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1、实用标准文案 文档大全 电影院座位设计问题 一、问题的提出 下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众 眼睛到屏幕上、 下边缘视线的夹角，越大越好； 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水 平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过 o 30 。 设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H，地板线倾角，第一排和最后一排座位与屏幕水 平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数h=1.8 ，H=5， d=4.5 ，D=19，c=1.1 （单位： m ） 。( 如图所示 ) (1) 地板线倾角 o 10 ，试问最佳的座位在什么地方。
2、(2) 求地板线倾角（一般不超过 o 20 ） ，使所有观众的平均满意程度最大。 (3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。 二、问题的分析 观众在电影院观赏电影， 感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而 且还取决于座位设计的舒适程度. 座位的设计应满足什么要求， 是一个非常现实 的问题 . 根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角. 经调 查可知这两者都要满足一定的条件. 但在实际生活中又不可能同时满足，只能在 二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况. 根据题意很容易得知 和的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助. 下文针对题目提出的三个 问题逐
3、一进行分析 . 针对问题 1：为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y 轴，向上 为正方向，以与之垂直的地面为x 轴，以交点为原点O,建立直角坐标系 . 当地板 线倾角 o 10时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角和仰角的值均 为最大，最后排视角和仰角的值均为最小 . 那么仰角 0 30时的位置是否是 最佳位置呢？我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出tg的表达式，作 出对x的变化图象以及其变化率图象，计算tg的最大值，找到最佳座位点， 实用标准文案 文档大全 然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化. 针对问题 2： 一般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念. 本
4、文观众对座位是否满意也是一个模糊概念. 根据模糊数学隶属度的概念和心理 学的相关知识， 我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数， 通过这 一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势 . 在倾斜角固 定的情况下，满意度函数值随x的变化而变化，不同的x有不同的满意度 . 有了 满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度. 当平均满意 度最大时，求出此时对应的倾斜角，即为所要求的平均满意度最大时地板线的 倾斜角度 . 三. 模型的假设 1. 假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布； 2. 假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化； 3.
5、假设视角对观众的满意度影响较大； 四. 符号说明 当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角 当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角 ),(yxp当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标 ）（xF关于距离x和倾斜角的正切函数 ）（xG关于距离x和倾斜角的正切函数 )(xM满意度函数 )( i xM第 i 个位置的满意程度 M平均满意程度 满意度函数的相关因子（即满意因子） 五. 模型的建立 1. 建模的准备 1.1 建立坐标系 为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系： 实用标准文案 文档大全 由题意及坐标图得，直线L 的方程：cdxtgy)(（1） 直线 L 上任意一点),(yxP的仰
6、角的正切值为： x tgdxcH tg )( （2） 又由图可知： x tgdxhcH tg )( )(（3） 由（2） （3）得： x dtgcHhdtgcH xtgdtgcHhtg h tg )()( )1()(2 2 2 1.2 构造满意度函数 一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念. 本文中观众对某个座位是否 满意的看法就是一个典型的模糊概念. 由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关 知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众 对座位的满意度为： )0()( 2 0) (xx exM（4） 其中表示观众满意度的相关因子， 称为满意因子 ，一般为常数 . 0
7、x表示最佳座 位点，即最佳座位处的横坐标值. 2. 模型的建立 2.1 问题 1 的模型 座位的满意程度主要取决于视角和仰角. 越大越好，太大使人的头 部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过 o 30 . 要确定最佳座位，必须同 时兼顾视角和仰角 . 由上 文不 难 发 现 tg和tg均 是x的 函数 ， 这 里 不 妨 令tgxF)(， tgxG)(，则可得到： 实用标准文案 文档大全 x dtgcHhdtgcH xtgdtgcHhtg h xF )()( )1()(2 )( 2 2 （5） x tgdxcH xG )( )( （6） 由 0 30，即 0 30tgtg得： tgtg dt
8、gcH x 6 又由题意知：Dx 则 x 的取值范围为：Dx tgtg dtgcH 6 （7） 从而得到 求解最佳座位的数学模型： x dtgcHhdtgcH xtgdtgcHhtg h xMaxF )()( )1()(2 )( 2 2 ts.Dx tgtg dtgcH 6 （8） 当=10度时求得模型的解 观众的满意度随位置变化曲线如图： 实用标准文案 文档大全 4681012141618 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 地 板 线 横 坐 标 x 观 众 的 满 意 度 值 =10 度 时 观 众 的 满 意 度 曲 线 2.2 问题 2 的模
9、型 为了求平均满意程度最大时地板的倾角，本文先设法求平均满意程度M. 由（4） ，记第 i 个座位满意度为：)0()( 2 0) (xx i i exM（9） 则区间,Dd上n个座位的满意度为： n i i xM 1 )(（10） 从而得座位的平均满意程度为： n xM M n i i 1 )( （11） 从而得到 求解地板倾角的数学模型： Max n xM M n i i 1 )( （12） 其中 i x的表达式为：lidxi)1(，l 为常数，表示前后两个座位之间的距离. ， n的表达式为：1 l dD n . 观众满意度随地板线曲率变化如图： 实用标准文案 文档大全 00.511.522
10、.5 9.2 9.4 9.6 9.8 10 10.2 10.4 地 板 线 斜 率 k(tg ) 观 众 平 均 满 意 度 观 众 平 均 满 意 度 随 地 板 线 斜 率 变 化 曲 线 有图解得： 8.1936. 0arctan 2.3 问题 3 的模型 为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。因此，利 用最优化模型，使得每一名观众的满意程度达到最大。 目标函数为： Max n xM M n i i 1 )( 约束条件为：)0, 0()( 2 0) ( niexM xx i i 从而得到结果为： 实用标准文案 文档大全 02468101214161820 -1 0 1
11、 2 3 4 5 附录： 第一、二问程序： n=0; ku=0; q=5; t0=0; s=0.3; for k=0:0.01:0.37; m=0; for x=450:1900; y(x)=(x/100)*(k2+1)/2+(3+4.5*k)2-0.81)/(2*(x/100)-k*(3+4.5*k); z(x)=0.9/y(x); w(x)=atan(z(x); f(x)=atan(5-k*(x/100)-4.5)-1.1)/(x/100); x30=(3.9+4.5*k)/(k+(30.5)/3); if k=0.18 if xt0 t0=t; x10=x/100; end end if
12、 xx30 实用标准文案 文档大全 t=(w(x)-s*q*(f(x)-pi/6); if tt0 t0=t; x10=x/100; end end x11=x/100; figure(1); plot(x11,t); grid; xlabel( 地板线横坐标 x ); ylabel( 观众的满意度值 ); title( =10度时观众的满意度曲线 ); hold on; end if xx30 m=(w(x)-s*q*(f(x)-pi/6)/100)+m; end end figure(2); plot(k,m,.); grid; xlabel( 地板线斜率 k(tg ) ); ylabel
13、( 观众平均满意度 ); title( 观众平均满意度随地板线斜率变化曲线 ); hold on; mn n=m; ku=k; end plot(x10,t0,*); 第三问程序： h=1.8; H=5; d=4.5; D=19; 实用标准文案 文档大全 c=1.1; q=1; s=0.3; para=0; stepx=(D-d)/20; stepy=(H-c)/25; y=zeros(1,21); total=0; max=0; for i1=0:1 i(1)=i1; for i2=0:1 i(2)=i2; for i3=0:1 i(3)=i3; for i4=0:1 i(4)=i4; fo
14、r i5=0:1 i(5)=i5; for i6=0:1 i(6)=i6; for i7=0:1 i(7)=i7; for i8=0:1 i(8)=i8; for i9=0:1 i(9)=i9; for i10=0:1 i(10)=i10; for i11=0:1 i(11)=i11; for i12=0:1 i(12)=i12; for i13=0:1 i(13)=i13; for i14=0:1 i(14)=i14; for i15=0:1 i(15)=i15; for i16=0:1 i(16)=i16; for i17=0:1 i(17)=i17; for i18=0:1 实用标准文案
15、 文档大全 i(18)=i18; for i19=0:1 i(19)=i19; for i20=0:1 i(20)=i20; for i21=0:1 i(21)=i21; for i22=0:1 i(22)=i22; for i23=0:1 i(23)=i23; for t=1:21 x(t)=(t-1)*stepx+d; y(1)=c; if t1 for r=2:t y(t)=i(r-1)*stepy+y(t-1); end end x1=x(t); y1=y(t); de=(x1)2+(H-h/2-y1)2-(h/2)2; w(t)=(atan(h*x1)/de)-s*q*(atan(H
16、-y1)/x1)-pi/6); if x1max max=total; for e=1:20 if y(e)(H-h) for v=1:e aa=(v-1)*stepx+d)*(-(y(e)-(H-h)/(e-1)*stepx+d)+(H-h); if aa1 for e=2:j m0=m(e-1)+m0; end end yopt(j)=m0*stepy; xopt(j)=(j-1)*stepx+d; end x3=1:0.1:length(yopt)-1; y3=interp1(xopt,yopt,x3,cubic); p=polyfit(x3,y3,15); y4=polyval(p,x3); 实用标准文案 文档大全 plot(x3,y4,-); hold on plot(x3,y3,xopt,yopt); for rr=1:length(yopt)-1; y5=y4(rr-1)*10+1); plot(rr,y5); hold on end grid on; hold on; plot(0,(H-h),*); plot(0,H,*);