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1、实用文案 标准文档 精锐教育学科教师辅导教案 学员编号：年级：高三课 时 数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘欢 授课类型 C-极坐标与参数方程C极坐标与参数方程C-极坐标与参数方程 授课日期及时段 教学内容 知识点概括 一、坐标系1平面直角坐标系的建立：在平面上 ，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和 这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2空间直角坐标系的建立：在空间中 ，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并 确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点 O引一条射线
2、OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通 常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中 O称为极点，射线OX称为极轴。） 设 M是平面上的任一点，表示 OM 的长度，表示以射线OX为始边，射 线 OM 为终边所成的角。那么有序数对(, )称为点 M的极坐标。其中称为极径， 称为极角。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。 4直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O为极点， x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平 面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则 x 2 y tan 二、曲线的极坐标方程 1 直 线 的 极 坐 标 方 程
3、 ： 若 直 线 过 点 00 (,)M， 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为， 则 它 的 方 程 为 ： 00 sin()sin() 实用文案 标准文档 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点（ 2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过( ,) 2 M b且平行于极轴 2圆的极坐标方程：若圆心为 00 (,)M，半径为r 的圆方程为： 222 000 2cos()0r 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点（2）当圆心位于( ,0)M r（ 3）当圆心位于( ,) 2 M r 3直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用：x 2 y tan 三、参数方
4、程 1参数方程的意义 在平面直角坐标系中，若曲线C上的点( , )P x y满足 ( ) ( ) xf t yf t ，该方程叫曲线C的参数方程，变量t 是 参变数 ，简称 参 数 2参数方程与普通方程的互化 参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： cos sin xa yb （为参数）； 0 0 ( xxat t yybt 为参数） （3） 2 sin cos x y 0,2)（4） 1 () 2 1 () 2 a xt t b yt t （t 为参数） （5） cos sin xar ybr （为参数） 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
5、，不要忘了参数的范围！ 二、考点阐述 考点 1、极坐标与直角坐标互化 例题 1、在极坐标中，求两点) 4 ,2(), 4 ,2(QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 实用文案 标准文档 练习 1.1 、已知曲线 12 CC，的极坐标方程分别为cos3， 4cos0 0 2 ，则曲线 1 C与 2 C交 点的极坐标为 【解析】我们通过联立解方程组 cos3( 0,0) 4cos2 解得 2 3 6 , 即两曲线的交点为(23,) 6 。 12. （宁夏 09）已知圆 C： 22 (1)(3)1xy，则圆心C的极坐标为 _(0, 02 ) 答案： （ 2 (2,) 3 ） 考点 2、极坐标
6、与直角坐标方程互化 例题 2、已知曲线C的极坐标方程是4sin以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面 直角坐标系，直线l的参数方程是 2 2 ( 2 4 2 xt t yt 为参数），点P是曲线 C上的动点，点Q是直线l上的动点，求 |PQ| 的最小值 解：曲线C的极坐标方程4sin可化为 2 4sin, 其直角坐标方程为 22 40xyy，即 22 (2)4xy. （3分） 直线l的方程为40xy. 所以，圆心到直线l的距离 24 3 2 2 d（6分） 所以，PQ的最小值为3 22. （10分） 练习 2.1 、 （沈阳二中2009）设过原点O的直线与圆C： 22 (
7、1)1xy的一个交点为P，点M为线段OP的中点。 (1) 求圆 C的极坐标方程； (2) 求点 M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线 解：圆 22 (1)1xy的极坐标方程为2cos 4 分 设点P的极坐标为 11 (,)，点M的极坐标为( , )， 点M为线段OP的中点， 1 2， 1 7分 将 1 2， 1 代入圆的极坐标方程，得cos 实用文案 标准文档 点M轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点 1 (,0) 2 ，半径为 1 2 的圆 10 分 考点 3、参数方程与直角坐标方程互化 例题 3：已知曲线 1 C的参数方程为 sin10 cos102 y x （为参数），曲线 2 C
8、的极坐标方程为sin6cos2 （1）将曲线 1 C的参数方程化为普通方程，将曲线 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线 1 C， 2 C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由 解： （1）由 sin10 cos102 y x 得 10)2( 22 yx 曲线 1 C的普通方程为10)2( 22 yx sin6cos2 sin6cos2 2 sin,cos, 222 yxyx yxyx62 22 ，即10) 3()1( 22 yx 曲线 2 C的直角坐标方程为 10)3() 1( 22 yx（分） （2）圆 1 C的圆心为)0 ,2(，圆 2 C的圆心为)3 , 1
9、( 10223)30()12(C 22 21C 两圆相交 设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 21 C C 222 )10() 2 23 () 2 ( d 22d 公共弦长为22（10 分） 练习 3.1 （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程. 实用文案 标准文档 已知曲线 C： ( sin21 cos23 y x 为参数， 02) ， （）将曲线化为普通方程； （）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程 （） 0232 22 yxyx 5分 （）sincos32 10 分 练习 3.2 （08 海南）已知曲线C1： cos
10、 () sin x y 为参数 ，曲线 C2： 2 2 2 () 2 2 xt t yt 为参数 。 （1）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明C1与 C2公共点的个数； （2）若把 C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 1 C， 2 C。写出 1 C， 2 C的参数方程。 1 C 与 2 C公共点的个数和C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。 考点 4：利用参数方程求值域 例题 4、 （2008 年宁夏） 在曲线 1 C：） y x 为参数( sin cos1 上求一点，使它到直线 2 C： 1 22 2 ( 1 1 2 xt t yt 为参数）的距离最小，并
11、求出该点坐标和最小距离。 解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1=0 2 分 设所求的点为P（1+cos,sin), 3 分 则 C到直线 C2的距离 d= 2 |122sincos1| 5 分 =|sin(+ 4 )+2| 7 分 当 2 3 4 时，即= 4 5 时， d 取最小值19 分 此时，点P的坐标是（ 1- 2 2 ，- 2 2 ）10 分 练习 4.1 （09 厦门）在平面直角坐标系xOy中，动圆 222 8 cos6 sin7cos80xyxy+-+=的圆心为( ,)P xy，求 2xy- 的取值范围 【解】由题设得 4cos , 3sin x y = ? ? ?= ?
12、? q q （q为参数，?qR）.3 分 于是 28cos3sin73cos()xy，6 分 所以73273xy. 10 分 实用文案 标准文档 D A F E O B C 练习 4.2 （宁夏 09） （本小题满分10 分） 已 知 曲 线C的 极 坐 标 方 程 是sin2， 设 直 线 L 的 参 数 方 程 是 , 5 4 2 5 3 ty tx （t为 参数） （）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程； （）设直线 L与 x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值 . 答案： （本小题满分10 分） 解： （1）曲线C的极坐标方程可化为： sin2 2 又sin,cos, 2
13、22 yxyx. 所以，曲线C的直角坐标方程为： 02 22 yyx. （2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：)2( 3 4 xy 令0y得2x即M点的坐标为)0,2( 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1 ,0(，半径1r， 则5MC 15rMCMN 考点 5：直线参数方程中的参数的几何意义 例题 5：2009 年泉州 已知直线l经过点(1,1)P, 倾斜角 6 ， 写出直线l的参数方程 ; 设l与圆4 22 yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积. 解（1）直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt ，即 3 1 2 1 1 2 xt yt 3分 实用文案
14、 标准文档 （2）把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入4 22 yx， 得 22231 (1)(1)4,( 31)20 22 tttt， 1 2 2t t， 6分 则点P到,A B两点的距离之积为 2 10 分 练习 5.1 抚顺一中2009 求直线 4 1 5 3 1 5 xt yt （为参数t）被曲线2 cos() 4 所截的弦长 . 解：将方程 4 1 5 3 1 5 xt yt ，2 cos() 4 分别化为普通方程： 3410xy， 22 0,xyxy-(5分) 217 2. 105 dd 211211 圆心C （ ，），半径为圆心到直线的距离，弦长 2 r 222210
15、0 -10分 练习 5.2 大连市 2009 已知直线). 3 cos(2. 3 2 ),2, 1(圆方程的直线倾斜角为是过点 Pl （I ）求直线l的参数方程； （II ）设直线l与圆相交于M 、N两点，求 |PM| |PN| 的值。 解： （）l的参数方程为 2 1cos, 3 () 2 2sin. 3 xt t yt 为参数， 即 1 1, 2 () 3 2. 2 xt t yt 为参数。 5 分 （）由 cos, sin. x y 可将2cos() 3 ，化简得 22 30xyxy。 实用文案 标准文档 将直线l的参数方程代入圆方程得 2 (32 3)62 30.tt 1 2 62 3
16、t t， 1 2 | | | 62 3PMPNt t。 10 分 练习 5.3 （宁夏 09）若直线的参数方程为 1 2 23 xt yt （t 为参数），则直线的斜率为（） A 3 2 B 2 3 C 3 2 D 2 3 答案： （C ） 3、 （宁夏 09）极坐标方程=cos和 =sin 的两个圆的圆心距是（） A 2 B2 C 1 D 2 2 答案： （ D ） 【巩固练习】 一、选择题 1若直线的参数方程为 12 () 23 xt t yt 为参数，则直线的斜率为（） A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 2下列在曲线 sin2 () cossin x y 为参数上的点是（）
17、 A 1 (,2) 2 B 3 1 (,) 4 2 C(2,3) D(1, 3) 3将参数方程 2 2 2sin () sin x y 为参数化为普通方程为（） A2yx B 2yx C 2(23)yxx D 2(01)yxy 4化极坐标方程 2 cos0为直角坐标方程为（） A 2 01yy 2 x或 B 1x C 2 01y 2 x或x D 1y 5点M的直角坐标是( 1, 3)，则点M的极坐标为（） A(2,) 3 B (2,) 3 C 2 (2,) 3 D (2,2),() 3 kkZ 6极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（） A一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个
18、圆 D 一个圆 7圆5cos5 3sin的圆心坐标是（） A 4 ( 5,) 3 B ( 5,) 3 C (5,) 3 D 5 ( 5,) 3 二、填空题 8直线 34 () 45 xt t yt 为参数 的斜率为 _。 实用文案 标准文档 9参数方程() 2() tt tt xee t yee 为参数的普通方程为_。 10已知直线 1 13 :() 24 xt lt yt 为参数与直线 2 :245lxy相交于点B，又点(1,2)A， 则AB_。 11直线 1 2 2 () 1 1 2 xt t yt 为参数 被圆 22 4xy截得的弦长为 _。 12直线cossin0xy的极坐标方程为_。
19、 13极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。 三、解答题 1已知点( , )P x y是圆 22 2xyy上的动点， （1）求2xy的取值范围； （2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围。 2求直线 1 1 :() 53 xt lt yt 为参数和直线 2 :2 30lxy的交点P的坐标，及点P 与(1, 5)Q的距离。 3在椭圆 22 1 1612 xy 上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值。 4、 （宁夏 09）已知椭圆C的极坐标方程为 22 2 sin4cos3 12 ，点 F1，F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为 )( 2 2 2 2 2 Rtt ty
20、 tx 为参数， 实用文案 标准文档 （1）求直线 l 和曲线 C的普通方程； （2）求点 F1，F2到直线 l 的距离之和 . 一、选择题 1D 233 122 yt k xt 2B 转化为普通方程： 2 1yx，当 3 4 x时， 1 2 y 3C 转化为普通方程：2yx，但是2,3,0,1xy 4C 22 (cos1)0,0,cos1xyx或 5C 2 (2,2),() 3 kkZ都是极坐标 6C 2 cos4sincos ,cos0,4sin,4sin或即 则, 2 k或 22 4xyy 二、填空题 1 5 4 455 344 yt k xt 2 22 1,(2) 416 xy x 2
21、 2 ()()4 22 2 2 2 ttt tt t y xexee yy xx y y ee xe 3 5 2 将 13 24 xt yt 代入245xy得 1 2 t，则 5 (,0) 2 B，而(1,2)A，得 5 2 AB 414直线为10xy，圆心到直线的距离 12 22 d，弦长的一半为 22 214 2() 22 ，得弦长为 14 5 2 coscossinsin0,cos()0，取 2 三、解答题 1解： （1）设圆的参数方程为 cos 1 sin x y ， 22cossin15sin()1xy 51251xy 实用文案 标准文档 （2）cossin10xyaa (cossi
22、n)12 sin()1 4 21 a a 2解：将 1 53 xt yt 代入2 30xy得2 3t， 得 (1 2 3,1)P ，而(1, 5)Q，得 22 (23)64 3PQ 3解：设椭圆的参数方程为 4cos 2 3sin x y ， 4cos4 3sin12 5 d 4 54 5 cos3sin32cos()3 553 当cos()1 3 时， min 4 5 5 d，此时所求点为(2, 3)。 4 解: （）直线l普通方程为2yx；3 分 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy 6 分 （） 1( 1,0) F, 2(1,0) F，7 分 点 1 F到直线l的距离 1 1 023 2 , 2 2 d8 分 点 2 F到直线l的距离 2 102 2 , 2 2 d 9 分 12 2 2.dd 10 分