外接球问题典型例题.pdf

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1、标准实用 文案大全 在三棱柱 111 ABCA BC中，已知 1 AAABC平面, 1 2,2 3, 2 AABCBAC，此 三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（） A 32 3 B16 C 25 3 D 31 2 【知识点】线面 垂 直 的 性 质 ;球 内 接 多 面 体 ;球 体 积 的 公 式 . 【答案解析】 A解析：解：直 三 棱 111 ABCA B C的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， （ 如 图 ）， ABC中 ， 2 BAC p ?， 下 底 面ABC的 外 心P为BC的 中 点 ， 同 理 ， 可 得 上 底 面 111 A B C的 外 心Q为 11

2、 B C的 中 点 ， 连 接PQ， 则PQ与 侧 棱 平 行 ， 所 以PQ 平 面ABC 再 取PQ中 点O， 可 得 ： 点O到 111 ,A B C A B C的 距 离 相 等 ， O点 是 三 棱 柱 111 ABCA B C外 接 球 的 球 心 RT POB中 ， 1 3 2 BPBC=， 1 1 1 2 PQAA=， 22 2OBBPPO=+=， 即 外 接 球 半 径2R =， 因 此 ， 三 棱 柱 111 ABCA B C外 接 球 的 球 的 体 积 为 ： 334432 2 333 VR p pp= 故 选 ： A 【思路点拨】 根 据 题 意 并 结 合 空 间

3、线 面 垂 直 的 性 质 ，可 得 三 棱 柱 111 ABCABC外 接 球 的 球 心 是 上 下 底 面 斜 边 中 点 的 连 线 段PQ的 中 点 在 直 角RTPOB中 ，利 用 勾 股 定 理 算 出OB的 长 ，即 得 外 接 球 半 径R的 大 小 ，再 用 球 的 体 积 公 式 即 可 算 出 所 求 外 接 球 的 体 积 四面体 ABCD 中，已知 AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外 接球的表面积（） A25B45C50D 100 【知识点】几何 体 的 外 接 球 的 表 面 积 的 求 法 ;割 补 法 的 应 用 .

4、标准实用 文案大全 【答案解析】 C 解析：解：由题 意 可 采 用 割 补 法 ， 考 虑 到 四 面 体 ABCD的 四 个 面 为 全 等 的 三 角 形 ，所 以 可 在 其 每 个 面 补 上 一 个 以29,34,37为 三 边 的 三 角 形 作 为 底 面 ， 且 以 分 别 x， y， z 长 、 两 两 垂 直 的 侧 棱 的 三 棱 锥 ， 从 而 可 得 到 一 个 长 、 宽 、 高 分 别 为 x， y， z 的 长 方 体 ， 并 且 x 2 +y 2=29 ， x2 +z 2 =34 ， y 2+z2 =37 ， 则 有 （ 2R） 2=x2 +y 2+z2=5

5、0（ R 为 球 的 半 径 ），得 R2=25 2 ，所 以 球 的 表 面 积 为 S=4 R2=50 故 选 ： C 【思路点拨】将四 面 体 补 成 长 方 体 ， 通 过 求 解 长 方 体 的 对 角 线 就 是 球 的 直 径 ， 然 后 求 解 外 接 球 的 表 面 积 已知正四面体的棱长为 2 ，则它的外接球的表面积的值为 【知识点】球内 接 多 面 体 【答案解析】 3p解析 ：解：正四 面 体 扩 展 为 正 方 体 ， 它 们 的 外 接 球 是 同 一 个 球 ， 正 方 体 的 对 角 线 长 就 是 球 的 直 径 ， 正 方 体 的 棱 长 为 ： 1； 对

6、角 线 长 为 ：3， 棱 长 为2的 正 四 面 体 的 外 接 球 半 径 为 3 2 所 以 外 接 球 的 表 面 积 为 2 3 43 2 pp 骣 琪 = 琪 桫 ，故答案为3p. 【思路点拨】正四 面 体 扩 展 为 正 方 体 ， 它 们 的 外 接 球 是 同 一 个 球 ， 正 方 体 的 对 角 线 长 就 是 球 的 直 径 ， 求 出 直 径 即 可 求 出 外 接 球 半 径 ,可 求 外 接 球 的 表 面 积 已知正三棱锥PABC，点 P，A，B，C 都在半径为3的求面上，若P A，PB， PC 两两互 相垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _。 【答案】 3

7、3 【点评】 本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以 标准实用 文案大全 及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到 条件中的垂直关系，把三棱 平面四边形中，, 将其沿对角线折成 四面体, 使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面 上，则该球的体积为（） （A）（B）（C）（D） 1.A 根据题意，如图，可知中，在中， ,又因为平面平面，所以球心就是的中点， 半径为，所以球的体积为： 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 标准实用 文案大全 （） A 81 4 B16 C 9 D 2

8、7 4 【答案】 A 【解析】设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2， R 2=（4R）2+（ ） 2， R= ，球的表面积为 4? （） 2= 故选： A 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 则该几何体的外接球的表面积为 俯视图 侧视图 正视图 3 1 1 【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积 【答案解析】 16 3 解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC 与底面垂直，高 SO 为3，如图： 标准实用 文案大全 其中 OA=OB=OC=1 ，SO平面 ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M，OM=x ，则

9、 2 13xx，得 x= 3 3 ， 外接球的半径R= 2 3 3 ， 几何体的外接球的表面积 S=44 3 = 16 3 . 【思路点拨】 由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求 几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若 圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题. 18 如图，三棱锥ABCP中， 90ABC，它的三视图如下，求该棱锥的 （）全面积； （）内切球体积； （）外接球表面积 【知识点】 根据三视图的定义正确读取三棱锥ABCP中的位置关系和数量关系，几何体 内切球半径、外切球半径的求法. 【答案

10、解析】 (1)21248；(2) 343 )24(36 3 ；(3) 4 289 解析：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC， 6 4 3 正视图 6 6 3 俯视图 6 4 3 侧视图 P A C B 标准实用 文案大全 顶点 P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E，且高为 4 的三棱锥。 侧面 PAB、PAC 的高都是5，底面斜边长6 2，所以全面积为： 111 662656 2448122 222 ： （2）设内切球球心O,半径 r，则由 PABCOABCOPABOPACOPBC VVVVV得 1111 6644812 2 3232 r，解得 r= 6

11、 42 7 , 所以内切球体积为 3 288 42 343 （3）设外接球球心M，半径 R,M在高 PE所在直线上，因为43 2, 所以 2 2 2 43 2RR,解得 R= 17 4 ，所以外接球表面积为 4 289 。 【思路点拨】 （1）三视图的定义正确读取三棱锥ABCP中的位置关系和数量关系，从而 求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱 锥，利用等体积法求内切球半径。（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半 径。 三棱锥BCDA的外接球为球， 球O的直径是AD，且BCDABC,都是边长为1的等边 三角形，则三棱锥BCDA的体积是（

12、） A 12 2 B 8 1 C 6 1 D 8 2 【知识点】棱锥的体积 【答案解析】 A 解析：因为截面BOC 与直径 AD 垂直，而 BO=CO= 2 2 ，所以三角形BOC 为等腰直角三角形，其面积为 1221 2224 ，而 AD=2，所以三棱锥BCDA 的体积为 112 2 3412 ，选 A 【思路点拨】 求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形 法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 则该几何体的外接球的表面积为 标准实用 文案大

13、全 俯视图 侧视图 正视图 3 1 1 【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积 【答案解析】 16 3 解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC 与底面垂直，高 SO 为3，如图： 其中 OA=OB=OC=1 ，SO平面 ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M，OM=x ，则 2 13xx，得 x= 3 3 ， 外接球的半径R= 2 3 3 ， 几何体的外接球的表面积 S=44 3 = 16 3 . 【思路点拨】 由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求 几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若

14、圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题. 已知 A,B 是球 O 的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的 最大值为36，则球 O 的表面积为 A36 B.64 C.144 D.256 【答案】 C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最 大，设球O的半径为R，此时 23 111 36 326 OABCCAOB VVRRR，故6R，则 球O的表面积为 2 4144SR，故选 C 标准实用 文案大全 B O A C 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为 球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（） ( )A 2 6 ()B 3 6 ()C 2 3 ()D 2 2 【答案】 A 标准实用 文案大全 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 ,，则此球的表面积等于。 解 :在中,可得,由正弦定理 ,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径， 故此球的表面积为. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（） A.B.C.D. 标准实用 文案大全