椭圆地定义及几何性质.pdf

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1、实用文档 标准文案 椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平 面 内 一 个 动 点到 两 个 定 点、的 距 离 之 和 等 于 常 数 ()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦 点的距离叫作椭圆的焦距。 注意： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：， 其中； 2 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：， 其中； 注意： 1

2、只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆 的标准方程； 2在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当 焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质 实用文档 标准文案 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x 换成 x ，或把y 换成 y ，或把x、y 同时换 成x 、y ，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形， 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x= a 和 y=

3、b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x| a， |y| b。 （3）顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（ a ，0） ， A2（a，0） ，B1（0，b ） ， B2（0， b） 。 线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫 做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。 因为 ac0，所以e 的取值范围是0e1。 e 越接近 1，则 c 就越接近a，从而 越小，因此椭圆越扁；

4、反之，e 越接近于0，c就越接近0，从而 b 越接近于a， 这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时， c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x 2+y2=a2 实用文档 标准文案 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： （1），； （2），； （ 3）,，； 知识点四：椭圆与（ab 0）的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， 焦距 范围 ， 对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称 顶点 ， 轴 长轴长 =，短轴长 = 实用文档 标准文案 离心率 准线方程 焦半径 ， 注意： 椭圆，（a b0）的相同点为形状、大小都相同，参数间 的关系都有ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两

5、种椭圆的位置不同，它们的 焦点坐标也不相同。 二、考点分析 考点一：椭圆的定义 【例 1】 方程1022 2222 yxyx化简的结果是。 【例 2】 已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P满足 |PF1|+|PF2|=16，则点 P的轨迹为（ ） A 圆B 椭圆C 线段D 直线 【变式训练】已知椭圆=1 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则 P 到另一焦 点 距离为。 考点二：求椭圆的标准方程 【例 3】 若椭圆经过点 (5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为。 【例 4】ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A的轨迹 22 1

6、69 xy 实用文档 标准文案 【例 5】 求以椭圆 22 9545xy的焦点为焦点，且经过点(2,6)M的椭圆的标准方程 【变式训练】 1、 焦点在坐标轴上， 且 2 13a， 2 12c的椭圆的标准方程为。 2、焦点在x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为。 3、已知三点P（ 5，2） 、 1 F（ 6，0） 、 2 F（6，0） ，求以 1 F、 2 F为焦点且过点P的椭圆的 标准方程； 4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 3 54 和 3 52 ，过 P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 考点三：利用标准方程确定参数 【例 6】

7、若方程 2 5 x k + 2 3 y k =1 （1）表示圆，则实数k 的取值是. （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是. （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是. （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是. 【例7】 椭圆 22 425100xy的长轴长等于，短轴长等于, 顶点坐标 是,焦点的坐标是,焦距是， 离心率等于。 实用文档 标准文案 【变式训练】1、椭圆 22 1 4 xy m 的焦距为2，则m= 。 2、椭圆55 22 kyx的一个焦点是 )2,0(，那么k。 考点四：离心率的有关问题 一、求离心率 1、用定义（求出a,c 或找到 c/a）求离心

8、率 （1）已知椭圆C: 22 22 1,(0) xy ab ab 的两个焦点分别为 12 ( 1,0),(1,0)FF, 且椭圆C 经过点 4 1 (,) 3 3 P. 则椭圆C的离心率。 （2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（） （3）椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若 |AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_. （4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线距离为1，则 该椭圆的离心率为。 2、根据题设条件构造a、c 的齐次式方程，解出e。 222 0()0 ncc

9、 manacpcmp m aa （1） 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 （） A.B.C. D. （2）在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C的标准方程为)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x , 右焦点为 12 F F 22 22 :1(0) xy Eab ab P 3 2 a x 21 F PF30 E ()A 1 2 ()B 2 3 ()C()D 22 22 1 xy ab 5 4 5 3 5 2 5 1 实用文档 标准文案 F, 右准线为l, 短轴的一个端点为B, 设原点到直线BF的距离为 1 d,F到l的距离为 2 d, 若 12 6d

10、d, 则椭圆C的离心率为 _. （3） 设椭圆的两个焦点分别为F1.F2， 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P， 若三角形F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。 二） 、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式） 1、直接根据题意建立,a c不等关系求解 . （1） 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F， 两条准线与x轴的交点分别为MN， 若 12 MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是。 （ 2） 已 知 21,F F为 椭 圆01 2 2 2 2 ba b y a x 的 焦 点 ，B为 椭 圆 短 轴 上 的 端 点 ， 2 1212 1

11、2 BFBFF F，求椭圆离心率的取值范围。 2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立,a c不等关系求解 设 12 FF，分别是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使 线段 1 PF的中垂线过点 2 F，则椭圆离心率的取值范围是。 3、利用圆锥曲线相关性质建立,a c不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式） （1）椭圆 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|, 则椭圆离心率的取值范围为。 （2）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 右顶为 A,

12、点 P 在椭圆上， O 为坐标原点，且OP 垂直 于 PA，求椭圆的离心率e的取值范围。 （3）椭圆）（01 2 2 2 2 ba b y a x 和圆 2 22 2 c b yx （其中c为椭圆半焦距） 有四个 不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。 实用文档 标准文案 考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用 【例 14】已知椭圆方程01 2 2 2 2 ba b y a x ，长轴端点为 1 A， 2 A，焦点为 1 F， 2 F，P 是椭圆上一点， 21PA A， 21PF F求： 21PF F的面积 （用a、b、表示） 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用CabSsi

13、n 2 1 求面积 【变式训练】 1、 若 P 是椭圆1 64100 22 yx 上的一点， 1 F、 2 F是其焦点， 且60 21PF F， 求 21PF F的面积 . 2、 已 知P 是 椭 圆1 925 22 yx 上 的 点 ， 1 F、 2 F分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若 2 1 | 21 21 PFPF PFPF ，则 21PFF的面积为（） A. 33B. 32C. 3D. 3 3 实用文档 标准文案 课后作业： 一、选择题 1已知 F1(-8，0)， F2(8，0)，动点 P满足 |PF1|+|PF2|=25，则点 P 的轨迹为 ( ) A 圆B 椭圆C

14、 线段D 直线 3 已知方程 22 1 11 xy kk 表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -10 C k 0 D k1 或 k-1 17、椭圆 3 2 x 2 2 y =1 与椭圆 2 2 x 3 2 y = (0)有（） (A) 相等的焦距(B) 相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对 18、椭圆1 925 22 yx 与1 259 22 yx （0k9）的关系为（） (A) 相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D) 有相等的长轴、 短轴 二、填空题 2、椭圆 22 1 169 xy 左右焦点为F1、F2，CD 为过 F1的弦，则 CDF1的周长为 _ 4、求满足以下

15、条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2 倍，且过点 (2，1) (3) 经过点 (5，1)，(3，2) 5、若 ABC 顶点 B、C 坐标分别为 (-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则 ABC 的重心 G 的轨迹方程为_ 6.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别是F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。 若 F1PF2=60 ，则椭圆的离心率为 _ _ 7、已知正方形ABCD ，则以 A、B 为焦点， 且过 C、 D 两点的椭圆的的离心率为_ _ 椭圆方程为_. 8 已知椭圆的方程为 22

16、1 43 xy ，P 点是椭圆上的点且 12 60F PF,求12PFF的面积 实用文档 标准文案 9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足 ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 10.椭圆1 36100 22 yx 上的点 P到它的左焦点的距离是12，那么点 P 到它的右焦点的距离是 11已知椭圆)5(1 25 2 2 2 a y a x 的两个焦点为 1 F、 2 F，且8 21F F，弦 AB 过点 1 F， 则 2 ABF的周长 。 13 、 中 心 在 原 点 、 长 轴 是 短 轴 的 两 倍 ,一 条 准 线 方 程 为4x,那 么 这 个 椭 圆 的 方 程 为。 14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率 e = . 15、椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上 ,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别 为 10 和 14,则椭圆方程为_。 16.已知 P 是椭圆900259 22 yx上的点 ,若 P 到椭圆右准线的距离为8.5,则 P 到左焦点的距 离为。 19、 椭圆1 26 2 2 yx 上一点 P到左准线的距离为2， 则点 P到右准线的距离为。 20、点P为椭圆1 1625 22 yx 上的动点 , 21,F F为椭圆的左、 右焦点 ,则 21 PFPF的最小值为 _ ,此时点P的坐标为 _。.