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1、实用标准文档 精彩文案 相似三角形的性质及应用- 知识讲解（提高） 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽 象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释： 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等
2、于相似比的平方 ， 则分 别 作 出与的 高和， 则 2 11 22 = 11 22 ABC A B C BC ADk BCk AD S k S B CADBCA D 要点诠释： 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1. 测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释： 测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法 2测量距离 2. 测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、 BD 、CE的距离（
3、长度） ，根据相似三角形的性质，求出AB的长 . 2 如乙图所示，可先测AC、DC及 DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长 . 要点诠释： 1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离 / 实际距离 ; 2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角 【典型例题】类型一、相似三角形的性质 实用标准文档 精彩文案 1. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点 B重合，折痕
4、为DE，则 S BCE： SBDE等于（）A. 2 ：5 B14:25 C 16:25 D. 4:21 【思路点拨】 相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似. 【答案】 B.【解析】 由已知可得AB=10 ，AD=BD=5 ，设 AE=BE=x, 则 CE=8-x, 在 RtBCE中，x 2-(8-x)2=62,x= , 由 ADE ACB得，SBCE：SBDE=（64-25-25 ） ：25=14:25 ，所以选B. 【总结升华】 关键是要确定哪两个是相似三角形. 举一反三 【变式】在锐角ABC中， AD,CE分别为 BC,AB边上的高，ABC和 BDE的面积分
5、别等于18 和 2，DE=2, 求 AC边上的高 . 【答案】 过点 B做 BFAC,垂足为点F， AD,CE分别为 BC,AB边上的高， ADB= CEB=90 ，又 B=B ， RtADB RtCEB, BDABBDBE BECBABCB 即, 且 B=B， EBD CBA, 2 21 189 BED BCA DE AC S S , 1 3 DE AC , 又 DE=2 ， AC=6 ， 1 186 2 ABC AC BF S ， BF= . 2. 已知：如图，在ABC与 CAD中， DA BC ，CD与 AB相交于 E点，且 AE EB=1 2，EFBC交 AC于 F 点， ADE的面积
6、为1，求 BCE和 AEF的面积 【答案与解析】 DA BC ， ADE BCE S ADE:SBCE=AE 2:BE2 AE BE=1:2，SADE:S BCE=1:4 SADE=1，SBCE=4SABC:SBCE=AB:BE=3:2，SABC=6 EFBC ， AEF ABC AE:AB=1:3， SAEF:S ABC=AE 2:AB2=1:9 SAEF= 【总结升华】注意，同底 ( 或等底 ) 三角形的面积比等于该底上的高的比；同高( 或等高 ) 三角形的面积比等于对应 实用标准文档 精彩文案 底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方 举一反三： 【变
7、式】 如图，已知中， 点在上， (与点 不重合 ) ，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长 . (2) 当的周长与四边形的周长相等时，求的长 . 【答案】(1) ， . (2) 的周长与四边形的周长相等 . =6， . 类型二、相似三角形的应用 3. 在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是 CD的中点， CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔 底座宽 CD=12m ，塔影长 DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在 平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和 1m ，那么塔高AB为（） A.24m B.22
8、m C.20m D.18m 【答案】A.【解析】 过点 D做 DN CD交光线 AE于点 N，则 1.6 0.8 2 DN DE ,DN=14.4 ， 又 AM:MN=1.6:1， AM=1.6MN=1.6BD=1.66=9.6 塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24 ，所以选A. 【总结升华】 解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长 的比得到相应的部分塔高的长度 举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚 距离 CE=1.2m ，窗口高AB=1.8m ，求窗口底边离地
9、面的高度BC. 【答案】 作 EF DC交 AD于 F. AD BE ，又， 实用标准文档 精彩文案 ，. AB EF， ADBE ，四边形ABEF是平行四边形， EF=AB=1.8m. m. 4. 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如 图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测 得（ 1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置； （2）求路灯灯泡的垂直高度； （3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续 走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩
10、下路程的到处，按此规律继续走下去，当小 明走剩下路程的到处时，其影子的长为m （直接用的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查相似三角形的应用；借助相似三角形确定比例线段是本题的关键 【答案与解析】 （1）（2）由题意得：，（m ） （ 3），设长为，则，解得：（m ） ， 即（m ） 同理，解得（m ） ， 【总结升华】 本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律. 相似三角形的性质及应用- 巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3 和 4 及 x，那么 x 的值 （）A
11、只有 1 个 B 可以有2 个C有 2 个以上，但有限 D有无数个 2. 若平行四边形ABCD中，AB 10，AD 6，E是 AD的中点， 在 AB上取一点F，使 CBF CDE ， 则 BF的长为 （） A1.8 B5 C6 或 4 D8 或 2 3. 如图，已知D、E 分别是的 AB、 AC 边上的点，且那么等 于（）A1：9 B1：3 C1：8 D 1：2 实用标准文档 精彩文案 345 4如图 G是 ABC的重心，直线过 A点与 BC平行 . 若直线 CG分别与 AB 、交于 D、 E两点，直线BG与 AC交于 F 点，则 AED的面积：四边形ADGF 的面积 =( ) A1： 2 B
12、2： 1 C2： 3 D3： 2 5. 如图，将ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4等于（） A.1 234 B.23 45 C.1 35 7 D.3 579 6. 如图，在ABCD中， E为 CD上一点， DE ： CE=2 ：3，连结 AE、BE 、BD ，且 AE 、BD交于点 F，则 SDEF：SEBF：SABF等于 ( ) A.4：10：25 B.4 ：9： 25 C.2： 3：5 D.2：5： 25 6789 二、填空题7. 如图，梯形ABCD 中， ABCD,AC 、BD相交于点E， 1 , 2 D
13、EC S S CEB DEC S S AEB =_. 8. 如图， ABC中，点 D在边 AB上，满足 ADC= ACB,若 AC=2 ，AD=1，则 DB=_. 9. 如图， 在 PAB中，M 、N是 AB上两点， 且 PMN 是等边三角形， BPM PAN ，则 APB的度数是 _. 10. 如图， ABC中， DE BC,BE,CD交于点 F，且 SEFC =3 S EFD，则S ADE：SABC =_. 101112 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底 部，当他向前再步行20m到达 Q点时，发现身前他影子的顶部
14、刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m， 两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是_ 12. 如图，锐角 ABC中， AD,CE分别为 BC,AB边上的高，ABC和 BDE的面积分别等于18 和 2， DE=2 ， 则 AC边上的高为 _. 三、解答题13. 为了测量图（ 1）和图（ 2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作： 图（ 1） ：测得竹竿CD的长为 0.8 米，其影CE长 1 米，树影AE长 2.4 米 图（ 2） ：测得落在地面的树影长2.8 米，落在墙上的树影高1.2 米，请问图（1）和图（ 2）中的树高各是多少？ 实用标准文档 精彩文案 1314 14
15、. （1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连结DE 交OC于点F，作FGBC于G求证：点G是线段BC的一个三等分点 证明 ：在矩形ABCD中，OEBC，DCBC，OEDC， （2）请你仿照（ 1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程） 15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm ，BC=6cm ，点 E自 A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F 从 D 点以每秒 2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t ，且 0t 6 （1）当 t 为多少时， DE=2DF ； （2）四边形
16、DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由 （3）以点 D、E 、F 为顶点的三角形能否与BCD相似？若能，请求出所有可能的t 的值；若不能，请说明理由 【答案与解析】一选择题1. 【答案】 B.【解析】 x 可能是斜边，也可能是直角边. 2. 【答案】 A.3. 【答案】 B.4.【答案】 D.5.【答案】 C. 【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由， 所以，又由，可得，下略 6.A.ABCD 中，AB DC ， DEF ABF ，( DEF 与 EBF等高，面积比等于对应底边的比) ，所以答案选A. 二、填空题7. 【答案】 1 4 .【解
17、析】 1 , 2 DEC ECB S S 且 DEC与 CEB是同高不同底的两个三角形，即 1 . 2 DE EB 因为 AB CD,所以 DEC BEA,所以 DEC AEB S S = 22 11 24 DE EB 实用标准文档 精彩文案 8. 【答案】 3. 【解析】 ADC= ACB ， DAC= BAC, ACD ABC, ACAD ABAC AB= 22 2 4 1 AC AD ， BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】 120. 【解析】BPM PAN ， BPM A，PMN 是等边三角形，A+ APN 60， 即 APN+ BPM 60，APB BPM+ MPN+ AP
18、N 60+60=120 10. 【答案】 1:9 【解析】 EFC S=3 EFD S， FC:DF=3:1，又 DE BC, BFC EFD,即 BC ：DE=FC:FD=3:1， 由 ADE ABC ，即 ADE S： ABC S =1:9. 11. 【答案】 30m. 12.【答案】 6. 【解析】 AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高 , ADB= BEC=90 ， ABD= EBC RtABD RtCBE ABBD BCBE ， ABC DBE 相似三角形面积比为相似比的平方， 2 18 2 AC DE = 9, AC DE =3 , AC=3DE=3 2=6 h=2SABC/A
19、C=2 18/6=6即 AC边上的高是6 . 三、解答题13. 【解析】（1） CDE ABE ， CECD AEAB ， 又竹竿 CD的长为 0.8 米，其影CE长 1 米，树影AE 长 2.4 米， AB=1.92 米即图1 的树高为 1.92 米 （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，竹竿CD的长为 0.8 米，其影CE长 1米， 1 = 0.81.2 x 解得 x=1.5 （m ） ，树的影长为：1.5+2.8=4.3（m ） ， 14.3 = 0.8h 解得 h=3.44 （ m ） 14. 【解析】（1）补全证明过程: FGBC，DCBC，FGDC ABDC， 又FG
20、AB， 点G是BC的一个三等分点 （2）如图，连结DG交 AC于点 H，作HIBC于I ，则点I是线段 BC的一个四等分点. 15. 【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t ，DF=2t， 6-t=2 2t ，解得 t= 6 5 ， 故当 t= 6 5 时， DE=2DF ； （2）矩形ABCD的面积为： 126=72， S ABE= 1 2 12t=6t ，SBCF= 1 2 6（ 12-2t ）=36-6t ， 四边形DEBF 的面积 =矩形的面积 -SABE-SBCF=72-6t-36+6t=36，故四边形DEBF的面积为定值 . （3）设以点D 、 E、F 为顶点的三角形能与BCD相似， 则 EDDF BCDC 或 EDDF DCBC ，由 ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t ，BC=6 ， 代入解得： t=12 （舍去）或t=6 （舍去）或t= 3 2 ， 故当 t= 3 2 时，以点D、E、F 为顶点的三角形与BCD相似 实用标准文档 精彩文案