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1、实用标准 文档大全 极坐标与参数方程题型及解题方法 复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点 P在直角坐标系下的坐标为（x，y） ，在极坐标系下的坐标为),(, 则有下列关系成立： y sin x cos 3、 参数方程 cos sin xr y r 表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在O
2、x 上规定单位长度，这样就组成了一个 极坐标系设OP=，又 xOP=. 和的值确定了，则P 点的位置就确定了。叫做 P点的极半径， 叫做 P 点的极角，),(叫做 P 点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数),( 决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？ 实用标准 文档大全 题型与方法归纳 1、 题型与考点 （1） 极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （ 2） 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) 利用参数方程求值域 参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1） 、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参
3、数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式 （三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定 一个关系xft（或( )yg t，再代入普通方程,0F x y，求得另一关系( )yg t（或xft）. 一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例 1、方程 22 22 tt tt x t y （ 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2 t 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项， 22 22 22224 t
4、ttt xy，即有 22 4yx，又注意到 20 222 2 222 ttttt y，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 22 42yxy（）. 显 然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B 练习 1、与普通方程 2 10xy等价的参数方程是（） （t为能数） 222 sincos 1 cos1sin xtxtgtxt xt ABCD ytytg tytyt 解析：所谓与方程 2 10xy等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且, x y的变 化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于 A化为普通方程为 2 101101xyxy，； 对于 B化为普通方
5、程为 2 10(1xyxRy，； 对于 C化为普通方程为 2 100)(1xyxy，; 对于 D化为普通方程为 2 101101xyxy，. 而已知方程为 2 10(1xyxRy，显然与之等价的为B. 练习 2、设 P是椭圆 22 2312xy上的一个动点，则2xy的最大值是，最小值为 . 分析：注意到变量, x y的几何意义，故研究二元函数2xy的最值时，可转化为几何问题. 若设 2xyt，则方程2xyt表示一组直线， （对于t取不同的值，方程表示不同的直线），显然, x y既 满足 22 2312xy，又满足2xyt，故点, x y是方程组 22 2312 2 xy xyt 的公共解，依题
6、意得直线 实用标准 文档大全 与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0问题 . 解析：令2xyt，对于 , x y 既满足 22 2312xy，又满足2xyt，故点, x y是方程组 22 2312 2 xy xyt 的公共解，依题意得 22 1182120yt yt，由 22 644 112120tt， 解得：2222t，所以2xy的最大值为22，最小值为22. （2） 、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与 原点重合；（ 2）极轴与x轴正方向重合； （ 3）取相同的单位长度. 设点 P的直角
7、坐标为, x y，它的极坐标 为 , ，则 222 cos sin xy x y y tg x 或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点 P所在的象限（即角的终边的位置） ，以便正确地求出角. 例 2、极坐标方程 2 4sin5 2 表示的曲线是（） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解 析 ： 由 21c o s 4s i n422c o s5 22 ， 化为 直角 坐标 系方 程为 22 225xyx，化简得 2 25 5 4 yx. 显然该方程表示抛物线，故选D. 练习 1、已知直线的极坐标方程为 2 si
8、n 42 ，则极点到该直线的距离是 解 析 ： 极 点 的 直 角 坐 标 为0,0o， 对 于 方 程 222 sinsincos 4222 ， 可 得 si nc os1，化为直角坐标方程为10xy，因此点到直线的距离为 2 2 练习 2、极坐标方程 2 cos0转化成直角坐标方程为（） A 2 01yy 2 x或 B 1x C 2 01y 2 x或x D 1y 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析： 22 (cos1)0,0,cos1xyx或，因此选 C. 练习 3、点M的直角坐标是( 1, 3)，则点 M的极坐标为（） A(2,) 3 B (2,) 3 C 2 (2
9、,) 3 D (2,2),() 3 kkZ 解析： 2 (2, 2),() 3 kkZ都是极坐标，因此选C. （3） 、参数方程与直角坐标方程互化 例 题3： 已 知 曲 线 1 C的 参 数 方 程 为 sin10 cos102 y x （为 参 数 ） ， 曲 线 2 C的 极 坐 标 方 程 为 实用标准 文档大全 sin6cos2 （1）将曲线 1C 的参数方程化为普通方程，将曲线 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线 1 C， 2 C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由 解： （1）由 sin10 cos102 y x 得 10)2( 22 yx 曲线
10、1 C的普通方程为10)2( 22 yx sin6cos2 sin6cos2 2 sin,cos, 222 yxyx yxyx62 22 ，即10)3()1( 22 yx 曲线 2 C的直角坐标方程为 10)3()1( 22 yx （2）圆 1 C的圆心为)0,2(，圆 2 C的圆心为)3 , 1( 10223)30()12(C 22 21C 两圆相交 设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 21 C C 222 )10() 2 23 () 2 ( d 22d 公共弦长为22 练习 1、坐标系与参数方程. 已知曲线C： ( sin21 cos23 y x 为参数， 0代入 ，得点
11、P的轨迹的极 坐标方程为：3 cos305. 1把方程1xy化为以t参数的参数方程是（） A 1 2 1 2 xt yt B sin 1 sin xt y t C cos 1 cos xt y t D tan 1 tan xt y t 解析： D 1xy，x取非零实数，而A，B，C 中的x的范围有各自的限制 B A O x C y P A O x 实用标准 文档大全 2曲线 25 () 12 xt t yt 为参数与坐标轴的交点是（） A 21 (0, ) (,0) 52 、B 11 (0,) (,0) 52 、C(0,4) (8,0)、D 5 (0, ) (8,0) 9 、 解析： B 当0
12、x时， 2 5 t，而12yt，即 1 5 y，得与y轴的交点为 1 (0,) 5 ； 当0y时， 1 2 t，而25xt，即 1 2 x，得与x轴的交点为 1 (,0) 2 3直线 12 () 2 xt t yt 为参数被圆 22 9xy截得的弦长为（） A 12 5 B 12 5 5 C 9 5 5 D 9 10 5 解析： B 2 15 12 5 21 15 5 xt xt yt yt ，把直线 12 2 xt yt 代入 22 9xy得 222 (12 )(2)9,5840tttt 22 12121 2 81612 ()4() 555 ttttt t，弦长为 12 12 55 5 tt
13、 4若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线 2 4 () 4 xt t yt 为参数上， 则PF等于（） A2B3C4D5 解析： C 抛物线为 2 4yx，准线为1x，PF为(3,)Pm到准线1x的距离，即为4 5已知曲线 2 2 () 2 xpt tp ypt 为参数 , 为正常数上的两点,MN对应的参数分别为 12, tt和， 12 0tt且， 那么MN=_ 。 解析： 1 4p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴， 121 222MNp ttpt 6圆的参数方程为 3sin4cos () 4sin3cos x y 为参数，则此圆的半径为_。 实用标准 文档大全 解析：由 3si
14、n4cos 4sin3cos x y 得 22 25xy故半径为5 7分别在下列两种情况下，把参数方程 1 ()cos 2 1 ()sin 2 tt tt xee yee 化为普通方程： （1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数； 解： （1）当 0t 时，0,cosyx，即 1,0xy且 ； 当0t时，cos,sin 11 ()() 22 tttt xy eeee 而 22 sincos1，即 22 22 1 11 ()() 44 tttt xy eeee （2）当,kkZ时，0y， 1 () 2 tt xee，即1,0xy且； 当, 2 kkZ时，0x， 1 () 2 tt yee，
15、即0x； 当, 2 k kZ时，得 2 cos 2 sin tt tt x ee y ee ，即 22 2 cossin 22 2 cossin t t xy e xy e 得 2222 22()() cossincossin tt xyxy ee 即 22 22 1 cossin xy 。 8过点 10 (,0) 2 P作倾斜角为的直线与曲线 22 121xy交于点,M N， 求PMPN的值及相应的的值 解：设直线为 10 cos () 2 sin xt t yt 为参数，代入曲线并整理得 22 3 (1 sin)( 10cos )0 2 tt 实用标准 文档大全 则 1 2 2 3 2 1
16、 sin PMPNt t 所以当 2 sin1时，即 2 ，PMPN的最小值为 3 4 ，此时 2 9参数方程 cos (sincos ) () sin (sincos ) x y 为参数表示什么曲线？ 解：显然tan y x ，则 2 2 222 2 11 1,cos cos 1 y yx x 222 2 112tan cossincossin2coscos 221tan x 即 2 2222 222 21 11 , (1)1 2 111 yy yy xx xx yyyxx xxx 得 2 1 yy x xx ，即 22 0xyxy 温故强化 1下列在曲线 sin2 () cossin x
17、y 为参数上的点是（） A 1 (,2) 2 B 3 1 (, ) 4 2 C(2,3)D(1, 3) 解析： B 转化为普通方程： 2 1yx，当 3 4 x时， 1 2 y 2将参数方程 2 2 2sin () sin x y 为参数化为普通方程为（） A2yxB2yxC2(23)yxxD2(01)yxy 解析： C 转化为普通方程：2yx，但是2,3,0,1xy 3. 若 A， B，则 |AB|=_ ，_。 （其中 O 是极点） 解析：在极坐标系中画出点A、B，易得 实用标准 文档大全 4直线 1 2 2 () 1 1 2 xt t yt 为参数被圆 22 4xy截得的弦长为 _ 解 析
18、 ：14直 线 为10xy， 圆 心 到 直 线 的 距 离 12 2 2 d， 弦 长 的 一 半 为 22 214 2() 22 ，得弦长为14 5. 直线（t 为参数）上任一点P 到的距离为 _ 解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式） 6. 的轨迹方程为 _。 解析：设 由重心坐标公式，得： 消参，得点G 的轨迹方程为 7. 若方程 解析：将方程两边同乘以，化为： 实用标准 文档大全 8. 求椭圆 解析： （先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系） 9在椭圆 22 1 1612 xy 上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值。 解析：设椭圆的参数方程为 4cos 2 3sin x y ， 4cos4 3 sin12 5 d 4 54 5 cos3sin32cos()3 553 当cos()1 3 时， min 4 5 5 d，此时所求点为(2,3)。 10求直线 1 1 :() 53 xt lt yt 为参数和直线 2 :2 30lxy的交点P的坐标，及点P 与(1, 5)Q的距离。 解析：将 1 53 xt yt 代入2 30xy得2 3t， 得(12 3,1)P，而(1, 5)Q，得 22 (23)64 3PQ