正定矩阵地性质和判定方法及应用.pdf

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1、实用标准文案 文档大全 内蒙古财经大学本科毕业论文 正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10 级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩 实用标准文案 文档大全 内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究 线性代数的一个有力工具而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念正定矩阵是一 种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用且正定矩阵具有一般矩阵不具 有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域本文在第一部分介绍了实矩阵 的正定性的相关定义以及其等价条件在第二部分列举了正定矩阵

2、的一系列性质，主要 介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理本 文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩 阵合同法且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定最后本文分别从不等式 的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a

3、 powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite

4、 matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of prope

5、rties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth

6、 parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive defin

7、ite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application 实用标准文案 文档大全 目录 引言 . 错误！未定义书签。 一、正定矩阵的定义 . 错误！未定义书签。 二、正定矩阵的性质 . 错误！未定义书签。 三、正定矩阵的有关定理. 错误！未定义书签。 四、正定矩阵的判定方法. 错误！未定义书签。 （一）定义法 . 错误！未定义书签。 （二）主子式法 . 错误！未定义书签。 （三）特征值法 . 错误！未定义书签。 （四）与单位矩阵 E 合同法 . 错误！未定义书

8、签。 五、正定矩阵的应用 . 错误！未定义书签。 （一）正定矩阵在不等式中的应用. 错误！未定义书签。 （二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用. 错误！未定义书签。 总结 . 错误！未定义书签。 参考文献 . 错误！未定义书签。 后记 . 错误！未定义书签。 实用标准文案 文档大全 正定矩阵的性质及应用 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值， 应用很广泛的数学理论矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研 究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、 数值分析等领域中都具有广泛的应用二次型理论起源于解析几何中

9、化二次曲线和二次 曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上 文字 1, , n XX的正定二次型与n阶正定矩阵是一一对应的， 本文首先运用二次型的有定 性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义其次本文证明了正定矩阵的一些 实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了 数学中不等式的证明和多元函数极值的问题 一、正定矩阵的定义 定义 1 3 设,1,2, ; ij ai jn ij 均为实常数， 则关于n个实变量12,nx xx的二 次齐次多项式函数 222 12111222 , nnnn fx xxa xa xa x 1

10、21213131,1 222 nnnn a x xa x xaxx，1 称为n元实二次型 定义 2 3 只含有平方项的二次型称为标准形，即 222 121122 , nnn fyyyd yd ydy2 定义 3 3 若二次型的标准形中的系数1,2, i d in 仅为 1, 1,0，则此标准形称为 二次型的规范形 定义 4 1 实二次型 12 , n fx xx称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 12 , n c cc，都有 12 ,0 n fc cc； 如果都有 12 ,0 n f c cc，那么 12 , n fx xx 称为负定的； 如果都有 12 ,0 n fc cc，那么 1

11、2 , n fx xx称为半正定的； 如果都有 12 ,0 n f c cc，那么 12 , n fx xx称为半负定的； 如果二次型既不是半正定又不是 实用标准文案 文档大全 半负定，那么 12 , n fx xx就称为不定的 定义 5 1 若实数域上的n元二次型 12 11 (,)() nn nijijijji ij f x xxaXaa T X AX 是正定二次型（负定二次型） ，则称 A为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次 型（半负定二次型），则称 A为半正定矩阵（半负定矩阵） 其中 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa ， 1 2 n x

12、 x X x 定义 6 1 子式 11121 21222 12 1,2, i i i iiii aaa aaa Pin aaa 3 称为矩阵 ij nn Aa的 i 阶顺序主子式 下面是正定矩阵的一些等价条件 定理 1 8 设 A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价： (1) A是正定矩阵 (2) A的正惯性指数等于n (3) A的特征值全大于零 (4) A合同于n阶单位矩阵 n E (5) A合同于 主对角元大于零的对角矩阵 (6) 存在可逆矩阵 P ，使得 T AP P，其中 T P 表示 P 的转置 注：二次型的正定 （负定） ，半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性不 具备有定性的二

13、次型及其矩阵称为不定的二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有 一一对应关系因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的 判定 二、正定矩阵的性质 性质 1 1 正定矩阵的行列式大于零 证明设 A是正定矩阵因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使 ACECC C 两边取行列式，有 2 0AC CC 实用标准文案 文档大全 推论 1 1 若 A是正定矩阵，则A的顺序主子式全大于零 证明设二次型 12 11 , nn nijij ij fx xxa x x是正定的对于每个,1kkn，令 12 11 , kk knijij ij fxxxa x x下面证明 k f是一个 k 元的正定

14、二次型 对于任意一组不全 为零的实数 1, , k cc，有 11 11 ,0,00 kk kkijijk ij fcca c cfcc 因此 1, , kk fxx是正定的由性质可知， k f的矩阵的行列式 111 1 0,1, k kkk aa kn aa 这就证明了矩阵 A的顺序主子式全大于零 性质 2 6 若 A是正定矩阵，则 A的主对角元全大于零 证明设() ij Aa，对于任意的0X，恒有 11 nn T ijij ij XAXa x x，其中 ijji aa， ,1,2,ijn令(0,0,1, 00) i T X，将其代入 11 () nn T ijijijji ij X AXa

15、 x x aa，得 T iiXAXa，所以0 ii a，1,2,in，从而结论得证 性质3 6 正定矩阵() ij Aa中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到 证明设() ij Aa是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零 如果() ij aij是 A的 中绝对值最大的一个元素，那么，取A的二阶主子式0 iiij iijjijji jijj aa a aa a aa ，由此 可得 2 iijjijjiij a aa aa ，因此，,iijjaa的绝对值不可能都小于 ij a，所以， ijii aa 或 ijjj aa，故 A中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到 性质 4 8 若 A是正定矩阵，

16、则 kA， AkE是正定矩阵，其中0k 证明由 A是正定矩阵，可知A的特征值 12 0,0,0 n ，则 kA的特征值 0(1,2,) i kin，因此 kA是正定矩阵 实用标准文案 文档大全 同理可得 AkE 的特征值 12 0,0,0 n kkk，因此 AkE也是正定 矩阵 性质 5 7 若 A是正定矩阵，则 1 A ， * A 是正定矩阵，其中 1 A 表示 A的逆矩阵， * A 表示 A的伴随矩阵 证明首先证 1 A是正定矩阵 因为 A是正定矩阵，所以A可逆且 T AA ，则有 1 11 T T AAA， 即 1 A 为实对称矩阵 设 A的特征值为 12 , n， 因为 A是正定矩阵正

17、定，所以 0(1,2,) i in 故 1 A 的特征值 111 12 0,0,0 n ，因此 1 A也是正定矩阵 再证 * A 是正定矩阵 由 *1 AA A ， 1 111 TT T A AAAAAA A可得 * T AA，即 * A 是实对 称矩阵因为 * A 的特征值 12 0,0,0 n AAA ，所以 * A 是正定矩阵 性质 6 1 若 A是正定矩阵，则对于任意整数k ， k A 都是正定矩阵 证明当0k时， k AE 显然是正定矩阵 当0k时，由于 kk ，而 1 k k AA，有性质可知， 1 A 也是正定矩阵，故 下面只需假定 k 为正整数即可 当k 为偶数时，由于 T A

18、A，且 22 T kk k AAA，由正定矩阵的等价条件(6) 可知 k A 是正定矩阵 当k 为奇数时，由于 A是正定矩阵，故存在实可逆矩阵C ，使 T AC C 由此可得： 111111 222222 T kkkkkk kT AAAAAC CACACA，从而仍由正定矩阵的 等价条件 (6) 可知， k A 是正定矩阵 实用标准文案 文档大全 性质 7 4 设 A为n阶正定矩阵，则 1122nn Aa aa，其中 ii a1,2,in 为A的主 对角元素 . 证明设 1 T nn A A a =， 其中 1 A为 A的1n阶顺序主子式， 121, , T nnnn aaa 那么 1 1111

19、1 11 11 00 01 01 nn TTT nnnn AAE EA aaAA =， 两边取行列式得： 1 11 T nn AAaA， 因为 A是正定矩阵，所以 1 A， 1 1 A都是正定矩阵，那么 1 1 00 T AA，由上式可知 1nn AAa 同理 121,1nn AAa，其中 2 A为 A 的2n级顺序主子式阵，这样继续下去可得 12-1, -11122nnnnnnnn AAaAaaa aa. 性质 8 5 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正 线性组合也是正定矩阵 证 明设 A , B 都 是 正 定 矩 阵 ， 又 设 ,0a b 由 A , B 是

20、 正 定 矩 阵 ， 可 得 , TT AABB则有 T TT aAbBaAbBaAbB， 所以 aAbB是实对称矩阵因为对任意0() n XXR有 () TTT XaAbB XaX AXbX BX， 由 性 质4可 知,a A b B 是 正 定 矩 阵 ， 则 有0 T a XA X，0 T bXBX 所 以 ()0 T Xa Ab BX因此 aAbB是正定矩阵 多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明： （1）当2n时已证明命题成立； （2）假设1nk时命题成立，现证明1nk时命题也成立 设 12,1 , kk AAAA是同阶正定矩阵， 121 ,0 kk a a

21、aa对任意0() n XXR有 11111111 ()0 TTTT kkkkkkkk Xa Aa AaAXa XA Xa X A XaXAX， 实用标准文案 文档大全 其中每一项均为正所以当1nk时，结论成立 综合（1） （2）可知，对于一切的自然数n，多个正定矩阵的正线性组合必为正定 矩阵 性质 9 8 如果 A是正定矩阵，m是任意实数，则存在正定矩阵B ，使得 m AB 证明由于 A是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q，使 1 0 0 T n Q AQ，其中 1, ,0 n ，所以 1 0 0 T n AQQ 令 1 0 0 m T m n BQQ ，则 m AB ，结论得证 三、正定矩阵的有关

22、定理 定理 2 5 若 A， B都是正定矩阵，则 0 0 A B 是正定矩阵 由定理 2的推广，可以得到如下推论： 推论 2若 A，B ，C ，D 都是正定矩阵， 则 12 34 0 (0,1,2,3,4) 0 i l Al B li l Cl D 是正定矩阵 推论 3若 12 , s A AA都是正定矩阵，则 1 2 s A A A 是正定矩阵 定理 3 5 正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵 证明设 B为n阶正定矩阵， A为n阶实对称矩阵且与 B 合同 由正定矩阵的等价条件可知，B 与单位矩阵 n E合同又因为 A与 B 合同，那么 A也 与单位矩阵 n E合同，即 A为正定矩阵 定理 4

23、5 若 A,B是实对称矩阵，A的特征值全大于a， B的特征值全大于 b 若 0ab，则 AB 是正定矩阵 实用标准文案 文档大全 证明性质 5 已证得 AB是实对称矩阵，且由已知条件可知AaE ， BbE 都是 正定矩阵，由性质5 可得()()AaEBbE是正定矩阵 设是 AB 的任一特征值，则 ()()()()EABabEAaEBbE， 这表明()ab是()()AaEBbE的特征值由于()()AaEBbE是正定矩阵， 故()0ab，所以()0ab，即 AB 的特征值全大于 0，从而 AB为正定矩 阵 推论 4设 12 , s A AA都是实对称矩阵， i A的特征值均大于(1,2, ) i

24、a is若 1 0 s i i a，则 12s AAA是正定矩阵 定理 5 9 若 A, B是正定矩阵，则 AB是正定矩阵的充要条件是ABBA 证明必要性：设 AB是正定矩阵，则 AB是实对称矩阵，从而 T TT ABABB ABA 充分性：由 ABBA知， T TT ABB ABAAB，故 AB 是实对称矩阵 由于 B 正定，存在可逆矩阵P 使得 T BP P ，从而 11( ) TTT ABAP PPPAP PPPAPP， 即 AB 与 T PAP 相似，因而 AB 与 T PAP 有相同的特征值因为A正定，故 T PAP 也正定， T PAP 的特征值全大于零，故AB 的特征值全大于零，

25、所以AB 是正定矩阵 定理 6 7 若 A是实对称矩阵，且A可逆，则 2 A 是正定矩阵 证明由已知可知， T AA ， 2 22 T T AAA，则 2 A 是实对称矩阵.又因为 121 T AA AE，故 2 A 与 E 合同，从而 2 A 是正定矩阵正定 . 对定理 6推广，可以得到如下推论： 推论 5若 A是实对称矩阵，且A可逆，则 2 () k AkZ是正定矩阵 . 注 ： 当 A 满 足 推 论 的 条 件 时 ， 21 () k AkZ不 一 定 是 正 定 矩 阵 例 如 实用标准文案 文档大全 1 2 3 A，则 A是实对称矩阵， 且 A可逆显然 21 21 21 1 2 3

26、 k k k A不是 正定矩阵 定理 7 6 设, ijij AaBb都是n阶正定矩阵，则 ij Cc也是正定矩阵，其中 ijijij ca b 证明,A B是实对称矩阵， 显然 C 也是实对称矩阵 任取 1 (,)0 T n Xxx，则由 矩阵,A B 是正定矩阵，可知： 1111 0,0 nnnn TT jkjkjkjk jkjk XAXa x xXBXb x x， 且存在n阶可逆矩阵 ij Qq，使得 T BQ Q，即 1 ( ,1, ) n jkljlk l bq qj kn， 所以 11111111 nnnnnnnn jkjkjkjkljlkjkjkjljklk jkjklljk a

27、 b x xaq qx xax qx q， 对任意 1 (,)0 T n Xxx，因为Q可逆，所以总存在一个l ，使得 1 1 (,)0 n T lnl x qx q， (不妨设 1 0x，则由Q可逆知Q的第一列中总有一个元素不为零，设为 1 l q，于是 1 1 0 l x q)又由A 是正定矩阵有： 11 0 nn jkjljklk jk ax qx q对以上的l 成立所以 11 0 nn jkjkjk jk a b x x，即 ijij Ca b为正定矩阵 定理 8 6 设 A是正定矩阵， B 为mn实矩阵，其中 T B 为 B 的转置矩阵，则 T B AB 为正定矩阵的充要条件是B 的

28、秩 r Bn 证 明必 要 性设 T B AB 为 正定 矩 阵 ， 则 对任 意 的n维 非 零 列 向 量 X ， 有 X 0 T TT XB ABBXA BX=，于是0BX，因此n元齐次线性方程组0BX只有 实用标准文案 文档大全 零解，故系数矩阵 B 的秩 r Bn 充分性因为 T TTTT B ABB A BB AB=，故 T B AB 为实对称矩阵 . 若 r Bn， 则齐次线性方程组0BX只有零解，从而对任意实n维非零列向量 X ， 有0BX又因为 A正定，所以对于0BX有 0 T BXA BX，于是当0X时，有 0 T TT XB AB XBXA BX=，故 T B AB为正定

29、矩阵 . 四、正定矩阵的判定方法 ( 一)定义法 n阶 实 对 称矩 阵 A 称 为正定 矩 阵， 如 果对 于 任意n维 实 非零 向量 X ， 都有 0 T XAX则实对称矩阵A简称为正定矩阵，记作：0A 用定义证明矩阵 A是正定矩阵需证明两点： (1) A为实对称矩阵 (2) 对任意的非零向量X ，0 T XAX 运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关 矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以 确定该矩阵属于正定矩阵 例 1设 A是nm实矩阵，且 A是列满秩，即 r Am ，证明 T A A是正定矩阵 证明首先，因为

30、TT TTTT A AAAA A，所以， T A A是实对称矩阵 其次，由 r Am可知，齐次线性方程组0AX只有零解因此，对任意m维列 向量0X，必有0AX，不妨设 12 , T n AXa aa，则 12 , n a aa是一组不全为零 的实数从而，对任意m维列向量0X，二次型 2 1 0 n T TT i i XA A XAXAXa， 即二次型 TT XA A X 正定，所以矩阵 T A A是正定矩阵 例 2设 A是mn矩阵， T BEA A，证明当0时， B 是正定矩阵 实用标准文案 文档大全 证明因为 T TTT BEA AEA AB，故B是n阶实对称矩阵，对于任意 的n维实向量0x

31、，有 22T TTTTT x Bxx xx A Axx xAxAxxAx 由于0x，0，则恒有 2 0x，而 2 0Ax，因此00 T x Bxx，由定义可得 B 是正定矩阵 ( 二)主子式法 若矩阵 A的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵A为正定矩阵 运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得然后根 据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但 是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵 例 3 设二次型 222 1231231213 ,65744fx xxxxxx xx x ，判定该二次型的矩阵是 否属于正定矩阵 . 解

32、 二次型的矩阵为 622 250 207 A， 其各阶顺序主子式分别为 123 62 6,26,162 25 DDDA全大于零，所以矩阵 A是正定矩阵 例 4t取何值时，二次型 222 112132233 222410fxx xx xxtx xx的矩阵是正定矩 阵 解二次型f对应的矩阵为 111 122 1210 At t ， 要使矩阵 A正定，必须使 A的各阶顺序主子式全大于零，即满足 12 11 10,10, 12 DD 222 3 111 0121944104484(2)0 0219 DAttttttt t ， 实用标准文案 文档大全 得到21t，所以，当( 2,1)t时，二次型f的矩阵

33、是正定矩阵 ( 三)特征值法 若矩阵 A的特征值全为正数，则矩阵A为正定矩阵 运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则 可以判定该矩阵属于正定矩阵如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特 征值的具体值直接判定此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已 知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵 例 5已知,A AE是n阶实对称正定矩阵，证明 1 EA是正定矩阵 证明由 1 11 T TT EAEAEA可知， 1 EA是对称矩阵设 12 , n 是 A的特征值，则 AE的特征值 12 10,1 ,10 n ，即1 i ，那么 1 1 i ， 从而

34、1 10 i 综上可得： 1 EA的特征值全为正数，即 1 EA是正定矩阵 例 6判定n元二次型 1 2 1 11 nn iii ii fxx x的矩阵是否属于正定矩阵 解二次型f的矩阵为 11 1 22 11 1 22 11 1 22n n A 则 2111 1211 11 1, 1,1 22 1121 AE，记 1 1 1,1,1 1 B 由 2 BnB可得，B 的特征值是n与 0 （1n重） 于是 A的特征值是 11 1 , 22 n(1n重) A的特征值全为正数，故A属于正定矩阵 例 7设 A是n阶实对称矩阵，且满足 432 34640AAAAE，证明 A是正定 实用标准文案 文档大全

35、 矩阵 证明设是矩阵 A的特征值，是矩阵 A的属于特征值的特征向量，则有 432432 346434640AAAAE， 因为0，所以 432 34640，即 2 2120， 由于 A是实对称矩阵，故由上式可知矩阵A的特征值为或，即矩阵A的特征值 全为正数，从而可得A是正定矩阵 ( 四)与单位矩阵 E合同法 正定二次型 12 , n fx xx的规范形为 222 12n yyy，而规范形的矩阵为单位矩 阵 E ，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵E 合同 此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也 不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单

36、位矩阵合同即可此法适 用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵 例 8 已知 A是n阶可逆矩阵，证明 T A A是正定矩阵 证明由于 T TT A AA A，则 T A A是对称矩阵 因为 TT A AA EA，且 A是可逆矩阵，所以 T A A与 E 是合同矩阵，从而 T A A是正定 矩阵 例 9 用此法证明分块矩阵 0 0 A Q B 是正定矩阵，其中,A B 分别为,m n阶正定矩 阵 证明由于矩阵,A B为正定矩阵，故存在可逆矩阵 m m C和 n n D，使得 , TT mn C ACED BDE， 令 0 0 C P D ，则 0 0 T T T C P D ，且 P 为 mn阶可逆

37、矩阵 00000 000 00 TT m T TT n EACCC AC P QP EBD DD BD ， 实用标准文案 文档大全 所以，矩阵Q与单位矩阵 E 合同，故分块矩阵 0 0 A Q B 是正定矩阵 五、正定矩阵的应用 ( 一)正定矩阵在不等式中的应用 实对称矩阵 A是正定矩阵是由于其对应的实二次型 T XAX （其中 12 , n Xx xx） 正定，而二次型正定是指对于任意 0 X恒有 00 0 T X AX因此可以利用此性质来证明不 等式是否成立 例 10 证明不等式 222 12312134222xxxx xx x（其中 123 ,x xx是不全为零的实数） 成立 证明令 2

38、22 1231231213 ,4222fx xxxxxx xx x ，其系数矩阵为 1-11 -140 102 A， A的各阶顺序主子式为 1122 1-1 =10,=30,20 -14 AAA，则 A为正定矩阵 因此对 于任意一组不全为零的 123 ,x xx都有 123 ,0fx xx，故原不等式成立 例 11 证明不等式 22 11 nn ii ii nXX （）成立 证明令 22 11 nn T ii ii fnXXXAX （），则二次型为 1 2 12 111 111 , 111 nX nX fXXXn Xn ， 则 实用标准文案 文档大全 111 111 111 n n A A的各

39、阶顺序主子式 2 1122 11 10,20,0 11 n AnAnnA n ，所以 A 是半 正定的，那么二次型是半正定的，即0f故原不等式成立 ( 二)正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解 决. 定义 7 2 设 n元实函数 12 ()(,) n fXfx xx在 12 (,) Tn n XxxxR的某个邻域 内存在一阶、二阶连续偏导数记 12 ()()() (), n f Xf Xf X f X xxx , 称()f X为函数 ()f X在点 12 (,) T n Xxxx处的梯度 定义 8 2 222 2 1121

40、 2 222 2 12 ()()() () () ()()() n ij n n nnn f Xf XfX xx xx x f X H X x x f Xf XfX xxxxx ， 此矩阵称为函 数 12 ()(,) n fXf x xx在点 n XR 处的(Hessian) 黑塞矩阵则()H X是由()f X的 2 n 个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵 定理 9 2 (极值必要条件 ) 设函数()fX在点 000 012 (,) T n Xxxx处可微，且 0 X为该 函数的极值点，则 1) 0 X必为()f X的稳定点，即 0 ()0f X. 2) 若()f X在 0 X的某领域 0 UX

41、存在连续二阶偏导数，则当 0 fX为极小值时， ()f X在0X的黑塞矩阵为正定或正半定； 则当 0 fX为极大值时，()fX在0X的黑塞矩 阵为负定或负半定 定理 10 2 ( 极值充分条件 ) 设函数()f X在点 0 n XR的某个邻域内存在一阶、 二阶 实用标准文案 文档大全 连续偏导数时，且 000 0 12 ()()() (),0 n f Xf Xf X f X xxx 则： (1) 当 0 ()HX是正定矩阵时， ()fX在 0 X处取得极小值； (2) 当 0 ()HX是负定矩阵时， ()fX在0X处取得极大值； (3) 当 0 ()HX是不定矩阵时，()fX在 0 X处不取极

42、值 例 12 求多元函数 222 ( , , )22244f x y zxyzxyz的极值 . 解先求驻点，由 220 440 440 x y z fx fy fz ， 解得1,1,1xyz 可得驻点为 0( 1, 1,1) P 再求 (Hessian) 黑塞矩阵，因为2,0,0,4,0,4 x xxyxzy yy zzz ffffff，所以 200 040 004 H，由正定矩阵的等价命题（5）可知 H 是正定的，所以 0( 1, 1,1) P是 ( , , )f x y z的极小点，且( , , )f x y z在 0( 1, 1,1) P点的极小值为( 1, 1,1)5f 例 13求多元

43、函数 222 112232313 42466fxxx xxxx xx x 的黑塞矩阵，并根据 结果判断该函数的极值点 解先求驻点，由 1 2 3 123 123 321 2460 4460 8660 x x x fxxx fxxx fxxx ，解得 123 0,0,0xxx 可得驻点为 0 0,0,0P 由 上 述 方 程 组 可 求 得 (Hessian)黑 塞 矩 阵 为 246 446 668 H， 由 于 1 12 2 24 20,80 44 HH，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故 0 P不是极值点 实用标准文案 文档大全 总结 本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定

44、理出发探讨 了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法判定 一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方 法最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数 极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率 参考文献 ： 1 王萼芳，石生明高等代数（第三版）北京：高等教育出版社 2 华东师范大学数学系数学分析（第四版）高等教育出版社 3 何亚丽 线性代数科学出版社 4 陈大新 矩阵理论上海：上海交通大学出版社 5 刘畅正定矩阵性质的推广J 沈阳师范大学学报， 2009,27(3),268271 6 岳贵鑫 正

45、定矩阵及其应用J 辽宁省交通高等专科学院学报， 2008,10(5),3133 7 黄云美正定矩阵的性质及其应用J 烟台职业学院学报， 2011,17(3):8588 8 张丹，刘庆平正定矩阵的性质及相关问题J 中南大学学报， 2011,31（4） 9 倪凌炜实正定矩阵的若干判定方法J 湖州师范学院学报， 2010,26（2） 后记 写完这篇论文之时， 我深深地叹了口气， 虽然写作过程艰苦， 但是最终还是喜悦地， 顺利地完成了毕业论文在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正 定矩阵的应用我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起 点 首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修 实用标准文案 文档大全 改我的论文无论从选题、文章的整体结构还是语言规范上高老师都给了我悉心指导从 高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不 倦的师德还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无 尽的启迪 同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮 助和鼓励，让我不断进步最后感谢我的父母，让我在他们的关怀中逐渐的成长，给了 我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们