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1、实用标准文案 精彩文档 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦. 设过抛物线 2 2xpy外一点 00 (,)P xy的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的 交点为 Q。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为 00 ()x xp yy； （2）求证： 112 |PCPDPQ . 2. 已知定点F（ 1，0） ，动点 P在y轴上运动，过点P作 PM交x轴于点 M ，并延长MP到点 N，且 . | ,0PNPMPFPM （1）动点 N的轨迹方程； （2）线l与动点 N的轨迹交于A，B两点，若 304|64, 4ABOBOA且 ，求直 线l的斜率k的取
2、值范围 . 3. 如图，椭圆1 34 : 22 1 yx C的左右顶点分别为A、B，P为双曲线1 34 : 22 2 yx C右支 上（x轴上方）一点，连AP交 C1于 C ，连 PB并延长交C1于 D，且 ACD与 PCD的面积相 等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角 . 4. 已知点( 2,0),(2,0)MN，动点P满足条件|2 2PMPN. 记动点P的轨迹为 W. 实用标准文案 精彩文档 （）求W的方程； （）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值 . 5. 已知曲线 C的方程为 :kx 2+(4- k)y 2=k+1,(k R) （）若曲线 C是椭圆，求 k
3、的取值范围； （）若曲线 C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60，求此双曲线的方程； （）满足（）的双曲线上是否存在两点P，Q 关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P， Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（ 21）图，M（-2 ，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： 6.PMPN (1) 求点P的轨迹方程； (2) 若 2 1cos PMPN MPN , 求点P的坐标 . 7. 已知F为椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的右焦点，直线l过点F且与双曲线 1 2 22 b y a x 的两条渐进线 12 ,l l分别交于点,M N，与椭圆交于点,A B.
4、 （I ）若 3 MON，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OMMN（O为坐标原点）， 1 3 FAAN，求椭圆的离心率e。 实用标准文案 精彩文档 8. 设曲线 2 2 1 2 :1 x Cy a （a为正常数） 与 2 2: 2()Cyxm在x轴上方只有一个公共点P。 （）求实数m的取值范围（用a表示） ； （）O为原点，若 1 C与x轴的负半轴交于点 A，当 1 0 2 a时，试求OAP的面积的最 大值（用a表示） 。 1. （1）略 （2）为简化运算，设抛物线方程为 2 00 ()2 ()xxp yy，点Q，C，D的坐标分别为 331122 () () ()xyxyxy，
5、， ，点(0 ,0)P，直线ykx， 2 00 ()2 ()xxp kxy 22 000 2()20xxpk xxpy 一方面。要证 112 |PCPDPQ 化斜为直后 只须证： 123 112 xxx 由于 0 012 2 1212 2()11 2 xpkxx xxx xxpk 另一方面，由于(0,0)P所以切点弦方程为： 000 ()(2)xxxp yy 所以 3 x 0 2 0 2xpk xpk 0 0 2 3 1 2 xpk xxpk 从而 123 112 xxx 即 112 |PCPDPQ 2. （1）设动点 N的坐标为（x,y） ，则 ), 2 ,(),0)( 2 ,0(),0 ,
6、( y xPMx y PxM 2 分 x y O 2 2xpy 实用标准文案 精彩文档 0 4 0), 2 , 1( 2 y xPFPM y PF得由 ，因此，动点的轨迹方程为 ).0(4 2 xxy 4 分 （2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2) ，当l与x轴垂直时， 则由6424| ,22,22,4 21 AByyOBOA得， 不合题意， 故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k0), 则由 4, 4 2121 yyxxOBOA得6 分 由点 A， B在抛物线 . 8,4,4,) 0(4 212 2 21 2 1 2 yyxyxyxxy故有上 又y 2=4
7、x, y=kx+b得ky 24y+4b=0, 8 分 所以 )32 16 ( 1 |),21(16.2, 8 4 22 2 22 kk k ABkkb k b 10 分 因为 .480)32 16 ( 1 96,304|64 22 2 kk k AB所以 解得直线l的斜率的取值范围是 1 , 2 1 2 1 , 1 . 12 分 3. 由题意得C为 AP中点，设) 0,2(),( 00 AyxC，),2, 22( 00 yxP 把 C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得 , 124)22(3 1243 2 0 2 0 2 0 2 0 yx yx 解之得： )0,2(),3 , 4(), 2
8、3 , 1 (, 2 3 1 0 0 BPC y x 又故 故直线 PD的斜率为 2 3 24 03 ，直线 PD的方程为 ),2( 2 3 xy 联立 ) 2 3 , 1( 1 34 )2( 2 3 22 D yx xy 解得 ，故直线CD的倾斜角为90 4. 解法一： （）由 |PM|PN|=22知动点 P 的轨迹是以,M N为焦点的双曲线的右支，实 半轴长2a 又半焦距 c=2 ，故虚半轴长 22 2bca 所以 W 的方程为 22 1 22 xy ,2x （）设 A，B 的坐标分别为 11 (,)xy, 22 (,)xy 当 ABx 轴时 , 12, xx从而 12, yy从而 22
9、121211 2.OA OBx xy yxy 实用标准文案 精彩文档 当 AB与 x 轴不垂直时 , 设直线 AB的方程为ykxm, 与 W的方程联立 ,消去 y 得 222 (1)220.kxkmxm 故 122 2 , 1 km xx k 2 122 2 , 1 m x x k 所以 1212 OA OBx xy y 1212 ()()x xkxm kxm 22 1212 (1)()kx xkm xxm 2222 2 22 (1)(2)2 11 kmk m m kk 2 2 22 1 k k 2 4 2 1k . 又因为 12 0x x, 所以 2 10k, 从而 2.OA OB 综上 ,
10、 当 AB x轴时 , OA OB取得最小值2. 解法二 : ( ）同解法一. （）设 A，B 的坐标分别为，则 11 (,)xy, 22 (,)xy, 则 22 ()()2(1,2). iiiiii xyxyxyi令, iiiiii sxy txy 则2, i i st且0,0(1,2) ii sti所以 1212 OA OBx xy y 11221122 11 ()()()() 44 stststst 1 21 21 2 1 2 11 2, 22 sst tss t t 当且仅当 121 2 s st t, 即 12 12 ,xx yy 时”成立 . 所以OA OB的最小值是2. 5. (
11、1)当k=0或k=-1 或k=4时， C表示直线；当k0且k-1且k4时方程为 k k k k k k k k k k y k k x 4 11 ,0 4 1 0 1 :,1 4 11 22 且为椭圆的充要条件是 即是 00，存在满足条件的P、Q，直线 PQ 的方程为 2 1 xy 6. (1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M 、N为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 . 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b= 22 5ac， 所以椭圆的方程为 22 1. 95 xy (2) 由 2 , 1 cos PMPN MPN 得 cos2.PMPNMPNPMPN 因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶
12、点，故P、M 、N构成三角形 . 在PMN中， 4,MN由余弦定理有 222 2cos.MNPMPNPMPNMPN 将代入，得 22 2 42(2).PMPNPMPN 故点P在以M 、N为焦点，实轴长为2 3的双曲线 2 2 1 3 x y上. 由(1) 知，点P的坐标又满足 22 1 95 xy ，所以 实用标准文案 精彩文档 由方程组 22 22 5945, 33. xy xy 解得 3 3 , 2 5 . 2 x y 即P点坐标为 3 353 353 353 35 (,) 22222222 、（，-）、（ -，）或（，-）. 7. 解： （I） 3 MON，NM ,是直线l与双曲线两条渐
13、近线的交点， 3 3 6 tan a b ，即ba32 分 双曲线的焦距为4，4 22 ba4 分 解得，1, 3 22 ba椭圆方程为1 3 2 2 y x 5 分 （II ）解：设椭圆的焦距为 c2 ，则点F的坐标为)0,(c 0ONOM， 1 ll 直线 1 l的斜率为 a b ，直线l的斜率为 b a ， 直线l的方程为)(cx b a y7 分 由 x a b y ax b a y)( 解得 c ab y c a x 2 即点),( 2 c ab c a N 设),(yxA由ANFA 3 1 ， 得),( 3 1 , 2 y c ab x c a ycx 即 )( 3 1 )( 3
14、1 2 y c ab y x c a cx c ab y c ac x 4 4 3 22 ) 4 , 4 3 ( 22 c ab c ac A 10 分。 点A在椭圆上，1 1616 )3( 2 2 22 222 c a ca ac 12 分 224222 16)3(caaac， 222 161)13(ee 实用标准文案 精彩文档 02109 24 ee 9 752 e 3 75 e 椭圆的离心率是 3 75 e。 8. （）由 2 2 222 2 2 1 2(21)0 2() x y xa xmaa yxm ， 设 222 ( )2(21)f xxa xma，则问题（）转化为方程在区间(,)
15、a a上有唯一解： 若 2 1 0 2 a m，此时 2 P xa，当且仅当 2 aaa，即01a适合； 若( )()0f a fa，则ama ； 若()0fama，此时 2 2 P xaa， 当且仅当 2 2aaaa，即01a时适合； 若( )0f ama，此时 2 2 P xaa，但 2 2aaa，从而 ma 。 综上所述，当01a时， 2 1 2 a m或ama；当1a时，ama 。 （）OAP的面积是 1 2 P Say。因为 1 0 2 a，所以有两种情形： 当 ama时， 22 021aaama，由唯一性得 22 21 P xaaam。显 然，当ma时， P x取得最小值 2 2aa，从而 2 1 2 P P x y取得最大值 2 2 aa，所以有 2 max Saaa； 当 2 1 2 a m时， 2 P xa， 2 1 P ya，此时 21 1 2 Saa。因此，有 当 22 1 1 2 a aaaa，即 1 0 3 a时， 2 max 1 1 2 Saa；当 22 1 1 2 a aaaa， 即 11 32 a时， 2 max Saaa。