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1、实用文档 标准文案 特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、（一阶线性递推式） 设已知数列 n a的项满足dcaaba nn 11 ,其中,1,0 cc求这个数列的通项公式。 定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为 0 x，则当 10 ax时， n a为常数列，即 0101 ,;xbaaxaa nnn 时当，其中 n b是以c为公比的等比数列，即 011 1 1 ,xabcbb n n . 证明：因为, 1 ,0c由特征方程得. 1 0 c d x作换元,0xabnn则 .)( 11 0011nnnnnn cbxac c cd ca c d dcaxab 当 10 ax时，0 1
2、 b，数列 n b是以c为公比的等比数列，故; 1 1 n n cbb 当 10 ax时，0 1 b， n b为 0 数列，故.N, 1 naan （证毕） 例 1已知数列 n a满足：, 4,N, 2 3 1 11 anaa nn 求. n a 解：作方程 . 2 3 ,2 3 1 0 xxx则当4 1 a时，. 2 11 2 3 , 1101 abxa 数列 n b是以 3 1 为公比的等比数列. 于是： .N,) 3 1 ( 2 11 2 3 2 3 ,) 3 1 ( 2 11 ) 3 1 ( 111 1 nbabb n nn nn n 例 2已知数列 n a满足递推关系：,N,)32(
3、 1 niaa nn 其中i为虚数单位。 当 1 a 取何值时，数列 n a是常数数列？ 解：作方程,)32(ixx则 . 5 36 0 i x要使 n a为常数，即则必须. 5 36 01 i xa 二、（二阶线性递推式） 定理 2：对于由递推公式 nnn qapaa 12 ， 21 ,aa给出的数列 n a，方程 0 2 qpxx，叫做数列 n a的特征方程。 若 21,x x是特征方程的两个根，当 21 xx时， 数列 n a的通项为 1 2 1 1 nn n BxAxa ， 其中 A， B 由 21 ,aa决定 （即把 2121 ,xxaa 和2, 1n，代入 1 2 1 1 nn n
4、 BxAxa，得到关于A、B 的方程组） ；当 21 xx时，数列 n a 实用文档 标准文案 的通项为 1 1 )( n n xBAa， 其中 A， B 由 21 ,aa决定 （即把 2121 ,xxaa和2, 1n， 代入 1 1 )( n n xBnAa，得到关于A、B 的方程组）。 例 3：已知数列 n a满足),0(0253, 1221 Nnnaaabaaa nnn ，求数 列 n a的通项公式。 解法一（待定系数、迭加法）由0253 12nnn aaa，得)( 3 2 112nnnn aaaa ， 且abaa 12 。则数列 nn aa 1 是以ab为首项， 3 2 为公比的等比数
5、列， 于是： 1 1 ) 3 2 )( n nn abaa。把nn, 3,2, 1代入，得： abaa 12 ，) 3 2 ()( 23 abaa， 2 1 ) 3 2 )( n nn abaa。 把以上各式相加，得： ) 3 2 () 3 2 ( 3 2 1)( 2 1 n n abaa)( 3 2 1 ) 3 2 (1 1 ab n 。 abbaaaba nn n 23) 3 2 )(3)() 3 2 (33 11 。 解法二 （特征根法） ：数列 n a：),0(0253 12 Nnnaaa nnn ，baaa 21 , 的特征方程是：0253 2 xx。 3 2 , 1 21 xx,
6、1 2 1 1 nn n BxAxa 1 ) 3 2 ( n BA。 又由baaa 21 ,，于是： )(3 23 3 2 baB abA BAb BAa 故 1 ) 3 2 )(323 n n baaba 三、 (分式递推式 ) 定理 3：如果数列 n a满足下列条件： 已知 1 a的值且对于Nn，都有 hra qpa a n n n 1 （其中 p、q、r、h 均为常数， 且 r h arqrph 1 ,0,） ，那么，可作特征方程 hrx qpx x. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若, 1 a则;N,nan若 实用文档 标准文案 1 a，则,N, 1 n b a n
7、n 其中.N,) 1( 1 1 n rp r n a bn 特别地，当存在 ,N 0 n使0 0n b时，无穷数列 n a不存在；（2）当特征方程有两个相异的根 1、2时， 则 1 12 n n n c c a ，,Nn其中).( ,N,)( 21 1 2 1 21 11 an rp rp a a c n n 其中 例 3、已知数列 n a满足性质：对于, 32 4 ,N 1 n n n a a an且,3 1 a求 n a的通项公式 . 解:依定理作特征方程 , 32 4 x x x变形得, 0422 2 xx其根为.2, 121故特征 方程有两个相异的根，使用定理2 的第（ 2）部分，则有
8、： .N,) 221 211 ( 23 13 )( 11 2 1 21 11 n rp rp a a c nn n .N,) 5 1 ( 5 21 nc n n .N, 1) 5 1 ( 5 2 1) 5 1 ( 5 2 2 1 1 1 12 n c c a n n n n n 即 .N, )5(2 4)5( na n n n 例 5已知数列 n a满足：对于,Nn都有. 3 2513 1 n n n a a a （1）若,5 1 a求; n a（2）若, 3 1 a求; n a（ 3）若,6 1 a求; n a （4）当 1 a取哪些值时，无穷数列 n a不存在？ 解：作特征方程 . 3 2
9、513 x x x变形得,02510 2 xx 特征方程有两个相同的特征根 . 5依定理 2 的第（ 1）部分解答 . (1).,5 11 aa对于,Nn都有; 5 n a (2).,3 11 aa rp r n a bn)1( 1 1 5113 1 )1( 53 1 n, 8 1 2 1n 令0 n b，得5n.故数列 n a从第 5 项开始都不存在，当n4，Nn时， 实用文档 标准文案 5 1751 n n b a n n . (3), 5,6 1 a. 1 a ., 8 1 1)1( 1 1 Nn n rp r n a bn 令,0 n b则.7nn对于.0bN, n n .N, 7 4
10、35 5 8 1 1 11 n n n n b a n n (4)、显然当3 1 a时，数列从第2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 5 1 a时，数列 n a是存在的，当5 1 a时，则有 .N, 8 1 5 1 ) 1( 1 11 n n arp r n a bn 令,0 n b则得N, 1 135 1 n n n a 且n2. 当 1 135 1 n n a（其中Nn且 N 2）时，数列 n a从第n项开始便不存在. 于是知：当 1 a在集合3或,: 1 135 Nn n n 且n2上取值时，无穷数列 n a都不存在 . 定理 3 证明： (分式递推问题 )：如果数列
11、n a满足下列条件：已知 1 a的值且对于 Nn， 都有 hra qpa a n n n 1 （其中 p、q、r、h 均为常数，且 r h arqrph 1 ,0,） ，那么，可 作特征方程 hrx qpx x. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若, 1 a则;N,nan若 1 a，则,N, 1 n b a n n 其中.N,) 1( 1 1 n rp r n a bn 特别地，当存在 ,N 0 n使0 0n b时，无穷数列 n a不存在 . （2）当特征方程有两个相异的根 1、2（称作特征根） 时，则 1 12 n n n c c a ，,Nn其 实用文档 标准文案 中).(
12、 ,N,)( 21 1 2 1 21 11 an rp rp a a c n n 其中 证明：先证明定理的第（1）部分 . 作交换N,nad nn ， 则 hra qpa ad n n nn11 hra hqrpa n n )( hdr hqrpd n n )( )( rhrd qphrrpd n n )()( 2 是特征方程的根，. 0)( 2 qphr hr qp 将该式代入式得.N, )( 1 n rhrd rpd d n n n 将 r p x代入特征方程可整理得,qrph这与已知条件qrph矛盾 .故特征方程的 根, r p 于是.0rp 当0 1 d，即 11 da=时，由式得,N
13、,0 nbn 故.N,nda nn 当0 1 d即 1 a时，由、两式可得.N,0 ndn 此时可对式作如下变化： . 1 )( 1 1 rp r drp rh rpd rhrd d nn n n 由是方程 hrx qpx x的两个相同的根可以求得. 2r hp , 1 2 2 hp ph r r hp p r r hp h rp rh 将此式代入式得.N, 11 1 n rp r dd nn 令.N, 1 n d b n n 则 .N, 1 n rp r bb nn 故数列 n b是以 rp r 为公差的等差数列. .N,)1( 1 n rp r nbbn 其中. 11 11 1 ad b
14、实用文档 标准文案 当0,N n bn时，.N, 1 n b da n nn 当存在,N 0 n使0 0n b时， 0 00 1 n nn b da无意义 .故此时，无穷数列 n a是不存在的 . 再证明定理的第（2）部分如下： 特征方程有两个相异的根 1、2， 其中必有一个特征根不等于1 a， 不妨令. 12 a 于是可作变换 .N, 2 1 n a a c n n n 故 21 11 1 n n n a a c，将 hra qpa a n n n 1 代入再整理得 N, )( )( 22 11 1 n hqrpa hqrpa c n n n 由第（ 1）部分的证明过程知 r p x不是特征
15、方程的根，故., 21 r p r p 故.0,0 21 rprp所以由式可得： N, 2 2 1 1 2 1 1 n rp hq a rp hq a rp rp c n n n 特征方程 hrx qpx x有两个相异根 1、2 方程0)( 2 qphxrx有两个相 异根 1、2，而方程 xrp xhq x与方程0)( 2 qphxrx又是同解方程. 2 2 2 1 1 1 , rp hq rp hq 将上两式代入式得 N, 2 1 2 1 2 1 1 nc rp rp a a rp rp c n n n n 当,0 1c即11a时，数列nc是等比数列，公比为 rp rp 2 1 .此时对于N
16、n都有 .)()( 1 2 1 21 111 2 1 1 nn n rp rp a a rp rp cc 实用文档 标准文案 当0 1 c即 11 a时，上式也成立. 由 2 1 n n n a a c且 21 可知.N, 1 ncn 所以.N, 1 12 n c c a n n n (证毕 ) 注 :当qrph时, hra qpa n n 会退化为常数;当0r时, hra qpa a n n n 1 可化归为较易解 的递推关系 ,在此不再赘述. 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有 效途径 . 1. 已知数列 n a满足 1 n n n a ab
17、a c ad 其中 * 0,cadbc nN. 定义 1:方程 axb x cxd 为的特征方程, 该方程的根称为数列 n a的特征根 ,记为,. 定理 1:若 1 ,a且,则 1 1 nn nn aaac aaca . 定理 2: 若 1 a且0ad,则 1 121 nn c aada . 例 1 （09江西 理22）各项均为正数的数列 n a, 12 ,aa ab, 且对满足mnpq 的正数, ,m n p q都有 (1)(1)(1)(1) pq mn mnpq aa aa aaaa . (1) 当 14 , 25 ab时, 求通项 n a;(2)略. 实用文档 标准文案 例 2 已知数列
18、 n a满足 * 1 1 1 2,2, n n aanN a , 求通项 n a. 例 3 已知数列 n a满足 1 1 1 2 2,(2) 21 n n n a aan a ，求数列 n a的通项 n a 例 4 已知数列 n a满足 * 11 21 2,() 46 n n n a aanN a ，求数列 n a的通项 n a 2. 已知数列 n a满足 2112nnn ac ac a其中 12 ,c c为常数 ,且 * 2 0,cnN. 定义 2:方程 2 12 xc xc 为的特征方程,该方程的根称为数列 n a的特征根 ,记为 12 ,. 定理 3:若 12,则1122 nn n abb,其中 12 ,b b常数 ,且满足 11122 22 21122 abb abb . 定理 4: 若 12 ,则 12 () n n abb n,其中 12 ,b b常数 ,且满足 112 2 212 () (2) abb abb . 例 5 已知数列 n a满足 * 1221 2,3,32() nnn aaaaanN，求数列 n a的通项 n a 例 6 已知数列 n a满足 * 1221 1,2,44() nnn aaaaanN，求数列 n a的通项 n a 实用文档 标准文案 例 7:已知数列 n a满足 1221 2,8,44 nnn aaaaa,求通项 n a.