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1、实用文档 文案大全 第二章平面向量 1. 向量 ：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 数量 ：我们把只有大小没有方向的量称为数量。 2. 有向线段 ：带有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素：起点、方向、长度。 3. 向量的长度 （模）：向量AB的大小， 也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB |。 4.零向量 ：长度为0 的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。 单位向量 ：长度等于1 个单位的向量，叫做单位向量。 5.平行向量 ： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量， 那么通常记作ab。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任
2、一向量平行， 即对于任一向量a，都有0a。 6. 相等向量 ： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量， 那么通常记作a=b。 7.如图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC 叫做a与b的和，记作ab，即ABBCACab。 向量的加法 ：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的 三角形法则。 8.对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a 9.公式及运算定律： 1223n1 A A+ AA +.+ A A = 0| a+b | a |+| b| a+bba a+bcab c（）+（ + ） 10.相
3、反向量 ：我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记 作 -a。a和-a互为相反向量。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+-a =- a +a = 0（）（）。 如果a、b是互为相反的向量，那么a= -b，b= -a，ba= 0。 我们定义a -b = a+- b（），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 11.向量的数乘：一般地，我们规定实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向 实用文档 文案大全 量的数乘。 记作a，它的长度与方向规定如下：| |aa当 0 时，a 的方向与a的方向相同；当0 时，的方向与a的方向相反
4、；=0 时，a=0 12. 运算定律：aa（）（）aaa（）abab（）= aaa（）（） （）abab（）= 13.定理 ：对于向量a（a0） 、b，如果有一个实数，使b=a，那么a与b共线。 相反，已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的 倍，即 |b|= |a| ，那么当a与b同方向时，有b=a；当a与b反方向时，有b= a。则得 如下定理：向量向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a。 14.平面向量基本定理：如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使 1 122 aee。我们把不共线
5、的 向量 1e 、 2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 15.向量a与b的夹角 ： 已知两个非零向量a和b。 作OAa，O Bb， 则 A O B （ 0 180）叫做向量a与b的夹角。 当=0时，a与b同向；当=180时， a与b反向。如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab。 16.补充结论 ： 已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且 m、 nR， 若0m a n b， 则 m=n=0。 17.正交分解 ：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 18.两个向量和 （差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 。 即若 11 (,)axy， 22
6、(,)bxy，则 1212 (,)abxxyy， 1212 (,)abxxyy 19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若 11(,)ax y ， 则11(,)axy 20.当且仅当x1y2-x2y1=0 时，向量a、b（b0）共线 21.定比分点坐标公式：当 12 P PPP时， P点坐标为 1212 (,) 11 xxyy 当点 P在线段 P1P2上时，点P叫线段 P1P2的内分点， 0 当点 P在线段 P1P2的延长线上时，P叫线段 P1P2的外分点， -1； 当点 P在线段 P1P2的反向延长线上时，P叫线段 P1P2的外分点， -1 0. _ y _P2 _
7、P _P1 实用文档 文案大全 O A C B 22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线， 则OCOAOB，其中 +=1 23.数量积（内积） ：已知两个非零向量a与b，我们把数量|cosab叫做a与b 的数量积（或内积） ，记作ab即ab=|cosab。其中 是a与b的夹角， |cosa（|cosb）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定， 零向量与任一向量的数量积为0。 24. ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a与b在a的方向上的投影 |cosb的乘积。 25.数量积的运算定律：ab=ba（a） b=（ab）=a （b） （a+b） c=ac+bc 22 2
8、()2abaa bb 22 2 ()2abaa bb 22 () ()ababab 26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 1212 a bx xy y。则： 若( , )ax y，则 222 |axy ，或 22 |axy。如果表示向量a的有向线段的 起 点 和 中 点 的 坐 标 分 别 为 11 xy（ ， ）、 22 xy（， ）， 那 么 2121axxyy（，）， 2121 22 |axxyy ） （） 设 11axy（ ， ），22bxy（， ），则121200abx xy ya b 27.设a、b都是非零向量， 11 axy（ ， ）， 22 bxy（，），是a与
9、b的夹角，根据向量 数量积的定义及坐标表示可得： 1212 2222 1122 cos | a bx xy y abxyxy 2013-2014 学年度 XX学校 XX月考卷 试卷副标题 1、在平面直角坐标系中，角与角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终 边关于轴对称，已知，则（） 实用文档 文案大全 A. B. C. D. 2、下列命题正确的是（） A. 单位向量都相等 B. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量 C. ，则 D. 若与是单位向量，则 3、设是的相反向量 , 则下列说法一定错误的是( ) A. 与的长度相等 B. / C. 与一定不相等 D. 是的相反向量 4、设都是
10、非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是（） A. B. C. 且 D. 且方向相同 5、下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一 个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线. 其中不正确 命题的序号是 （） A. B. C. D. 6、下列命题正确的是（） A. 单位向量都相等 B. 模为 0的向量与任意向量共线 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 任一向量与它的相反向量不相等 7、下列说法不正确的是（） A. ，为不共线向量，若，则 B. 若，为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为 C. 若，则与不一定共线 D. 8、 在平行四边形ABCD 中，
11、点 E为 CD中点， 点 F 满足 , 则 A. B. C. D. abcbac |abab0a b 0a0b001ab ba abab abab ,a b ab a b ab2ab/ /abab/ /ab abababab abc cab a bb cac abab 2,AFFD EFxACyAB xy 1 3 1 2 1 4 2 5 实用文档 文案大全 9、如图，在中，若，则的 值为（） A. B. C. D. 10、如图，已知，则（） A. B. C. D. 11、点为的重心（三边中线的交点） 设，则等于 （） A. B. C. D. 12、在中，若，则（） A. B. C. D. 13
12、、如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至 下的 3 个四等分点，若，则（） A. 点与图中的点重合 B. 点与图中的点重合 ABC 21 , 33 ADAC BPBDAPABAC 3 22 3 ABaACb4BCBD3CACEDE 31 43 ba 53 124 ab 31 43 ab 53 124 ba GABC,GBa GCb 1 2 AB 31 22 ab 1 2 ab2ab2ab ABC4ABACAP PB 31 44 ABAC 31 44 ABAC 13 44 ABAC 13 44 ABAC ABCDBC,E F GAD 4ABACAP PDPE 实用文档 文案大全 C. 点与图
13、中的点重合 D. 点与图中的点重合 14、在三棱柱中，若，则等于 ( ) A. B. C. D. 15、如图，正六边形中，（） A. B. C. D. 16、已知，且，则等于 （） A. B. C. D. 17、在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不 同两点，若，为正数，则的最小值 为 A. 2 B. C. D. 18、设两个非零向量与不共线，如果和共线那么的值是（） A. 1 B. -1 C. 3 D. 19、点在直线上运动，则的最小值是（） A. B. C. 3 D. 4 20、已知向量，则向量与的夹角为 ( ) A. 135 B. 60 C. 45 D. 30 21、如图，在半径为
14、的圆中，已知弦的长为，则（） PFP G 111 ABCA B C 1 ,CAa CBb CCc 1 AB abcabcabcabc ABCDEFABCDFE 0ADBECF 3,4a2, 1baxbabx 23 23 2 23 3 23 4 ABCOBCOABAC MN，ABmAMACnAN,m n 11 mn 2 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2,1a1,3b2aba 实用文档 文案大全 A. B. C. D. 22、 若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且， 则等于( ) A. ba B. ba C. ab D. ab 23、如图，在正方形ABCD 中， M 、N分别是
15、 BC 、CD的中点，若=+， 则 +=（） A2 B C D 24、已知O，N，P 在所在平面内，且， ，则点 O ，N，P依次是的 （ ） A. 重心 外心垂心 B. 重心外心 内心 C. 外心 重心垂心 D. 外心重心 内心 25、已知平面向量在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a 的分解 有如下四个命题： 给定向量，总存在向量，使； 给定向量和，总存在实数，使； 给定单位向量和正数，总存在单位向量C和实数 ，使； 给定正数 和 ，总存在单位向量和单位向量，使 . 则所有正确的命题序号是_. 26、已知，则与方向相同的单位向量 27、已知向量，且，则_ 28、如图，在正方形中，已知，为
16、的中点，若为正方形内 （含边界）任意一点，则的取值范围是 29、 abc， 和 bcabc bc和abc babc bcabc 12a，11b，2abe 6, 2 ,3,abm/ /abab ABCD2ABMBCN AMAN 实用文档 文案大全 设， 且， 则在 上的投影的取值范围是 . 30、把边长为 1 的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑 动则的最大值是 31、如图， ABC的外接圆的圆心为O ，AB 2，AC 3，则 _ 32、 在边长为 1 的正三角形中， 设，点满足. （1）试用表示； （2）若（，且） ，求的最大值 . 33、 在边长为 1 的正三角形中， 设， 点满足
17、（1）试用，表示； （2）若（，且） ，求的最大值 34、已知：、同一平面内的三个向量，其中 （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角 1,2OAOB0OA OBOPOAOB1OAOP 7BCAO BC ABC 1 eAB 2 eACD 1 2 BDDC 12,e eAD 12 axeye,x yR0x x a ABC 1 eAB 2 eACD 1 2 BDDC 1 e 2 eAD 12 axeyexyR0x x a abc(1,2)a | 2 5c/ /cac 5 | 2 b2ab2abab 实用文档 文案大全 参考答案 1、【答案】 D2 、 【答案】 C3、 【答案】 C
18、4 、 【答案】 D5 、 【答案】 A6、 【答案】 B 7、 【答案】 B8、 【答案】 B9、 【答案】 D10 、 【答案】 D11、 【答案】 B 12、 【答案】 A13、 【答案】 C14、 【答案】 D15 、 【答案】 B16 、 【答案】 C 17、 【答案】 A18、 【答案】 D19、 【答案】 C20 、 【答案】 C 21、 【答案】 B22、 【答案】 B23、 【答案】 D24 、 【答案】 C 25、 【答案】 26、 【答案】27、 【答案】 28、 【答案】29、 【答案】30、 【答案】 2 31 、 【答案】 32、 【答案】 (1);(2). 试题分
19、析： (1) 由向量加法的运算法则可得 即可得结果；（2） ，换元后，利用基本不等式即可得结果. 试题解析：（1）. （2） . 33、 【答案】（1）； （2） 试题分析：（1）借助图形，结合向量的线性运算将分解即可；（2）先求，将 化为二次函数的形式，通过求二次函数的最值可得结果。 试题解析： 34 55 ，10 6 ,0 5 ,1 5 5 2 12 21 33 ADee 2 3 3 AD 11 33 ABBDABBDABACAB 222 12 xxx a xyxy xeye AD 11 33 ABBDABBDABACAB 12 21 33 ee 222 12 xxx a xyxy xey
20、e 22 11 13 1 24 yyy xxx 12 3 23 x y xa 故当时， 的最大值为 12 21 33 ADee 2 3 3 ADa x a 实用文档 文案大全 （1）如图，结合图形可得 。 （2）， ， ， ， 又， 当时，取得最大值，且最大值为。 34、 【答案】（1）或； （2） 试题分析：（1）求的坐标，若设出，则需建立关于的两个方程，而条件 和恰好提供了建立方程的两个初始条件，只需将它们转化到用表示 即可， （2）根据，还需求出的值，由条件与垂直， 易得的值，从而得出夹角，从规范严谨的角度来讲，在此之前，一定要交待 试题解析：（1）设 1121 3333 ADABBDA
21、BBCABACABABAC 12 21 33 ee 12 axeye 2 22222 1212 2axeyexyxyeexyxy 22 axyxy 2222 11 13 1 24 xx a xyxy yyy xxx , x yR 1 2 y x x a 22 3 33 (2, 4)c( 2,4)c c( , )cx y r , x y |2 5c/ /ca , x y cos | | a b ab r r rr a b2ab2ab a b 0, 2222 ( , ),| 2 5,2 5,20cx ycxyxy rr Q / / ,(1,2),20,2ca axyyx rr r Q 实用文档 文案大全 由或或 （2）， 即（） ，代入（）中， ， ， 考点：平面向量的计算及向量数量积的应用 22 2 20 yx xy 2 4 x y4 2 y x (2,4)c( 2, 4)c (2 )(2 )abab rr rr Q(2 ) (2 )0abab rr rr 22 22 2320,2|32|0aa bbaa bb 5 |5,| 2 ab rr Q 5 25320 4 a b r r 5 2 a b r r 5 2 cos1 5| | 5 2 a b ab r r rr 0,Q