知识讲解二项式定理(理)(提高)0.pdf

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1、实用文档 标准文案 二项式定理 【学习目标】 1理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法 2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 【要点梳理】 要点一：二项式定理 1. 定义 一般地 , 对于任意正整数n , 都有： nn n rrnr n n n n n n bCbaCbaCaCba 110 )( * Nn) ， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 n ba)(的二项展开式。 式中的 rnrr n C ab做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1 项： 1 rn rr rn TC ab， 其中的系数 r n C（ r=0，1，

2、2， n）叫做二项式系数， 2二项式 (a+b) n 的展开式的特点： (1) 项数：共有n+1 项，比二项式的次数大1； (2) 二项式系数：第r+1 项的二项式系数为 r n C，最大二项式系数项居中； (3) 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n字母 a 降幂排列，次数由n 到 0；字母 b 升幂排列， 次数从 0 到 n，每一项中， a，b 次数和均为n； 3. 两个常用的二项展开式： 011 ()( 1)( 1) nnnrrn rrnnn nnnn abC aC abC abC b( * Nn) 122 (1)1 nrrn nnn xC xC xC xx 要点二、二项展开式的通项公

3、式 二项展开式的通项： - 1 rn rr rn TC ab（nr,2 , 1 , 0） 公式特点： 它表示二项展开式的第r+1 项，该项的二项式系数是 r n C； 字母 b 的次数和组合数的上标相同； a 与 b 的次数之和为n。 要点诠释： （1）二项式 (a+b) n 的二项展开式的第r+1 项 rn rr n C ab 和(b+a)n的二项展开式的第r+1 项 rn rr n C ba 是有 区别的，应用二项式定理时，其中的a 和 b 是不能随便交换位置的 （ 2 ） 通 项 是 针 对 在 (a+b) n 这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 ， 如 (a b)n的 二 项 展

4、开 式 的 通 项 是 1 ( 1) rrn rr rn TC ab（只需把 b 看成 b 代入二项式定理） 。 要点三：二项式系数及其性质 1. 杨辉三角和二项展开式的推导。 在我国南宋，数学家杨辉于1261 年所著的详解九章算法如下表，可直观地看出二项式系数。 实用文档 标准文案 n ba)(展开式中的二项式系数, 当 n 依次取 1,2,3,时 , 如下表所示 : 1 )(ba1 1 2 )(ba1 2 1 3 )(ba1 3 3 1 4 )(ba1 4 6 4 1 5 )(ba1 5 10 10 5 1 6 )(ba1 6 15 20 15 6 1 上表叫做 二项式系数的表, 也称杨辉

5、三角( 在欧洲 , 这个表叫做帕斯卡三角), 反映了二项式系数的性 质。表中每行两端都是1，而且除1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。 用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中 nrr ab 的系数 r n C的意义：为了得到 (a+b) n 展开式中 n rr ab 的 系数，可以考虑在()()() n ab abab这 n 个括号中取r 个 b，则这种取法种数为 r n C，即为 n rr ab 的 系数 2.() n ab的展开式中各项的二项式系数 0 n C、 1 n C、 2 n C n n C具有如下性质： 对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等

6、，即 rn n r n CC； 增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中， 当 n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数 2 n n C最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项 式系数 2 1n n C， 2 1n n C相等，且最大. 各二项式系数之和为2 n ，即 01234 2 nn nnnnnn CCCCCC； 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即 1531420 2 n nnnnnn CCCCCC。 要点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1 项 rrnr n baC

7、的二项式系数是组合数 r n C，展开式的系数是单项式 rrnr n baC 的系 数，二者不一定相等。 如 (a b)n的二项展开式的通项是 1 ( 1) rrn rr rn TC ab，在这里对应项的二项式系数都是 r n C，但项的 系数是( 1) rr n C，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念 3.() n abc展开式中 pqr a b c的系数求法（, ,0p q r的整数且 pqrn） rqqrnq rn r n rrnr n nn cbaCCcbaCcbacba)()()( 如： 10 )(cba展开式中含 523 cba的系数为 !5! 2! 3 !10 5 5 2

8、 7 3 10 CCC 要点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 要点四：二项式定理的应用 1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）. 2. 利用赋值法进行求有关系数和。 实用文档 标准文案 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。 利用赋值法（即通过对a、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利 于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。 设 2 012 ( )() nn n f xaxbaa xa xa x (1) 令 x=0，则 0 (0) n afb (2) 令

9、x=1，则 012 (1)() n n aaaafab (3) 令 x=1，则 0123 ( 1)( 1)() nn n aaaaafab (4) 024 (1)(-1) 2 ff aaa (5) 135 (1)-(-1) 2 ff aaa 3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法： 如：求证：983 22 n n 能被 64 整除（ * Nn） 4.证明有关的不等式问题： 有些不等式， 可应用二项式定理， 结合放缩法证明， 即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小 )， 或把某些负项删去( 放大 ) ，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。 nxx n 1)1 (； 2 2

10、 ) 1( 1)1(x nn nxx n ； （0x） 如：求证： n n ) 1 1(2 5.进行近似计算： 求数的n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。 当| x充分小时，我们常用下列公式估计近似值： nxx n 1)1(； 2 2 ) 1( 1)1 (x nn nxx n ； 如：求 6 05.1的近似值，使结果精确到0.01； 【典型例题】 类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数 例 1.求 5 2 3 2 2 x x 的二项式的展开式 【思路点拨】按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号 【解析】 （1）解法一： 5 2 3

11、 2 2 x x 023 05142332 55552222 3333 (2 )(2 )(2 )(2 ) 2222 CxCxCxCx xxxx 45 45 5522 33 (2 ) 22 CxC xx 实用文档 标准文案 52 4710 180135405243 32120 832 xx xxxx 解法二： 5 35 210 3(43) 2 232 x x xx 0351342332332343455 55555510 1 (4)(4) ( 3)(4) ( 3)(4) ( 3)(4)( 3)( 3) 32 CxCxCxCxCxC x 1512963 10 1 (1024384057604320

12、1620243) 32 xxxxx x 52 4710 180135405243 32120 832 xx xxxx 。 【总结升华】记准、记熟二项式(a+b) n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂 的二项式，有时先化简再展开会更简捷 举一反三： 【变式】求 6 1 2x x 的二项式的展开式 【答案】先将原式化简。再展开 66 6 3 1211 2(21) x xx x xx 061524334256 66666663 1 (2 )(2 )(2 )(2 )(2 )(2 )CxCxCxCxCxCxC x 3 1 x 65432 1 (6419224016060121)

13、 3 xxxxxx x 例 2试求： （1）(x3 2 2 x ) 5 的展开式中x5的系数； （2）(2x2 x 1 ) 6 的展开式中的常数项； 【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x 的项因为题中条件和求解部 分都涉及指定项问题，故选用通项公式 【解析】（1）Tr1 rrrrrr xC x xC 515 5 2 53 5 )2() 2 ()( 依题意 155r 5，解得 r 2 故(2)2 r C540 为所求 x5的系数 （2） Tr1 r C6(2x2) 6-r r x ) 1 ( (1) r 26-r rr xC 312 6 依题意 123r 0，解得

14、r 4 故 4 )1( 2 2 2 6 C60 为所求的常数项 【总结升华】 实用文档 标准文案 1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项, 所求的是第几项, 相应的r是多少； 2. 注意系数与二项式系数的区别； 3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。 举一反三： 【变式 1】求 291 ()x x 的展开式中 3 x的二项式系数及 3 x的系数 . 【答案】126，126； 通项 2918 3 199 1 ()()( 1) rrrrrr r TCxCx x ， 1833r，5r， 故展开式中 3 x的二项式系数为 54 99 126CC， 3 x的系数为 55 9

15、 ( 1)126C. 【变式 2】求 153 ) 1 ( x x的展开式中的第4 项. 【答案】 5 2 455x； 155 315 33333 62 41515 1 ()()( 1)455TCxCxx x 。 【变式 3】（ 1）求 93 () 3 x x 的展开式常数项；（2）求 93 () 3 x x 的展开式的中间两项 【答案】 3 9 929 2 199 3 ()()3 3 r rrrrr r x TCCx x ， （ 1）当 3 90,6 2 rr时展开式是常数项，即常数项为 63 79 32268TC ； （2） 9 3 () 3 x x 的展开式共10项，它的中间两项分别是第5

16、项、第6项， 48 99 12 593 42 3TCx x ， 15 9 510 93 2 69 3378TCxx 例 3 求二项式 10 2 1 2 x x 的展开式中的有理项 【思路点拨】展开式中第r+1 项为 210 10 1 () 2 r rr Cx x ，展开式中的有理项，就是通项中x 的指数为 正整数的项 实用文档 标准文案 【解析】设二项式的通项为 5 20 2 10 2 11010 11 () 2 2 rr r rrr r TCxCx x ， 令 5 20 2 rZ，即 r=0，2，4， 6，8 时， 5 20 2 rZ。 0 02020 110 1 2 TCxx ， 2 21

17、515 310 145 24 TCxx ， 4 41010 510 1105 28 TCxx ， 6 655 710 1105 232 TCxx ， 8 80 910 145 2256 TCx 。 二项式 10 2 1 2 x x 的展开式中的常数项是第9 项： 45 256 ；有理项是第1 项：x20，第 3 项： 15 45 4 x， 第 5 项： 10 105 8 x，第 7 项： 5 105 32 x，第 9 项： 45 256 【总结升华】求有理项是对x 的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求 举一反三： 【变式】如果在 n x x 4 2 1 的展开式中，前三

18、项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 【答案】（1）展开式中前三项的系数分别为1， 2 n ， 8 )1(nn ， 由题意得： 2 2 n =1+ 8 )1(nn 得n=8。 设第 r+1 项为有理项， 4 316 81 2 1 r r r r xcT，则 r 是 4 的倍数，所以r=0，4，8。 有理项为 2 95 4 1 256 1 , 8 35 , x TxTxT。 类型二、二项式之积及三项式展开问题 例 4求 25 (1) (1)xx的展开式中 3 x的系数 . 【思路点拨】将 2 (1)x变形为 2 12xx，要使两个因式的乘积中出现 3 x，根据式子的结构可以分 类讨论：当前一

19、个因式为1 时，后面的应该为 3 x；当前一个因式为x时，后面的应该为 2 x；当前一个因 实用文档 标准文案 式为 2 x时，后面的应该为x；也可以利用通项公式 rrnr nr baCT 1 化简解答。 【解析】 解法一： 2525 (1) (1)(12)(1)xxxxx， 5 )1(x的通项公式 kkkkk k xCxCT 551 ) 1()(（0,1,2,3,4,5k） ， 分三类讨论： （1）当前一个因式为1 时，后面的应该为 3 x，即 3233 45 ( 1)10TC xx； （2）当前一个因式为2x时，后面的应该为 2 x，即 2222 35 ( 1)10TC xx； （3）当前

20、一个因式为 2 x时，后面的应该为x，即 111 25 ( 1)5TC xx； 故展开式中 3 x的系数为102 1055。 解法二： 2 )1(x的通项公式 rr r xCT 21 （0,1,2r） ， 5 )1(x的通项公式 kkkkk k xCxCT 551 ) 1()( , （0,1,2,3,4,5k） ， 令3rk, 则 2 1 r k 或 1 2 r k 或 0 3 r k ， 从而 3 x的系数为5 3 5 2 5 1 2 1 5 CCCC。 举一反三： 【变式 1】求 25 (1)(1)xx的展开式中 3 x的系数 . 【答案】15； 5 )1(x的通项公式 kkkkk k x

21、CxCT 551 ) 1()( （0,1,2,3,4,5k） ， 分二类讨论： （1）当前一个因式为1 时，后面的应该为 3 x，即 3233 45 ( 1)10TC xx； （2）当前一个因式为 2 x时，后面的应该为x，即 111 25( 1)5TC xx； 故展开式中 3 x的系数为15。 【变式 2】在 (1x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为 _ 【答案】(1x) 5(1-x)4(1x)(1-x2)4，其中 (1-x2)4 展开的通项为 4 r C (-x 2)r， 故展开式中x3的系数为 1 4 C-4 例 5. 求(1+x+x 2)8 展开式中x 5 的系数 实用文档 标准

22、文案 【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开， 然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 【解析】 解 法 一 ： (1+x+x 2 ) 8=1+(x+x2)8 ， 所 以 2 18( ) rr r TCxx， 则x 5 的 系 数 由 (x+x 2)r 来 决 定 ， 2 1 krkkkrk krr TC xxC x，令 r+k=5 ，解得 5 0 r k 或 4 1 r k 或 3 2 r k 。 含 x 5的系数为504132 858483 504CCCCCC。 解法二： 282 808172 8

23、8 (1)(1)(1)(1)xxxxCxCxx 26223523727828 8888 (1)()(1)()(1)()()CxxCxxCx xCx， 则展开式中含x 5 的系数为 051321 888786 504CCCCCC 。 解法三： (1+x+x 2)8=(1+x+x2)(1+x+x2) (1 +x+x2)（共 8 个） ，这 8 个因式中乘积展开式中形成 x 5 的来源 有三： （1）有 2 个括号各出1 个 x 2，其余 6 个括号恰有 1 个括号出1 个 x，这种方式共有 21 86 CC种； （2）有 1 个括号出1 个 x 2，其余 7 个括号中恰有 3 个括号各出1 个 x

24、，共有 11 86 CC种； （3）没有 1 个括号出x 2，恰有 5 个括号各给出 1 个 x，共有 5 8 C种所以x 5 的系数是 21135 88878 504CCCCC 【总结升华】高考题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式 定理展开，或将三项式转化为二项式 举一反三： 【变式 1】 3 2 1 x x的展开式中的常数项. 【答案】 3 2 1 x x= 6 1 x x 所求展开式中的常数项是- 3 6 C20 【变式 2】在 (1+x+px2)10的展开式中，试求使x4的系数为最小值时p 的值 【答案】由通项 2 11010 ()(1) rrrrr

25、r TCxpxC xpx ， 又(1+px)r的通项为() mm r Cpx。 110 rmmrm rr TCCpx。 而 m+r=4，且 0mr10。 实用文档 标准文案 0 4 m r ，或 1 3 m r ，或 2 2 m r 。 x4的系数为 4031222222 104103102 4536021045(8 )21045(4)510C CC C pC C pppppp 。 仅当 p=4 时， x4的系数为最小。 类型三：有关二项式系数的性质及计算的问题 例 6. （1）求 (1+2x) 7 展开式中系数最大的项； （2）求 (12x)7展开式中系数最大的项。 【思路点拨】利用展开式的

26、通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。 【解析】（1）设第 r+1 项系数最大，则有 11 77 11 77 22 22 rrrr rrrr CC CC 即 1 1 7!7! 22 !(7)!(1)!(71)! 7!7! 22 !(7)!(1)!(71)! rr rr rrrr rrrr 21 8 12 71 rr rr ， 解得 16 3 13 3 r r ，即 11 45 33 r， r=5。 系数最大的项为 5555 65 17 2672TTCxx。 （2）展开式共有8 项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得。又因(1 2x)7 括号内的两项中后项系数绝对值大于前

27、项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较T5 和 T7两项系数大小即可， 443 577 661 777 ( 2) 1 ( 2)4 TCC TCC 系数 系数 ， 所以系数最大的项是第五项， 444 57( 2 ) 560TCxx。 【总结升华】求展开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组 1 1 rr rr TT TT 。 举一反三： 【变式】设 n ) 5 2 x 5 1 (展开式的第10 项系数最大，求n. 【答案】展开式的通项为 rn rrrn rrnr r 1nn 1212 TC (x)()C ( )( ) x 5555 r r n n 2 C 5 其系数为 实用文档

28、 标准文案 第 10 项系数最大， 98 98 nnnn 910 910 nnnn 22 CC 55 22 CC 55 ， 25 n14 2 解得，又 + nN n=13 或 n=14 【变式 2】 已知 1 2 2 n a 的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式 系数最大的项。 【答案】因为 465 2 nnn CCC，所以 !2 ! 4!(4)!6!(6)!5!(5)! nnn nnn 。 即 n2 21n+98=0，解得 n=14 或 7。 当 n=14 时，第 8 项的二项式系数最大， 7 777 814 1 (2 )3432 2 TCaa 。 当 n=7 时

29、，第 4 项与第 5 项的二项式系数最大， 4 333 47 135 (2 ) 22 TCaa ， 3 44 574 1 (2 )70 2 TCaa 。 类型四、利用赋值法进行求有关系数和。 例 7. 已知 (12x)7=a0+a1x+a2x2+ +a7x7，求： （1）a1+a2+ +a 7； （2）a1+a3+a5+a7； （3）a0+a2+a4+a6； （4）|a0|+|a1|+|a2|+ +|a7|。 【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法 【解析】令 x=1，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 1 ， 令 x=1，则 a0a 1+a2a3+a4a5+a6a 7

30、=37 ， （1）因为 a0= 0 7 01aC（或令 x=9，得 a0=1） ，所以 a1+a2+a3+ +a7=2 。 （2）由（ ） 2 得 7 1357 13 1094 2 aaaa。 （3）由（ +） 2 得 0246 137 1093 2 aaaa。 （4）方法一：因为(12x)7展开式中， a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3， a5，a7小于零， 所以 |a0|+|a1|+|a2|+ +|a 7|=(a0+a2+a4+a6) (a1+a3+a5+a7)=1093 ( 1094)=2187 。 方法二： |a0|+|a1|+|a2|+ +|a 7|，即 (1+2x) 7

31、展开式中各项的系数和，所以|a0|+|a1|+ +|a 7|=3 7=2187 。 【总结升华】求展开式的各项系数之和常用赋值法。 “ 赋值法 ” 是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值。一般地，要使展开 式中项的关系变为系数的关系，令x=0 可得常数项，令x=1 可得所有项系数之和，令x= 1 可得偶次项系 数之和与奇次数系数之和的差，而当二项展开式中含负值时，令x=1 则可得各项系数绝对值之和。 举一反三： 实用文档 标准文案 【变式 1】已知 727 0127(12 )xaa xa xa x，求： （1） 127 aaa；（2） 1357 aaaa；（ 3） 01

32、7 |aaa. 【答案】（1）当1x时， 77 (12 )(12)1x，展开式右边为 0127 aaaa 0127 aaaa1， 当0x时， 0 1a， 127 1 12aaa， （2）令1x， 0127 aaaa1 令1x， 7 01234567 3aaaaaaaa 得： 7 1357 2()13aaaa， 1357 aaaa 7 13 2 . （3）由展开式知： 1357 ,a aaa均为负， 0248 ,a aaa均为正， 由（ 2）中 + 得： 7 0246 2()13aaaa ， 7 0246 13 2 aaaa， 017 |aaa 01234567 aaaaaaaa 7 02461

33、357 ()()3aaaaaaaa 举一反三： 【变式 1】求值： 11222 22323( 1)3 nnnnnn nnn CCC . 【答案】 11222 22323( 1)3(23)( 1) nnnnnnnn nnn CCC 【变式 2】设 23 1111 n xxxx 2 012 n n aa xa xa x， 当 012 254 n aaaa时，求n的值 【答案】令1x得： 23 0122222 n naaaa 2(21) 254 21 n ， 2128,7 n n， 类型四、二项式定理的综合运用 实用文档 标准文案 例 8. 求证： 22 389 n n（nN）能被 64 整除 .

34、【思路点拨】可将 22 3 n 化成 112 ) 18()3( nn 再进行展开 , 化简即可证得 . 【解析】 112 )18()3( nn 0111211 11111 88.88 nnnnn nnnnn CCCCC 22 389 n n 01121211 11111(88.)8889 nnnnn nnnnnCCCCCn 201121 111 8(88.) nnn nnn CCC 故 22 389 n n（nN）能被 64 整除。 【总结升华】利用二项式定理进行证明, 需要多项式展开后的各项尽量多的含有 2 648的式子 . 举一反三： 【变式 1】求证1923 能被 10 整除 【答案】

35、2323 9(101) 02312222222323 23232323 1010( 1).10 ( 1)( 1)CCCC 19 23 0221212222 232323101010( 1).( 1)1 1CCC 0221212222 232323 101010( 1).( 1)CCC 故19 23 能被 10 整除。 例 9：当Nn且n1，求证3) 1 1 (2 n n 【解析】 2 1 1 111 1) 1 1( 1 2 21 n C n C n C n C n n n n nnn n n n n nnn n nnn n nn n 12321 ! 1 ! 3 21 ! 2 1 2 1 1 2

36、 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ! 1 ! 3 1 ! 2 1 2 1 12 n n n .3 2 1 3 1n 从而3) 1 1 (2 n n 【总结升华】用二项式定理证明不等式时，根据n 的最小值，确定展开的最少项，然后分析具体情况 确定其中有多少项即可 举一反三： 实用文档 标准文案 【变式】求证：(1)(1)2 nnn xx，其中| 1x，2n，nN。 【答案】(1)(1) nn xx 224422 2(1) (1,2,) 2 kk nnn n C xC xCxk | 1x， 2 01 k x， 242 (1)(1)2(1) nnk nnn xxCCC

37、 1 2 22 nn 。 例 10.求 6 0.998 的近似值，使误差小于0001 【思路点拨】因为 66 0.998(10.002) ，所以可以用二项式定理来计算 【解析】 6626 0.998(10.002)16( 0.002)15( 0.002)( 0.002) ， 2 3 15( 0.002)0.000060.001T 即第 3项以后的项的绝对值都小于0.001， 从第 3 项起，以后的项可以忽略不计， 即 66 0.998(10.002)16( 0.002)0.988 【总结升华】由 12233 (1)1 nnn nnnn xC xC xC xC x知，当 x 的绝对值与1 相比很小且n 足够 大时， 2 x， 3 x ， ， n x等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽略不计因此可以 使用近似计算公式(1)1 n xnx在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式 中各项的取舍 举一反三： 【变式】 0.9915精确到 0.01 的近似值是 【答案】 0.9915=(1-0.009) 5= 96.0009.0CC 1 5 0 5