐标； （辽宁） 如图，椭圆 0 C： 22 22 1(0 xy ab ab ，a，b 为常 数 ) ， 动 圆 222 11 :Cxyt， 1 bta。点 12 ,AA分别为 0 C的左， 右顶点， 1 C与 0 C相 交于 A，B，C，D 四点。 ()求直线 1 AA与直线 2 A B交点 M 的轨迹方程 ; （四川）如图，动点 M 到两定点( 1,0)A、(2,0)B构成 MAB，且2MBAMAB，设动点M 的轨迹为 C。 （）求轨迹 C的方程； （）设直线2yxm与y轴交于点 P， 与轨迹C相交于点QR、，且| |PQPR， 求 | | PR PQ 的取值范围。 1.( )已知椭圆的

11、焦点是F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得 |PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是 ( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线 2.( )设 A1、A2是椭圆 49 22 yx =1 的长轴两个端点，P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点， 则直线 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程为( ) A.1 49 22 yx B.1 49 22 xy C.1 49 22 yx D.1 49 22 xy 二、填空题 3.( )ABC 中， A 为动点， B、C 为定点， B( 2 a ,0),C( 2 a ,0)，且满足条件sinCsinB= 2 1 sinA

12、,则动点 A 的 轨迹方程为 _. 4.( )高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m， 如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A( 5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_. 三、解答题 5.( )已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且 |AB|=|BC|=6， O切直线 l 于点 A，又过 B、C 作 O异于 l 的两切线，设这两切线交于点P，求点 P 的轨迹方程 . 实用标准 文档大全 6.( )双曲线 2 2 2 2 b y a x =1 的实轴为A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA1P，A2QA2P，A1Q 与

13、A2Q 的交点为Q，求 Q 点的轨迹方程. 8.( )已知椭圆 2 2 2 2 b y a x =1(ab0),点 P 为其上一点， F1、F2为椭圆的焦点， F1PF2的外角平分线为 l， 点 F2关于 l 的对称点为Q，F2Q 交 l 于点 R. (1)当 P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点 R 形成的曲线为C，直线 l：y=k(x+2a)与曲线 C 相交于 A、 B两点，当 AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值 . 一、 1.解析： |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点

14、Q 到定点 F1的距离等于定 长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 . 2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P 共线， 3 0 0 x y xx yy A2、P2、P 共线， 3 0 0 x y xx yy 解得 x0=1 49 , 1 49 , 3 , 9 222 0 2 0 0 yxyx x y y x 即代入得 二、 3.解析：由 sinCsinB= 2 1 sinA,得 cb= 2 1 a,应为双曲线一支， 且实轴长为 2 a ,故方程为) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x . 答案

15、：) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 4.解析：设P(x,y） ，依题意有 2222 )5( 3 )5( 5 yxyx ,化简得 P 点轨迹方程为4x 2+4y2 85x+100=0. 答案： 4x 2+4y285x+100=0 三、 5.解： 设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、 E两点，两切线交于点P.由切线的性质知： |BA|=|BD |， |PD|=|PE|， |CA|=|CE|，故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD |+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC|，故由

16、椭圆定义知，点P 的轨迹是以B、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为 7281 22 yx =1(y 0) 6.解：设 P(x0,y0）(x a),Q(x,y). A1(a,0),A2(a,0). 实用标准 文档大全 由条件 y ax y axxx ax y ax y ax y ax y 22 0 00 0 0 0 0 )( 1 1 得 而点 P(x0,y0)在双曲线上， b 2x 0 2a2y 0 2=a2b2. 即 b2(x2)a2( y ax 22 ) 2=a2b2 化简得 Q 点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a

17、4(x a). 8.解： (1)点 F2关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ， F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为 l 为 F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q 在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c) 2+y 1 2=(2a)2. 又 2 2 1 0 1 0 y y cx x 得 x1=2x0c,y1=2y0. (2x0)2+(2y0)2=(2a)2， x02+y02=a2. 故 R 的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0) (2

18、)如右图， SAOB= 2 1 |OA| |OB|sinAOB= 2 2 a sinAOB 当 AOB=90时， SAOB最大值为 2 1 a 2. 此时弦心距 |OC|= 2 1 |2| k ak . 在 Rt AOC 中， AOC=45， . 3 3 , 2 2 45cos 1 |2| | | 2 k ka ak OA OC 专题一：求曲线的轨迹方程 课前自主练习： 1如图 1，ABC中，已知( 2,0)B，(2,0)C，点A在x轴上方运动，且tantan2BC，则顶点A 的轨迹方程是 2如图 2，若圆C： 22 (1)36xy上的动点M与点(1,0)B连线BM的垂直平分线交CM于点G，

19、则G的轨迹方程是 3如图 3，已知点(3,0)A，点P在圆 22 1xy上运动，AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方 x y O Q P A x y O B A Q P x y O B A C 图 1 图 2 图 3 图 4 B G C M O y x 实用标准 文档大全 程是 4与双曲线 22 22xy有共同的渐近线，且经过点(2,2)的双曲线方程为 5如图 4，垂直于y轴的直线与y轴及抛物线 2 2(1)yx分别交于点A、P，点B在y轴上，且点A 满足|AB2 |OA，则线段PB的中点Q的轨迹方程是 几种常见求轨迹方程的方法： 1直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点

20、所满足的几何条件列出等式，再用 坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系设点列式代换化简检验； 【例 1】 （1）求和定圆 222 xyR的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； （2）过点( ,0)A a作圆O： 222 xyR (0)aR的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹 解： （1）设动点( , )P x y，则有|OP2R或|OP0即 222 4xyR或 22 0xy 故所求动点P的轨迹方程为 222 4xyR或 22 0xy （2）设弦的中点为( , )M x y，连结OM，则OMAM1 OMAM kk， 1 yy xxa ，化简得： 2

21、22 ()() 22 aa xy 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧（不含端点） 【例 2】已知直角坐标平面上一点(2,0)Q和圆C： 22 1xy，动点M到圆C的切线长等于圆C的半 径与|MQ的和求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 解：如图，设MN切圆C于N，又圆的半径|ON1， 2 |OM 22 |NMON 2 |1NM， |MN 2 |1OM，由已知|MN| 1MQ 设( , )Mx y，则 2222 1(2)1xyxy， 22 23(2)xxy，即 22 3850xyx 3 () 2 x可化为 22 4 9()31 3 xy 3 () 2 x 故所求的轨迹是以点 4 (,0

22、) 3 为中心，实轴在x轴上的双曲线的右支，顶点为 5 (,0) 3 ，如图 【例 4】已知定圆A的半径为r，定点B与圆A的圆心A的距离为 (2 )mmr又一动圆P过定点B， 且与定圆 A相切求动圆圆心P的轨迹方程 解：以 AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立坐标系，如图 当动圆 P与定圆A外切时，|PAPBr ；当动圆 P与定圆A外切时，|PBPAr 由双曲线的定义知动圆圆心 P的轨迹应是以A、B为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左 支） 显然， 2 m c，又 2 r a， 故 22 222 4 mr bca 所以所求的点P轨迹方程是： 22 222 1 44 xy rmr

23、3动点转移法：若动点( , )P x y随已知曲线上的点 00 (,)Q xy的变动而变动，且 0 x、 0 y可用x、y表示， 则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为动点转 移法（或代换法或相关点法） 【例 5】已知定点(3,1)A、B为抛物线 2 1yx，上任意一点，点P在线段AB的中点，当B点在抛物 线上变动时，求点P的轨迹方程 解：设点( ,)P x y，且设点 00 (,)B xy，则有 2 00 1yx 点P是线段AB的中点由中点坐标公式得： N B x y O M A P P O y xQ M N 实用标准 文档大全 0 0 3 2 1 2 x x y

24、 y ， 0 0 23 21 xx yy 将此式代入 2 00 1yx中，并整理得： 2 (21)22yx， 即为所求轨迹方程它是一条抛物线 4待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的 参数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 【例 7】若抛物线 2 4yx和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线2yx 被双曲线截得的线段长等于2 5，求此双曲线方程 解：设所求双曲线方程为 22 22 1 yx ab ，将 2 4yx代入整理得： 22222 40a xb xa b 抛物线和双曲线仅有两个公共点，

25、根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等， 因此方程 22222 40a xb xa b应有等根 432 1640ba b，即 2 2ab 由2yx和 22 22 1 yx ab 得： 22222 (4)0baxa b 由弦长公式得： 22 22 121222 2 512()45 ( 4)() 4 a b xxx x ba 即 2222 4a bba由 2 2222 2 4 ab a bba 得： 2 2a， 2 1b双曲线的方程是 2 2 1 2 y x 5参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示 动点P的坐标x、y，从而动点轨迹的参数方程 (

26、 ) ( ) xf t yg t 消去参数t，便可得到动点 P的 的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x、y的范围 【例 8】抛物线 2 4xy的焦点为F，过点(0,1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻 边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程 解：设( , )R x y，AB：1ykx，AB中点为 00 (,)M xy， 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，与 2 4xy联立得： 2 440xkx 2 16(1)0k， 12 4xxk， 12 4xx 2 1212 2()4yyk xxk， 2 12 42yyk 2 (2 ,21)Mkk，(

27、0,1)F，M为AB中点， 4xk， 2 43yk消k得： 2 4(3) (1)xyy 巩固练习： 1平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（） （A）椭圆的一部分（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）双曲线 2已知动点M与定点)0,2(F的距离比动点M到y轴的距离大2，则动点M的轨迹（） （A）抛物线（B）抛物线的一部分（C）抛物线和一射线（D）抛物线和一直线 3已知定直线l和l外一点A，过A与l相切的圆的圆心轨迹是（） （A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）直线 4一动圆与两圆 22 1xy和 22 8120xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（） （A）圆（B）椭圆（C）双

28、曲线的一支（D）抛物线 5已知椭圆的焦点是 1 F、 2 F、P是椭圆上的一个动点如果延长 1 F P到Q，使得|PQ 2 |PF，那么 动点Q的轨迹是（） （A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线 6已知点)0 ,2(A、)0,3(B，动点( , )P x y满足 2 PA PBx，则点P的轨迹是（） F O y x R A B 实用标准 文档大全 （A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线 7与圆 22 40xyx外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（） （A） 2 8yx（B） 2 8 (0)yxx和0y （C） 2 8yx (0)x（D） 2 8 (0)yx x和0 (0)

29、yx 8过抛物线 2 2yx的焦点作直线与此抛物线相交于两点P、Q，则线段PQ中点的轨迹方程为（） （A） 2 21yx（B） 2 21yx（C） 2 22yx（D） 2 22yx 9过点( , )P x y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称， O为坐标原点，若2BPPA，且1OQ AB，则点P的轨迹方程是（） （A） 22 3 31 (0, 0) 2 xyxy（ B） 22 3 31 (0, 0) 2 xyxy （C） 22 3 31 (0, 0) 2 xyxy（ D） 22 3 31 (0, 0) 2 xyxy 10已知两点( 2,0)M、(2,0

30、)N，点P为坐标平面内的动点，满足| |0MNMPMNNP，则动 点( , )P x y的轨迹方程为（） （A） 2 8yx（B） 2 8yx（ C） 2 4yx（D） 2 4yx 11与双曲线 22 1 916 xy 有共同的渐近线，且经过点( 3,2 3)的双曲线方程是（） （A） 22 4 1 49 xy （B） 22 4 1 49 yx （C） 22 4 1 49 xy （D） 22 4 1 49 yx 12设P为双曲线 2 2 1 4 x y上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 13已知 1 (,0) 2 A，B是圆F： 221 ()4 2 xy（F为圆心）

31、上一动点，线段AB的垂直平分线交 BF于P，则动点P的轨迹方程为 14倾斜角为45的直线交椭圆1 4 2 2 y x 于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 15求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过(3,2)A和( 2 3,1)B两点的椭圆方程 16已知双曲线与椭圆 22 464xy共焦点，它的一条渐近线方程为30xy，则双曲线的方程是 17已知Q是椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 上的任意一点，从右焦点 2 F作 12 FQF的外角平分线的垂线， 垂足为P，求P点的轨迹方程 18如图，直线 1 l： (0)ykx k与直线 2 l：ykx之间的阴影区域 （不含边界）记为W，其左

32、半部分记为 1 W，右半部分记为 2 W （1）分别用不等式组表示 1 W和 2 W； （2）若区域W中的动点( , )P x y到 1 l， 2 l的距离之积等于 2 d， 求点P的轨迹C的方程； 19设椭圆方程为1 4 2 2y x，过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 2OPOAOB，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程 20过双曲线C： 2 2 1 3 y x的左焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点， x y O A M B y xO 实用标准 文档大全 以线段OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求顶点M的轨迹方程 21设点A和B为抛物线 2 4 (0)ypxp上原点以外的两个动点， 已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线