数列,通项公式方法,求前n项和例的题目讲解和方法地总结.pdf

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1、实用标准文案 精彩文档 数列的通项公式 1. 通项公式 如果数列 an 的第 n 项 n a与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。 2. 数列的递推公式 （ 1）如果已知数列an的第一项，且任一项 n a与它的前一项 -1n a之间的关系可以用一个公式来表示。 （ 2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可 3. 数列的前n 项和与数列通项公式的关系 数列 an 的前 n 项之和，叫做数列的前n 项和，用 n S表示，即 123 = nn Saaaa n S与通项n a 的关系是 1 1 (1) (2) = nn S

2、n n SSn a 4. 求数列通项公式的常用方法有：( 前 6种常用，特别是2,5,6) 1） 、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项 2）前n项和 n S与 n a的关系法， 2 1 1 1 nSS nS a nn n 求解 . ( 注意：求完后一定要考虑合并通项) 3） 、累（叠）加法：形如)( 1 nfaa nn 112211 =()()() nnnnn aaaaaaaa 4）. 累（叠）乘法：形如nnanfa)( 1 132 1 1221 = nn n nn aaaa aa aaaa 5）. 待定系数法：形如a 1n =p a n +q（p1，pq0） ， （设 a 1n +k=

3、p（a n +k）构造新的等比数列） 6) 倒数法 ：形如 1 1 n n n a a kab （两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列） 7). 对数变换法： 形如， 11 ()lglglg p nnnn acaapac（然后用待定系数法或是等差数列） 8). 除幂构造法 :形如 11 1 1 1 n nn nn nn aq a aqad dd dd ( 然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳猜想证明”法 直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法 就是“归纳猜想证明”法 递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的

4、数列通项公式问题，通常可对递推式 的变形转化为等差数列或等比数列. 下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法. 实用标准文案 精彩文档 通项公式方法及典型例题 1. 前 n 项和 n S 与 n a 的关系法 例 1、已知下列两数列 n a的前 n 项和 sn的公式，求 n a的通项公式。 （1）(1)Sn 2n 23n； （ 2）1 2 nsn 解： (1)a1S123 1， 当n2 时，anSnSn 1(2n 23n) 2( n1) 23( n1) 4n5， 由于a1也适合此等式，an4n5. （1）111 11 Sa， 当2n时 n a= 1nn SS=1)1() 1

5、()1( 33 nnnn=323 2 nn 经验证 1 2a也满足上式 n a=323 2 nn （ 2）0 11 sa，当2n时，121)1()1( 22 1 nnnssa nnn 由于 1 a不适合于此等式。 )2(12 ) 1(0 nn n an ( 点评：要先分n=1 和 2n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。) 2. 累加法 : )( 1 nfaa nn 型 112211 =()()() nnnnn aaaaaaaa 2. 在数列 an中，a11，an1an2 n； 解 : 由an1an 2 n，把 n1,2,3 ，n1(n2)代入，得 (n1) 个式子， 累加即可得 (a2

6、a1) (a3a2) (anan1) 2 2 223 2n1，所以 ana1 212 n1 12 ， 即ana12 n2，所以 an2 n 2a 12 n1. 当 n 1 时，a11 也符合，所以an2 n1( nN * ) 3. 累乘法 1 ( ) nn aaf n 型， 132 1 1221 = nn n nn aaaa aa aaaa 3. 已知数列an中满足 a1=1， n n naa21 ，求 n a的通项公式 . 解： n n naa21 n n n a a 2 1 . n a 1 2 2 3 2 3 3 2 2 1 1 a a a a a a a a a a a a n n n

7、n n n n n a1= 22222 2321nnn *1= 2 )1( 2 nn n a 2 )1( 2 nn 4. 待定系数法 : a 1n =p a n +q（p1， pq0）型， 通过分解常数，可转化为特殊数列a n +k 的形式求解。解法：设a 1n +k=p（an+k）与原式比较系数可得 实用标准文案 精彩文档 pk k=q，即 k= 1p q ，从而得等比数列a n +k 。 4. 在数列 an中，a13，an12an 1. 由an12an 1得an11 2(an1) ， 令bnan1，所以 bn是以 2 为公比的等比数列 所以bnb12 n1( a11) 2 n 12n1，

8、所以 anbn12 n1 1(nN * ) 5. 倒数变换法 、形如 1 1 n n n a a kab 的分式关系的递推公式，分子只有一项 （两边取倒，再分离常数化成qpaa nn 1 求解） 然后用待定系数法或是等差数列 例 5. 已知数列 n a满足 11 2 ,1 2 n n n a aa a ，求数列 n a的通项公式。 解：由 11 2 ,1 2 n n n a aa a 得 11 111111 , 22 nnnn aaaa 1 11 nn aa 是以首项为 1 1 1 a ，公差为 1 2 的等差数列 112 (1), 21 n n na an 考点六、构造法 .形如 1 11

9、1 nnn nnnn aq a aqad dd dd 然后用待定系数法或是等差数列 6、已知数列 n a 满足 11 1,32(2). n nn aaan 求 an 解： 将 1 32 n nn aa 两边同除3 n ，得 1 2 1 33 nn nn aa ，变形为 1 1 2 1 33 3 nn nn aa 设3 n nn a b ，则 1 2 1 3 nn bb 所以 1 2 3(3) 3 nn bb ， 数列 1 8 333 33 n a b 1 是以b 为首项， 2 3为公差的等比数列 182 3() 33 n n b 因 3 n nn a b ，所以 3 n nn ab = 182

10、 3 ( )3) 33 nn 得 n a = 12 32 nn 实用标准文案 精彩文档 求数列的通项公式 一、数列通项公式的求法 1、观察法 观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间 的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 例、由数列的前几项写通项公式 （1） 1，3，5，7，9（2）9，99，999，9999，（3）, 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 2、定义法： 当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。 这种方法适应于已知数列类型的题目 例（ 1）已知 n a是一个等差数列，

11、且5, 1 52 aa。求 n a的通项 n a. ； （2）已知数列 n a 为等比数列，.162,6 52 aa求数列 n a的通项公式； （3）已知等比数列 n a，若27,13 321321 aaaaaa，求数列 n a的通项公式。 （4）数列 n a中， 11 1,2 nn aaa，求 n a的通项公式 （5）已知数列 n a满足1 1 a，1 11 1nn aa ，求 n a的通项公式 （6）已知数列 n a中 , 1 1a, 且当2n时 11 2 nnnn SSSS, 则 n S ; n a . 实用标准文案 精彩文档 3、公式法： 已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是

12、： 注意：要先分n=1 和 n2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例（ 1）已知数列 n a的前 n 项和1 3 nnSn ，求 n a的通项公式。 （2）已知数列 n a中 , 2 32 n Snn , 则 n a . （3）已知数列 n a前 n 项和 2 3 n snn，求 n a的通项公式 4 累加法： 利用 1211 ()() nnn aaaaaa求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 1 ( ) nn aaf n的 递推数列通项公式的基本方法（( )f n可求前n项和） . 反思 : 用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 1 ( ) nn aaf n. 例. （

13、1）数列 n a中， 1 11 1,3 n nn aaa，求 n a的通项公式 （2）在数列 n a中， 1 1 2 a， 1 2 1 41 nn aa n 求数列 n a的通项公式？ )2( ) 1( 1 1 nss ns a nn n 实用标准文案 精彩文档 5、累乘法 : 利 用 恒 等 式 32 1 121 (0,2 ) n nn n aaa aaan a aa 求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 乘 法 , 累 乘 法 是 求 型 如 : 1 ( ) nn ag n a的递推数列通项公式的基本方法( 数列( )g n可求前n项积 ). 例（ 1）已知数列 n a的首项 1 1

14、a，且 1 1 (2) nn n aan n ，求数列 n a的通项公式 （2）已知数列 n a的首项 22 11 1,21 nn ann anna，求数列 n a的通项 6、凑配法（也叫构造新数列）:将递推公式 n+1n aqad（,q d为常数，0q，0d）通过 1 ()() nn axq ax与原递推公式恒等变成 1 () 11 nn dd aq a qq 的方法叫 凑配法（ 构造新数列 . ） 例（ 1）数列 n a中， 11 2,32 nn aaa，求 n a的通项公式 （2）已知数列 n a中 , 1 1a, 1 21(2) nn aan, 求 n a的通项公式 7、 倒数变换：

15、将递推数列 1 n n n ca a ad (0,0)cd, 取倒数变成 1 111 nn d ac ac 的形式的方法叫倒 数变换 . 例（ 1）在数列 n a中 , 1 1 2 a , 1 3 21 n n n a a a , 求数列 n a的通项公式？ 实用标准文案 精彩文档 求前 n 项和的方法 (1) 公式法 等差数列前n项和Sn_，推导方法：_； 等比数列前n项和Sn ，q1， ，q1. 推导方法：乘公比，错位相减法 常见数列的前n项和： a12 3n_； b246 2n_； c13 5 (2n1) _；d 222 1 12(1)(21) 6 nn nn e 33332(1) 12

16、3 2 n n n (2) 分组求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数 列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并； (3) 裂项( 相消) 法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再 求和 常见的裂项公式有： _x0001_ 1 n n1 1 n 1 n1； 1 2n1 2n1 1 2 1 2n1 1 2n1 ； 1 nn1 n1n. 1 1 11 () nn nn aa daa (4) 错位相减： 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和这种方法主要用于求数列 nn ab的前n

17、 项和，其中 n a和 n b分别是和； (5) 倒序相加： 例如，等差数列前n项和公式的推导 考点二、分组求和法 ： 2. 求数列 ), 2 1 ( , 8 1 3, 4 1 2, 2 1 1 n n 的前 n 项和。 n n n n nn n nS 2 1 1)1( 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 ()321( ) 2 1 ( 8 1 3 4 1 2 2 1 1 32 实用标准文案 精彩文档 考点三、 .裂项相消法： 3.求数列 , 1 1 , 32 1 , 21 1 nn 的前 n 项和 . 解：设nn nn an1 1 1 （裂项） 则 1 1 32 1 21 1 nn S

18、n （裂项求和） )1()23()12(nn11n 考点四、错位相减法： 4. 求数列, 2 2 , 2 6 , 2 4 , 2 2 32n n 前 n 项的和 . 解：由题可知， n n 2 2 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列 n 2 1 的通项之积 设 23 2462 2222 nn n S 2341 12462-12 + 222222 n nn nn S （） （设制错位 , 乘以公比） _x0001_-得 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 ( nn n n S（错位相减） 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S

19、 考点五、倒序相加法 ： 5. 求 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 的值 解：设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S . 将式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S （反序） 又因为1cossin),90cos(sin 22 xxxx +得（反序相加） )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 S 89 S 44.5 实用标准文案 精彩文档 数列求和练习 1、已知 an是首项为 19，公差为 2 的等差数列，Sn为an的前n项和 (1) 求通项an及Sn； (2) 设b

20、nan是首项为1，公差为3 的等差数列，求bn的通项公式及前n项和Tn. 3、已知等差数列an 中，a5a9a710，记Sna1a2an，则S13的值为 ( ) A. 130 B. 260 C. 156 D. 168 4. 在数列 an 中，an4n 5 2， a1a2anan 2 bn，nN+，其中a，b为常数，则ab _. 二、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 2设数列 n a的前 n 项和为 2 2nSn， n b为等比数列，且.)(, 112211 baabb

21、a （）求数列 n a和 n b的通项公式；（）设 n n n b a c，求数列 n c的前n项和 n T. 例 2已知数列 n a的首项 1 2 3 a， 1 2 1 n n n a a a ，1,2,3,n （）证明：数列 1 1 n a 是等比数列；（）数列 n n a 的前n项和 n S 2设数列 n a的前 n 项和为 2 2nSn， n b为等比数列，且.)(, 112211 baabba （）求数列 n a和 n b的通项公式；（）设 n n n b a c，求数列 n c的前n项和 n T. 实用标准文案 精彩文档 三、分组法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将

22、这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 2、已知数列 n a的通项公式为 n n na3，则它的前n 项的和 n S 3：求数列 ), 2 1 ( , 8 1 3, 4 1 2, 2 1 1 n n 的前 n 项和。 四、裂项相消法求和 例 1在数列 an中， 11 2 1 1 n n nn an ，又 1 2 nn n aa b，求数列 b n 的前 n 项的和 . 练习 1、设数列 n a的前 n 项的和为 n S，点*)(,(Nn n S n n 均在函数23xy的图像上 （1）求数列 n a的通项公式；（2）设 n nn n T aa b,

23、 3 1 是数列 n b的前 n 项的和，求 T n 3、数列 n a的通项公式为*)( 1 1 Nn nn an，则它的前10 项的和 10 S= 4、 )12)(12( 1 53 1 31 1 nn 5已知数列 n a是等差数列，其前n项和为.6 2 1 , 33 SaSn （I ）求数列 n a的通项公式；（II ）求和： n SSS 111 21 . 实用标准文案 精彩文档 等差 等比 应用 例 1. 在等差数列 n a中， 37 37aa，则 2468 aaaa . 练习 1. 设 n a 为等差数列，公差d = -2， n S为其前 n 项和 . 若 1011 SS，则1a=（）

24、A.18 B.20 C.22 D.24 2. 已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 a a a=5， 789 a a a=10，则 456 a a a=（） (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 42 3. 等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 S =6 ， 1 a=4， 则公差 d_ 4.等差数列 an 的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6_ 5. 数列 an是等差数列，若a11，a33，a55 构成公比为q的等比数列，则q_. 6. 正项等比数列 2 2446354 12111 ,81, n a a aa aaaa 中则= 。 7. 等比数列 n a的

25、前n项和为 n S, 已知 123 10aaS,9 5 a, 则 1 a (A) 3 1 (B) 3 1 (C) 9 1 (D) 9 1 8. 已知等差数列 n a的公差为3，若 431 ,aaa成等比数列，则 2 a等于（） A9 B3 C -3 D-9 9. 设等差数列 n a的前n项和为 11 ,2,0,3 nmmm S SSS,则m ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10. 已知数列 n a为等差数列，且 1 2a，2313aa，那么则 456 aaa等于（） （A）40（B）42（C）43（D）45 11. 知数列 n a为等差数列， n S是它的前n项和 . 若2 1 a，1

26、2 3 S，则 4 S( ) A 10 B16 C20 D24 12. 在等比数列 n a中，首项 1 a 3 2 ， 4 4 1 12ax dx，则公比q为 . 13. 若等差数列的前6 项和为 23, 前 9 项和为 57, 则数列的前n项和 n= S_. 14 等比数列 n a中512 1 a, 公比 2 1 q, 记 12nn aaa ( 即 n表示数列na 的前n项之积 ), n取最大值时 n 的值为（） 实用标准文案 精彩文档 A8 B9 C9 或 10 D11 数列大题训练 1、已知等差数列 n a满足： 3 7a， 57 26aa， n a的前n项和为 n S （）求 n a及

27、 n S； （）令bn= 2 1 1 n a (nN *) ，求数列 n b的前n项和 n T 2函数)(xf对任意Rx都有 2 1 )1()(xfxf (1) 求 ) 2 1 (f和) 1 () 1 ( n n f n f的值*);(Nn (2) 数列 n a满足：),1 () 1 () 2 () 1 ()0(f n n f n f n ffan数列 n a是等差数列吗？请给予证明 3已知数列 n a满足, 123121nn aaaaaaa是首项为1、公比为 3 1 的等比数列 (1) 求 n a的表达式； (2)如果,)12( nn anb求数列 n b的前n项和 4、数列 n a 的前

28、n项和记为 11 ,1,21(1) nnn S aaSn （）求 n a 的通项公式； （）等差数列 n b 各项为正，前 n项和为 n T ， 3 15T ，又 112233 ,ab ab a b 成等比数列，求 n T . 实用标准文案 精彩文档 5、已知数列 n a是等差数列，且 35 5,9aa， n S是数列 n a的前n项和 () 求数列 n a的通项公式 n a及前n项和 n S； ( ) 若数列 n b满足 1 1 n nn b SS ，且 n T是数列 n b的前n项和，求 n b与 n T 6设 n a是正数组成的数列，其前n项和为, n S并且对于所有的自然数 n an,

29、与 2 的等差中项等于 n S与 2 的等比中项 (1)求数列 n a的通项公式； (2) 令*),)( 2 1 1 1 Nn a a a a b n n n n n 求证：.1 321 nbbbb n 7、已知数列 n a是等差数列， 25 6,18aa；数列 n b的前n项和是 n T，且 1 1 2 nn Tb ( ) 求数列 n a的通项公式； ( ) 求证：数列 n b是等比数列； ( ) 记 nnn cab，求 n c的前n项和 n S 实用标准文案 精彩文档 8. 已知数列 n a的前n项和 n S满足231 nn Sa，其中 * nN （I ）求数列 n a的通项公式；（II

30、）设 2 3 n nna b nn ，求数列 n b的前n项和为 n T 9. 已知数列 n a的首项为 1 1a，前 n项和 n S ，且数列 n S n 是公差为2的等差数列 （1）求数列 n a的通项公式；（2）若( 1) n nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n T 10、已知数列 n a满足 11 1 ,21. 2 nn aaa （1）求 n a的通项公式； （2）证明： 12 . 1 n aaa n . 11. 已知数列 n a的前n项和是 n S，且 *1 1() 2 nn SanN （1）求数列 n a的通项公式； （ 2）设 * 31 log (1)() nn bSn

31、N，求适合方程 12231 11125 51 nn bbb bb b 的正整数n的值 实用标准文案 精彩文档 数列大题训练 ( 答案 ) 1、 【解析】（）设等差数列 n a的公差为d，因为 3 7a， 57 26aa，所以有 1 1 27 21026 ad ad ，解得 1 3,2ad，所以321)=2n+1 n an（； n S= n(n-1) 3n+2 2 = 2 n +2n。 （）由（）知2n+1 n a，所以bn= 2 1 1 n a = 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) = 111 (-) 4nn+1 ， 所以 n T= 111111 (1-+-) 4223nn+

32、1 = 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) ，即数列 n b的前n项和 n T= n 4(n+1) 2(1) 因为) 2 1 () 2 1 () 2 1 1() 2 1 (ffff, 2 1 故 4 1 ) 2 1 (f 令, 1 n x得) 1 ( n f, 2 1 ) 1 1 ( n f即 2 1 ) 1 () 1 ( n n f n f (2)：) 2 () 1 ()0( n f n ffan),1() 1 (f n n f 而),0() 1 () 1 ()1(f n f n n ffan 两式相加得)1 ()0(2ffan)0() 1() 1 () 1 (ff n n f n

33、 f, 2 1n 所以 *),( 4 1 Nn n an又, 4 1 1nn aa故数列 n a是等差数列 3(1), 1 1 a当2n时，,) 3 1 ( 1 1 n nn aa故 nn aaaaaaa()()( 23121 12 1 ) 3 1 () 3 1 ( 3 1 1) n n a) 3 1 1 ( 2 3 n 即*).)( 3 1 1 ( 2 3 Nna n n (2) 因), 3 1 1( 2 )12(3 )12( n nn n anb 故 nn bbbS 21 )12(531( 2 3 n ) 3 12 3 5 3 3 3 1 ( 32n n n n n T 3 12 3 5

34、3 3 3 1 32 1432 3 12 3 5 3 3 3 1 3 1 n n n T 一得 1432 3 12 ) 3 1 3 1 3 1 3 1 (2 3 1 3 2 nnn n T, 3 12 ) 3 1 1 ( 3 1 3 1 11nn n 故 n n n T 3 1 1又,)12(531 2 nn故) 3 1 1( 2 32 n n n nS 实用标准文案 精彩文档 4、解：（）由 1 21 nn aS 可得 121(2)nnaSn ， 两式相减得： 112,3(2)nnnnnaaa aan ， 又 21 213aS 21 3aa 故 n a 是首项为1，公比为3 的等比数列 1

35、3 n n a （）设 n b 的公比为 d ，由 3 15T 得，可得 123 15bbb ，可得 2 5b 故可设 13 5,5bd bd ，又 123 1,3,9aaa ， 由题意可得 2 (51)(59)(53)dd ，解得 12 2,10dd 等差数列 n b 的各项为正， 0d 2d 2(1) 322 2 n n n Tnnn 5、( ) 设数列 n a的公差为d，由题意可知： 31 51 25 49 aad aad ,解得 : 1 1,2ad3 分 1 (1)12(1)21 n aandnn5 分 2 1 ()(121) . 22 n n aannn Sn 1 1111 (1)1

36、 n nn b n nnn SS 123 111111111 ()()()()1. 122334111 nn Tbbbb n nnnn 6(1) 由题意可知：*),(2 2 2 NnS a n n 整理得,)2( 8 1 2 nn aS 所以 11 ( 8 1 nn aS.)2 2 故 nnnnn aaSSa()2( 8 1 2 111 ).22( 8 1 )2 2 1 2 1 2 nnnn aaaa 整理得：,0)4)( 11nnnn aaaa由题意知,0 1nn aa而.2 1 a故,4 1nn aa 即数列 n a为等差数列，其中.4,2 1 da故.24)1( 1 ndnaan (2)

37、 令,1 nn bc则)2( 2 1 1 1 n n n n n a a a a c)1 12 12 () 1 12 12 ( 2 1 n n n n 12 1 12 1 nn 故 nn cccnbbb 2121 ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1 ( nn .1 12 1 1 n 故.1 321 nbbbb n 7、解： ( ) 设 n a的公差为d，则： 21 aad， 51 4aad， 2 6a， 5 18a， 1 1 6 418 ad ad ， 1 2,4ad2 分 实用标准文案 精彩文档 24(1)42 n ann4 分 （）当1n时， 11 bT，由 1

38、1 1 1 2 Tb，得 1 2 3 b5 分 当2n时， 1 1 2 nn Tb， 11 1 1 2 nn Tb， 11 1 =() 2 nnnn TTbb，即 1 1 () 2 nnn bbb7 分 1 1 = 3 nn bb nb 是以 2 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列9 分 （）由（2）可知： 1 211 ( )2 ( ) 333 nn n b 11 (42) 2 ( )(84) ( ) 33 nn nnn cabnn 21 121 1111 4( )12( )(812)( )(84)( ) 3333 nn nnn Sccccnn 231 11111 4( )12( )(81

39、2)( )(84)( ) 33333 nn n Snn 231 1211111 48 ( )8( )8( )(84)( ) 3333333 nn nnn SSSn 21 1 11 ( )1( ) 41 33 8(84)( ) 1 33 1 3 n n n 11 811 4( )(84)( ) 333 nn n 13 分 1 44(1) ( ) 3 n n Sn8. 解 : （I ） *31 () 22 nn SanN， 当 11 31 1, 22 nSa， 1 1a，当2n， 11 31 22 nn Sa， - ： 1 33 22 nnn aaa，即： 1 3(2) nn aan4 分 又 1

40、 1a， 2 3a， 1 3 n n a a 对 * nN都成立，所以 n a是等比数列， 1* 3() n n anN （II ） 2 3 n nn a b nn ， 2 3 n b nn ， 11111 3(1) 2231 n T nn ， 13 3(1)3 11 n T nn ，即 3 1 n n T n . 12 分 9. （ 1）由已知得1(1) 221 n S nn n ， 2 2 n Snn 当2n时， 22 1 22(1)(1)43 nnn aSSnnnnn 11 4 13aS，43 n an， * nN （2）由可得( 1)( 1) (43) nn nn ban 实用标准文案

41、 精彩文档 当n为偶数时，( 15)( 913) (45)(43)42 2 n n Tnnn， 当n为奇数时，1n为偶数 11 2(1)(41)21 nnn TTbnnn，综上， 2 ,2 , 21,21,. n nnk k T nnkk N N 10.（1 ）解 1111 1 ,2121 , 221 , 211 , 2 nnnnnn aaaaaaa 1 11 12 n n a a 1 11 11 22 a数列1 n a是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列， 1 11 1 22 n n a ， 1 1 2 n n a 。 （2）证明： 2 12 111 222 n n aaan 1

42、11 222 1 1 2 n n 1 1 2 n n 12 1 1 . 2 1 n n aaa nn ，n 是正整数， 1 01 2 n ， 1 1 1 2 011,0 2 n n n ， 12 . 1 n aaa n 。 11. 解： （1） 当1n时， 11 as，由 11 1 1 2 sa，得 1 2 3 a 当2n时， 1 1 2 nn sa， 11 1 1 2 nn sa， 11 1 2 nnnn ssaa，即 1 1 2 nnn aaa)2( 3 1 1 naa nn 5 分 n a是以 2 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列故 1 211 ( )2 ( ) 333 nn n a)(Nn （2） 11 1( ) 23 n nn sa， 1 313 1 log (1)log ( )1 3 n nn bsn （3） 1 1111 (1)(2)12 nn b bnnnn 1 22 31 11111111111 ()()() 23341222 nn bbb bb bnnn 解 1125 2251n ，得100n