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1、实用标准 文档 崇明区 2016-2017 学年第二次高考模拟考试试卷 数学 一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，其中16 题每题 4 分， 712 题每题 5 分） 1函数 2 12sin (2 )yx的最小正周期是 2若全集 UR ，集合 10Ax xx x，则 UC A 3若复数z满足 2i zi i （i为虚数单位），则z 4设m为常数，若点(0, 5)F是双曲线 22 1 9 yx m 的一个焦点，则m 5已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3 ，则该正四棱锥的体积为 6若实数, x y满足 10 30 4 xy xy y ，则目标函数2zxy 的最大值为 7若 1 n x
2、 x 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为 8数列 n a是等比数列， 前n项和为 n S ，若 12 2aa， 23 1aa，则l im n n S 9若函数 1 ( )42 xx f x的图像与函数( )yg x 的图像关于直线yx对称，则 (3)g 10甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0, 2, 1, 5 ，为遵守当地4 月 1 日至 5 日 5 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行， 偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车， 但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为
3、11已知函数 2 2 sin(),0 ( ),0, 23 cos(),0 xxx f x xxx 是奇函数，则 12 已知ABC 是边长为 2 3 的正三角形，PQ为ABC 外接圆O的一条直径，M为ABC边 上的动点，则PMMQ的最大值是 实用标准 文档 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分 】 13一组统计数据 12345 ,xxxxx 与另一组统计数据 12345 23, 23, 23, 23, 23xxxxx 相比较 (A) 标准差相同(B) 中位数相同(C) 平均数相同
4、(D) 以上都不相同 142b是直线3yxb与圆 22 40xyy相交的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件 15若等比数列 na的公比为 q，则关于 , x y的二元一次方程组 13 24 2 1 a xa y a xa y 的解的情况下 列说法正确的是 (A) 对任意(0)qRq， 方程组都有唯一解(B) 对任意(0)qRq， 方程组都无解 (C) 当且仅当 1 2 q时，方程组有无穷多解(D) 当且仅当 1 2 q时，方程组无解 16设函数( ) xxx f xabc，其中0,0cacb若a、b、c是ABC 的三条边长， 则下列结论
5、中正确的个数是 对于一切(, 1)x都有( )0f x； 存在0x使, xxx xabc不能构成一个三角形的 三边长；若ABC 为钝角三角形，则存在(1, 2)x，使( )0f x (A)3 个(B)2 个(C)1 个(D)0 个 三、解答题 （本大题共有5 题，满分76 分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】 17 （本题满分14 分，本题共有2 个小题，第 (1) 小题满分7 分，第 (2) 小题满分7 分） 在三棱锥 CABO 中，OA 、OB、OC所在直线两两垂直， 且 OAOB ，CA与平面AOB所成角为 60 ，D是AB中点， 三棱锥 CABO 的体积
6、是 3 6 （1）求三棱锥 CABO的高； （2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线 BE与OD所成的角为 1 arccos4 ？ A B C O D （17 题图） 实用标准 文档 18. （本题满分14 分，本题共有2 个小题，第 (1) 小题满分6 分，第 (2) 小题满分8 分） 设 12FF、分别为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab C: 的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点， 点B为椭圆C的上顶点，且3AB， 12 BF F 为直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线2ykx与椭圆交于P、Q两点，且 OPOQ ，求实数k的值 19. （本题满分14 分
7、，本题共有2 个小题，第 (1) 小题满分6 分，第 (2) 小题满分8 分） 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 EP 方 向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人 甲若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界） ，则挑战成功，否则挑战失败 已知18AB米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2 倍，比赛中两机 器人均按匀速直线运动方式行进，记EP与 EB 的夹角为 （1）若60 ，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确 到 0.1 ） （2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能
8、确保无论的值为多少，总可以通过设 置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ D A E B C P 实用标准 文档 20.（本题满分16 分，本题共有3 个小题， 第 (1) 小题满分4 分，第(2) 小题满分5 分，第(3) 小题满分7 分） 对于函数( )f x ，若在定义域内存在实数 0 x ，满足 00 ()()fxf x，则称( )fx 为“M类函 数” （1）已知函数( )sin 3 f xx，试判断 ( )f x 是否为“M类函数”？并说明理由； （2）设( )2 x f xm是定义在1, 1上的“M类函数”，求实数m的最小值； （3）若 2 2 ,2
9、log (2) ( ) ,23 xxmx f x x 为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围 21.（本题满分18 分，本题共有3 个小题， 第 (1) 小题满分4 分，第(2) 小题满分6 分，第(3) 小题满分8 分） 已知数列 n a 满足 11 1,* n nn aaapnN （1）若1p，写出 4 a 所有可能的值； （2）若数列 n a是递增数列，且 123, 2, 3aaa 成等差数列，求p的值； （3）若 1 2 p，且 21n a是递增数列， 2n a是递减数列，求数列 n a的通项公式 实用标准 文档 崇明区 2016-2017 学年第二次高考模拟高三数学 参考答案
10、及评分标准 一、填空题 1. 2 ; 2.0,1); 3.10; 4.16; 5. 4 3 ； 6.2； 7.15 ； 8. 8 3 ； 9.0； 10.64； 11. 7 6 ； 12.3 二、选择题 13.D； 14.A； 15.C； 16.A 三、解答题 17. 解：（1）因为,OCOA OCOB，所以 OCAOB平面.2分 所以CA就是CA与平面AOB所成角，所以 60CAO3分 设OAOBa，则3OCa 所以 31 3 CA VS 6分 所以1a，所以三棱锥CABO的高 3OC7分 （2）建立如图所示空间直角坐标系，则 1 1 (0,0,3),(,0) 2 2 CD， 设(1,0 3
11、 )(0,1)E， 则 1 1 (1,1, 3 ),(,0) 2 2 BEOD. 10分 设BE与OD所成的角为，则 |1 cos 4 | BEOD BEOD .12分 所以 1 2 或1（舍 实用标准 文档 去） . 13分 所以当E是线段CA中点时，异面直线BE与OD所成的角为 1 arccos4.14 分 18. 解： （1） 22 |3ABab，所以 22 3ab 因为 12BF F为直角三角形，所以 bc. .3 分 又 222 bca， .4分 所以2,1ab，所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y6分 （2）由 2 2 1 2 2 x y ykx ，得： 22 (12)860kx
12、kx.8分 由 22 (8 )4(1 2) 60kk，得： 23 2 k9分 设 1122 (,),(,)P x yQ xy，则有 121222 86 , 1212 k xxxx kk .10分 因为 OPOQ 所 以 1212 O P O Qxxyy 2 2 12122 61 0 ( 1)2()440 12 k kxxk xx k .12 分 实用标准 文档 所以 2 5k，满足 2 3 2 k 13分 所以 5k .14分 19. 解：（1）AEQ中， 2,AQEQAEQ2分 由正弦定理，得： sinsin EQAQ QAEAEQ 所以 3 si 4 QA. .4分 所以 3 arcsin
13、25.7 4 QAE 所以应在矩形区域ABCD内，按照与AB夹角为25.7的向量AQ方向释放机器人乙，才 能挑战成 功. 6分 （2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系， 设 ( , )(0)Q x yy. 8分 由题意，知2AQEQ ， 所以 2222 (9)2xyxy 所以 22 (3)36(0)xyy 实用标准 文档 11分 即点Q的轨迹是以(3,0)为圆心， 6 为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分 所以当6AD米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机 器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人 甲.14分 20. 解（ 1）由()( )
14、fxf x ，得： sinsin 33 xx.1分 所以 3cx. 3分 所以存在 0 2 xR满足 00 ()()fxf x 所以函数()sin 3 fxx是 “M类函 数” .4分 (2) 因为( )2 x f xm是定义在1, 1上的“M类函数”， 所以存在实数 0 1,1x满足00()()fxf x， 即方程22 xx m在1,1上有 解,.5分 令 1 2,2 2 x t . 6分 则 11 () 2 mt t 因为 11 ( )() 2 g tt t 在 1 ,1 2 上递增 , 在1,2上递减 8 分 所以当 1 2 t或2t时，m取最小值 5 4 9分 （3）由 2 20xmx
15、 对 2x 恒成立，得 1m.10分 因为若 2 2 ,2log (2) ( ) ,23 xxmx f x x 为其定义域上的“M类函数” 实用标准 文档 所以存在实数 0x ，满足00()()fxf x 当 0 2x时， 0 2x，所以 2 200 3log (2)xmx，所以 0 0 14 2 mx x 因为函数 14 (2) 2 yxx x 是增函数，所以1m12 分 当 022x时，022x，所以 -3=3，矛盾 .13分 当 02x时，02x，所以 2 200 log (2)3xmx，所以 0 0 14 2 mx x 因为函数 14 (2) 2 yxx x 是减函数，所以1m.15
16、分 综上所述，实数m的取值范围是 1,1).16分 21.（1） 4 a有可能的值为 -2 0 2 4，.4分 （ 2）因为数列 n a 是递增数列，所以11 . n nnnn aaaap 而 1 1a，所以 2 23 1,1apapp.6分 又 123 ,2,3aaa 成等差数列，所以 213 43aaa .8分 所以 2 30pp. 解得 1 3 p或 0p 当0p时， 1nn aa ，这与 n a 是递增数列矛盾，所以 1 3 p.10分 （ 3）因为 21n a是递增数列，所以 2 +121 0 nn aa ， 所以 2 +12221 0 nnnn aaaa 实用标准 文档 但 221 11 22 nn ，所以 2 +12221nnnn aaaa 由，知， 221 0 nn aa ，所以 2 21 221 21 1 1 22 n n nn n aa 13分 因为 2n a 是递减数列，同理可得 212 0 nn aa 所以 21 2 212 2 1 1 22 n n nn n aa 由，知， 1 1 1 2 n nn n aa . 16分 所以 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 1 1 21 1 1 1111141 2 11 1 2222332 1 2 n nn n nn 所以数列 n a 的通项公式为 1 141 332 n n n a .18分