圆锥曲线的中地取值范围最值问题.pdf

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1、实用标准文案 精彩文档 圆锥曲线中的最值取值范围问题 90. 已知 12 ,FF分别是双曲线 2 2 22 xy ab =l （ a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点， 若 0 12 90F PF, 且 21PF F的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的 一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为 5 6 3 。 （I ）求椭圆的方程； （）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线 l 的距离为 3 2 ，求 AOB面 积的最大值 90. 解：设nPFmPF| ,| 21 ，不妨 P在第一象限，则由已知得 ,065 .22 ,)2( ,2 22222 cac

2、a mcn cnm anm ,056 2 ee 解得15ee或（舍去）。设椭圆离心率为. 3 65 5,ee 则. 3 6 e 可设椭圆的方程为.,1 2 2 2 2 c b y a x 半焦距为 .2 , 1 ,3 . , 3 , 3 6 222 22 c b a acb cb a c 解之得.1 3 2 2 y x 椭的方程为 （）当AB.3| , ABx轴时 当 AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为),(),(, 2211 yxByxAmkxy， 由已知, 2 3 1 | 2 k m 得mkxykm把),1( 4 322 代入椭圆方程，整理得 ,0336)13( 222 mkmxxk.

3、 13 )1(3 , 13 6 2 2 21221 k m xx k km xx 实用标准文案 精彩文档 2 12 22 )(1 (|xxkAB 13 ) 1(12 )13( 36 )1( 2 2 22 22 2 k m k mk k 22 22 22 222 )13( )19)(1(3 )13( )13)(1 (12 k kk k mkk )0( 6 1 9 12 3 169 12 3 2 2 22 2 k k k kk k .4 632 12 3 当且仅当 3 3 , 1 9 2 2 k k k即时等号成立，此时.2| AB 当.3| ,0ABk时 综上所述：2| max AB， 此时AO

4、B面积取最大值. 2 3 2 3 | 2 1 max ABS 85. 已知曲线C的方程为 2 2xy，F 为焦点。 （1）过曲线上C一点 00 (,)P xy（ 0 0x）的切线l与 y 轴交于 A，试探究 |AF| 与|PF| 之间 的关系； （2） 若在 （1） 的条件下 P点的横坐标 0 2x， 点 N在 y 轴上， 且|PN| 等于点 P到直线 210y 的距离，圆M能覆盖三角形APN ，当圆 M的面积最小时，求圆M的方程。 85. 实用标准文案 精彩文档 74. 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为4，离心率为 2 1 ， 21, F F分别为其 左右

5、焦点一动圆过点 2 F，且与直线1x相切 ( ) ( ) 求椭圆 1 C的方程； ( ) 求动圆圆心轨迹C的方程； ( ) 在曲线C上有四个不同的点QPNM,， 满足 2 MF与 2 NF共线， 2 PF与 2 QF共 线，且0 22 MFPF，求四边形PMQN面积的最小值 74. 解： ()( ) 由已知可得3 1 2 2 1 42 222 cab c a a c e a ， 则所求椭圆方程1 34 : 22 1 yx C. ( ) 由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为)0, 1(，准线方程 为1x，则动圆圆心轨迹方程为xyC4: 2 . ( ) 由题设知直线PQMN ,的斜率

6、均存在且不为零 设直线MN的斜率为)0(kk，),(),( 2211 yxNyxM，则直线MN的方程为： )1(xky 联立xyC4: 2 消去y可得0)42( 2222 kxkxk 实用标准文案 精彩文档 由抛物线定义可知: 22 2 2122 4 42 42 11| kk k xxNFMFMN 同理可得 2 44|kPQ 又32) 1 2(8)44)( 4 4( 2 1 | 2 1 2 22 2 k kk k PQMNSPMQN ( 当且仅当1k时取到等号 ) 所以四边形PMQN面积的最小值为32. 69. 如图，已知直线l：2ykx与抛物线C： 2 2(0)xpy p交于A，B两点，O为

7、坐 标原点，( 4, 12)OAOB。 （）求直线l和抛物线C的方程； （）抛物线上一动点P从A到B运动时，求ABP面积最大值 69. 解： （）由 2 2, 2 ykx xpy 得, 2 240,xpkxp 设 1,122 ,A x yB xy 则 2 121212 2,424,xxpk yyk xxpk 因为 2 1212 ,2, 24OAOBxxyypkpk=4, 12 , 所以 2 24, 2412. pk pk 解得 1, 2. p k 所以直线l的方程为22,yx抛物线C的方程为 2 2 .xy （）方法1：设 00 (,),P xy依题意，抛物线过P的切线与l平行时，APB面积最

8、大， yx，所以 00 22,xx 2 00 1 2, 2 yx所以( 2, 2).P 此时P到直线l的距离 22 2 ( 2)( 2)244 5 , 5 5 2( 1) d 由 2 22, 2 , yx xy 得， 2 440,xx 2222 1212 |1()412( 4)4( 4)4 10ABkxxxx ABP的面积最大值为 4 5 4 10 5 8 2 2 （）方法2：由 2 22, 2 , yx xy 得， 2 440,xx 2222 1212 |1()412( 4)4( 4)4 10ABkxxxx 9分 实用标准文案 精彩文档 设 2 1 ( ,) 2 P tt，( 22 222

9、2)t 因为AB为定值，当 P到直线l的距离d最大时， ABP的面积最大， 2 2 22 1 22 (2)4 2 , 5 2( 1) tt t d 因为22 222 2t，所以当2t时，dmax= 4 5 5 ，此时( 2,2).P ABP的面积最大值为 4 5 4 10 5 8 2 2 66. 椭圆xyba b y a x 直线倍的长轴为短轴的,3)0(1 2 2 2 2 与椭圆交于A、B两点， C为椭圆的右项点，. 2 3 OCOA （I ）求椭圆的方程； （II ）若椭圆上两点E、F 使OEFOAOFOE求),2,0(,面积的最大值 66. 解： （I ）根据题意，),0,(,3aCba

10、设 A.1,0),( 2 2 2 2 b t a t ttt则 解得, 2 3 , 4 3 2 22 22 2 btb ba ba t即 , 2 3 3 2 3 2 3 ),0,(), 2 3 , 2 3 ( 2 babOCOAaOCbOA ,3,1 ab .1 3 2 2 y x 椭圆方程为 （）设),(),(),( 002211 yxMEFyxFyxE中点为,OAOFOE , 2 3 2 , 2 3 2 210 210 yyy xxx , 1 3 , 1 3 , 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x FE则在椭圆上 由 -得,0 3 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx ,

11、 3 1 3 1 21 21 21 21 yy xx xx yy kEF 实用标准文案 精彩文档 直线 EF的方程为), 4 3 ( 3 1 4 3 xy即1 3 ,33 2 2 y x yx代入 并整理得，,01324 22 yy, 4 1 , 2 3 2 2121 yyyy |10)()(| 21 2 21 2 21yyyyxxEF , 2 4 10 2 )1(43 10 2 22 又 , 10 3 )0, 0(hEFO的距离为到直线原点 4 43 | 2 1 2 hEFS OEF , 2 3 2 4 4 3 )4( 4 3 22 22 当. 2 3 ,2面积的最大值为所以时等号成立OEF

12、 63. 已知椭圆C 2 2 :1 4 y x，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B. （）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程； （）设点 1 (0,) 2 N，求|NANB的最大值 . 63. （）解：设A(x1, y1) ， 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以 1 1 0 2 y ，解得 1 1y， 又因为点A(x1, y1) 在椭圆C上，所以 2 21 1 1 4 y x，即 2 1 1 1 4 x，解得 1 3 2 x， 则点 A的 坐 标 为 3 (, 1) 2 或 3 (, 1) 2 ， 所 以 直 线l的 方 程 为4 3

13、330xy， 或 43330xy. （）设A(x1, y1) ，B(x2, y2) ，则 1122 11 (,),(,), 22 NAx yNBxy 所以 1212 (,1)NANBxxyy，则 22 1212 |()(1)NANBxxyy 当直线AB的斜率不存在时，其方程为0x，(0,2),(0, 2)AB，此时| 1NANB； 实用标准文案 精彩文档 当直线AB的斜率存在时，设其方程为1ykx， 由题设可得A、B的坐标是方程组 2 2 1 1 4 ykx y x 的解，消去y得 22 (4)230kxkx 所以 22 12 2 2 (2 )12(4)0, 4 k kkxx k ， 则 12

14、122 8 (1)(1) 4 yykxkx k ， 所以 2 222 2222 2812 |()(1)11 44(4) kk NANB kkk ， 当0k时，等号成立 , 即此时|NANB取得最大值1. 综上，当直线AB的方程为0x或1y时，|NANB有最大值 1. 50. 已知点 A是抛物线y 2 2px（p0）上一点， F 为抛物线的焦点，准线 l与 x 轴交于点K， 已知 AK 2AF，三角形AFK的面积等于8 （1）求 p 的值； （2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦 的中点分别为G ，H.求 GH 的最小值 50. 解： （）设 00 ,

15、A xy， 因为抛物线的焦点,0 ,0 , 222 ppp FlxKAMlM 准线 的方程为：作于， 则 0 , 2 p AMxAF 22AKAFAKAMAKM又得，即为等腰直角三角形， 00000 , 222 ppp KMAMxyxA x x, 即，而点A在抛物线上， 2 000 2,. 222 ppp xpxxAp,于是. 又 2 0 11 8,4. 222 AFK p SKFyp pp故所求抛物线的方程为 2 8yx.6 分 （2）由xy8 2 ，得)0,2(F，显然直线 1 l ， 2 l 的斜率都存在且都不为0. 设 1 l的方程为)2(xky，则 2 l的方程为)2( 1 x k

16、y. 实用标准文案 精彩文档 48. 椭圆的中心为原点O， 焦点在 y轴上，离心率 6 3 e， 过(0,1)P的直线l与椭圆交于A、 B两点，且2APPB，求AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程 48. 解：设椭圆的方程为),0(1 2 2 2 2 ba b x a y 直线l的方程为1kxy， ),(),( 2211 yxByxA、 2222 3 1 , 3 2 3 6 abace， 则椭圆方程可化为1 3 2 2 2 2 b x b y 即 222 33byx， 联立 1 33 222 kxy byx 得0312)3( 222 bkxxk（* ） 有, 3 2 2 21 k k x

17、x而由已知PBAP2有 21 2xx，代入得 2 2 3 2 k k x 所以 2 3 |32 |3 3 |3 | 2 3 | 2 1 2 221 k k k k xxxOPS AOB ， 当且仅当3k时取等号 由 22 3 2 k k x得 3 3 2 x，将 3 3 3 , 3 3 3 x k x k 代入（ *）式得 3 52 b 所以AOB面积的最大值为 2 3 ，取得最大值时椭圆的方程为1 3 5 5 22 xy 46. 已知椭圆 22 1 22 :10) xy Cab ab （的右焦点为F，上顶点为A，P为 C1上任一点， MN 是圆 22 2: (3)1C xy的一条直径，若与A

18、F平行且在y 轴上的截距为32的直线l恰 好与圆 2 C相切。 （1）已知椭圆 1 C的离心率； （2）若PM PN的最大值为49，求椭圆C1的方程 . 46. 解： （1）由题意可知直线l的方程为0)23(ccybx，因为直线与圆 1)3(: 22 2 yxc相切，所以 22 233 cb ccc d=1，既,2 22 ca从而 ; 2 2 e 实用标准文案 精彩文档 （2）设),(yxp则)0(1 2 2 2 2 2 c c y c x 2 2 2 22222 )()(NCPCNCPCMCPCPNPM又 )(172)3(1)3( 222 cyccyyx 当,4,49217max)(3 2

19、ccPNPMc解得时， 此时椭圆方程为1 1632 22 yx 当,49217) 3(max)(30 22 CPNPMc时，解 得325c但 ,3325c故舍去。 综上所述，椭圆的方程为1 1632 22 yx 25. 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，直线l:2yx与以原点为圆 心、以椭圆 1 C的短半轴长为半径的圆相切. （I ）求椭圆 1 C的方程； （II ）设椭圆 1 C的左焦点为 1 F，右焦点 2 F，直线 1 l过点 1 F且垂直于椭圆的长轴，动直 线 2 l垂直 1 l于点P，线段 2 PF垂直平分线交 2 l于点M，求点M的轨迹

20、 2 C的方程； （III）设 2 C与x轴交于点Q，不同的两点SR,在 2 C上，且满足0,QR RS求QS的 取值范围 . 25.解： （） 222 222 22 31 ,23 33 cab eeab ac 直线 222 02:byxyxl与圆相切，2,2, 2 2 2 bbb3 2 a椭 圆 C1的方程是1 23 22 yx （） MP=MF 2，动点 M到定直线1: 1 xl的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， 动点 M的轨迹是 C为l1准线，F2为焦点的抛物线点 M的轨迹 C2的方程为xy4 2 （）Q （0， 0） ， 设), 4 (), 4 ( 2 2 2 1 2 1 y y

21、 Sy y R), 4 (), 4 ( 12 2 1 2 2 1 2 1 yy yy RSy y QR 0RSQR0)( 16 )( 121 2 1 2 2 2 1 yyy yyy 0, 121 yyy，化简得) 16 ( 1 12 y yy 实用标准文案 精彩文档 6432256232 256 2 1 2 1 2 2 y yy 当且仅当4,16, 256 1 2 12 1 2 1 yy y y时等号成立 6464)8( 4 1 ) 4 (| 2 2 22 2 2 2 2 2 2 yyy y QS，又 当|58|8,64 min2 2 2 QSQSyy，故时，的取值范围是 ),58 8. 8.

22、 已知点P（4，4） ，圆C： 22 ()5 (3)xmym与椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 有一 个公共点A（3，1） ，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切 （）求m的值与椭圆E的方程； （）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP AQ 的取值范围 【解】（）点A代入圆C方程， 得 2 (3)15mm3，m1 圆C： 22 (1)5xy设直线 PF1的斜率为k， 则PF1：(4)4yk x，即440kxyk 直线PF1与圆C相切， 2 |044| 5 1 kk k 解得 111 , 22 kk或 当k 11 2 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为 36 11

23、，不合题意，舍去 当k 1 2 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4F1（ 4，0） ，F2（4，0） 2aAF1AF2 5 226 2 ，3 2a，a 218， b 2 2椭圆 E的方程为： 22 1 182 xy （）(1,3)AP，设Q（x，y） ，(3 ,1 )A Qxy，(3)3(1)36AP AQxyxy 22 1 182 xy ，即 22 (3 )18xy，而 22 (3 )2| | 3 |xyxy， 186xy18 则 222 (3 )(3 )6186xyxyxyxy 的取值范围是0 ，36 3xy 的取值范围是 6，6 36AP AQxy的取值范围是 12，0 Q P

24、O y xF1 A C F2 实用标准文案 精彩文档 12. 12.已知直线1:xyl与曲线:C1 2 2 2 2 b y a x )0,0(ba交于不同的两点BA,， O为坐标原点 （）若|OBOA，求证：曲线C是一个圆； （） 若OBOA，当ba且 2 10 , 2 6 a时，求曲线C的离心率 e的取值范围 【解】 （）证明：设直线l与曲线C的交点为),(),( 2211 yxByxA |OBOA 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx即： 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 2 1 2 2 2 2 2 1yyxxBA,在C上 1 2 2 1 2 2 1 b y a x ，1 2

25、2 2 2 2 2 b y a x 两式相减得：)( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 yy b a xx1 2 2 b a 即： 22 ba 曲线C是一个圆 （）设直线l与曲线C的交点为),(),( 2211 yxByxA，0ba 曲线C是焦点在x轴上的椭圆OBOA 1 2 2 1 1 x y x y 即： 2121 xxyy 将1xy代入0 222222 bayaxb整理得： 02)( 2222222 baaxaxab 22 2 21 2 ba a xx， 22 22 21 )1 ( ba ba xx BA,在l上1) 1)(1( 21212121 xxxxxxyy 又 2121 x

26、xyy012 2121 xxxx 2 22 22 )1( ba ba 01) 2 ( 22 2 ba a 02 2222 baba 0)(2 222222 caacaa0222 22224 cacaa 实用标准文案 精彩文档 12 )1(2 2 22 2 a aa c 12 1 1 12 )1(2 22 2 2 2 2 aa a a c e 2 10 , 2 6 a4,212 2 a 4 3 , 2 1 12 1 1 2 a 2 3 , 2 2 e 15. 已知动点A、B分别在 x 轴、 y 轴上，且满足|AB|=2 ，点 P在线段 AB上，且 ).( 是不为零的常数tPBtAP设点 P的轨迹

27、方程为c。 （1）求点 P的轨迹方程C； （2）若 t=2 ，点 M 、N是 C上关于原点对称的两个动点（M 、N不在坐标轴上） ，点 Q 坐标为),3 , 2 3 (求 QMN 的面积 S的最大值。 15. 【解】（1）设),(),0(),0 ,(yxPbBaA 分为轨迹方程点 即 由题意知则 分即 41 )1( 4 )1( 4 : 4) 1 ()1(42| , 0, 1 )1( )( 2),(),(, 2 2 2 2 2 2 2 2222 t t y t x CP y t t xtbaAB t y t t b xta ybty txax ybxtyaxPBtAP （2）t=2 时，1 16

28、 9 4 9 2 2 y x C为 实用标准文案 精彩文档 11 2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1 1 1 2 1 2 11111 9 4 9 9 8|3 2 3 | |3 2 3 | 2 2 1 7 |3 2 3 | )0( , .2),(),( yxyxS xy yx xy yxS yx xy h MNQ xx x y yMN yxMNyxNyxM QMN QMN 分 分 距离为到点 的方程为设直线 则则设 分的最大值为 等号成立时即当且仅当 分 而 又 1222 , 2 1 , 4 3 2 3 1149 4 9 4 3 2 3 2

29、16 9 4 9 1 94 4 4 9 91 16 9 4 9 11 11 12 1111 2 1 2 1 11 2 2 1 2 1 2 1 2 1 QMN QMN S yx yx yx yxyxyx yxS yx yx 25. 已知椭圆 22 122 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，直线l:2yx与以原点为圆 心、以椭圆 1 C的短半轴长为半径的圆相切. （I ）求椭圆 1 C的方程； （II ）设椭圆 1 C的左焦点为 1 F，右焦点 2 F，直线 1 l过点 1 F且垂直于椭圆的长轴，动直 线 2 l垂直 1 l于点P，线段 2 PF垂直平分线交 2 l于点M，求点

30、M的轨迹 2 C的方程； （III）设 2 C与x轴交于点Q，不同的两点SR,在 2 C上，且满足0,QR RS求QS的 取值范围 . 25.解： （） 222 222 22 31 ,23 33 cab eeab ac 直线 222 02:byxyxl与圆相切，2,2, 2 22 bbb3 2 a椭 实用标准文案 精彩文档 圆 C1的方程是1 23 22 yx （） MP=MF2，动点 M到定直线1: 1 xl的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， 动点 M的轨迹是 C为l1准线，F2为焦点的抛物线点 M的轨迹 C2的方程为xy4 2 （）Q （0， 0） ， 设), 4 (), 4 ( 2

31、 2 2 1 2 1 y y Sy y R), 4 (), 4 ( 12 2 1 2 2 1 2 1 yy yy RSy y QR 0RSQR0)( 16 )( 121 2 1 2 2 2 1 yyy yyy 0, 121 yyy，化简得) 16 ( 1 12 y yy 6432256232 256 2 1 2 1 2 2 y yy 当且仅当4,16, 256 1 2 1 2 1 2 1 yy y y时等号成立 6464)8( 4 1 ) 4 (| 2 2 22 2 2 2 2 2 2 yyy y QS，又 当|58|8,64 min2 2 2QSQSyy，故时， 的取值范围是),58 37.

32、 已 知 点(0, )Bt, 点(0,4)Ct( 其 中04t) ， 直 线PB、PC都 是 圆 :M1)1( 22 yx的切线 （）若PBC面积等于6，求过点P的抛物线)0(2 2 ppxy的方程； （）若点P在y轴右边，求PBC面积的最小值 37.解：(1) 设),( pp yxP ，由已知 0 p x ， )6, 3(,3,64 2 1 pPxxS ppPBC ， 设直线 PB与圆 M切于点 A，)0, 1 (M 又5,2,61)244( 2 1 PMPAPAS PBC ， , 6 1 ,564ppPMx 3 1 y 2 (2) 点 B（0，t） ，点)4,0(tC， 进一步可得两条切线方程为：4 82 158 :, 2 1 : 22 tx t tt yPCtx t t yPB， 实用标准文案 精彩文档 4 82 158 2 1 22 tx t tt tx t t pp ， 14 82 2 2 tt tt xp ， 3 8 0,40 pp xxt或， 3 8 ,0 pp xx， 3 16 4 2 1 pPBC xS，又2t时， 3 16 PBC S， PBC面积的最小值为 3 16