空间坐标系与空间坐标系在立体几何中地应用有问题详解.pdf

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1、实用文档 标准文案 一空间直角坐标系 如图 1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体， 以 O 为原点，分别以射线OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC， OD的长为单位长， 建立三条数轴： x轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个空 间直角坐标系，其中点 O 叫做坐标原点 ，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面，分别称为xOy 平面、 zOx 平面、 yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右 手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，中指指向 z 轴的正方向 二空间直角坐标系中的坐标 空间一点 M 的

2、坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 作M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的 横坐标，y 叫做点 M 的 纵坐标， z叫做点 M 的竖坐标 例 1在空间直角坐标系中，作出点M(6，2,4) 例 2长方体 ABCDA1B1C1D1中， |AB|a，|BC|b，|CC1|c，将此长方体放到空间直角坐标 系中的不同位置 (如图 3)，分别写出长方体各顶点的坐标 变式 1：棱长为 2 的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的 坐标。 实用文档 标准文案 2.底面为边长为 4 的菱形，高为 5

3、的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何 体各顶点的坐标。 3. 在棱长均为 2a 的正四棱锥 PABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系， (1)写出正四棱锥 PABCD 各顶点坐标； (2)写出棱 PB 的中点 M 的坐标 解： 连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO， PABCD 为正四棱锥，且棱长均为2a.四边形ABCD 为正方形， 且 PO平面 ABCD.OA2a.POPA 2OA2 2a 2 2a 2 2a. 以 O 点为坐标原点，OA，OB， OP 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 （1）正四棱锥PABCD 中各顶点坐标分别为A(

4、2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(2a,0,0)，D(0，2a,0)，P(0,0，2a) (2)M 为棱 PB 的中点，由中点坐标公式，得M(00 2 ， 2a0 2 ，0 2a 2 )，即 M(0， 2 2 a， 2 2 a) 例 3在空间直角坐标系中，点P(2,1,4) (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，1，4)的对称点的坐标 解(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(2， 1， 4) (2)由于点 P 关于

5、 xOy 平面对称后，它在x 轴、 y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P2(2,1， 4) (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3的中点，由中点坐标公式，可得 x22(2)6，y2(1)1 3， z2(4) 4 12，所以 P3(6， 3， 12) 变式：1.写出点 P(6，2，7)在 xOy面，yOz面，xOz 面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对 称的点的坐标 解： 设点 P 在 xOy 平面、 yOz 平面、 xOz 平面上的投影分别为点A，B，C，点 P 关于 xOy 平面、 yOz 平面、 xOz 平面的对称点分别为点A，B，

6、C，由 PA平面xOy，PB平面 yOz，PC平面xOz 及坐标平面的特征知，点 A(6，2,0)，点 B(0，2，7)，点 C(6,0，7)；根据点 P 关于各坐标平面对称点的特征知，点 A(6，2,7)，B( 6， 2， 7)，C(6,2， 7) 2.在棱长都为2 的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC 实用文档 标准文案 A1B1C1各顶点的坐标 正解 取 BC，B1C1的中点分别为 O，O1，连线 OA，OO1， 根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且 |OA| 3 2 23， 以 OA，OB，OO1所在的直线分别为x 轴、 y

7、轴、 z 轴建立直角坐标系，如图5 所示，则正三棱柱ABCA1B1C1各顶点 的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0， 1,0)，A1( 3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0， 1,2) 三空间向量在立体几何中的应用 1. 直线的方向向量与平面的法向量 (1) 直线 l 上的向量 e以及与 e共线的向量叫做直线l 的方向向量 (2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线 垂直于 平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作 n .此时把 向量 n 叫做平面 的法向量 2. 线面关系的判定 直线 l1的方向向量为e1(a1，b1，c1)，直线 l2的方向向量为 e2(a2，

8、b2，c2)，平面 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，平面 的法向量为 n2(x2，y2，z2) (1) 如果 l1l2，那么 e1e2e2 e1a2a1，b2b1，c2c1 (2) 如果 l1l2，那么 e1e2e1e20a1a2b1b2c1c20 (3) 若 l1，则 e1n1e1n10a1x1b1y1c1z10 (4) 若 l1，则 e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1 (5) 若 ，则 n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2 (6) 若 ，则 n1n2n1n20x1x2y1y2z1z20 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角 范围：

9、两条异面直线所成的角 的取值范围是0， 2 . 向量求法：设直线a、b 的方向向量为 a、b，其夹角为 ，则有 cos|cos |. (2) 直线与平面所成的角 范围：直线和平面所成的角 的取值范围是0， 2 . 向量求法：设直线l 的方向向量为 a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹 角为，则有 sin|cos | (3) 二面角 二面角的取值范围是 0， 二面角的向量求法： () 若 AB、CD 分别是二面角 -l-的两个面内与棱l 垂直的 异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与 CD 的夹角 (如图 ) 实用文档 标准文案 () 设 n1、n2分别是二面角 -l

10、-的两个面 、的法向量，则向量n1与 n2的夹角 (或其补角 )的大 小就是二面角的平面角的大小(如图 ) 题型 1空间向量的基本运算 例 1已知空间三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设 aAB ，bAC . (1) 求 a 和 b的夹角 ；(2)若向量 kab与 ka2b互相垂直，求k 的值 解： A( 2，0，2)，B( 1，1，2)，C(3，0，4)，aAB ，bAC ， a(1，1，0)，b(1， 0，2) (1)cos a b |a|b| 100 25 10 10 ， a 和 b 的夹角为arccos 10 10 . (2)kabk(1，1，0)(1，0，2)

11、(k1，k，2)， ka2b(k2，k， 4)，且 (kab)(ka2b)， (k1，k，2) (k2，k， 4)(k1)(k2)k282k 2k100，解得 k5 2或 2. 题型 2空间中的平行与垂直 例 2如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB2，AF1，M 是线段 EF 的中点 求证： (1) AM平面 BDE；(2) AM平面 BDF. 证明 ：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC BDN，连结 NE.则 N 2 2 ， 2 2 ， 0 ，E(0， 0，1)， A(2，2，0)，M 2 2 ， 2 2 ，1 . NE 2 2 ， 2 2

12、， 1 ，AM 2 2 ， 2 2 ，1 . NE AM 且 NE 与 AM 不共线 NEAM. NE平面 BDE ，AM?平面 BDE，AM 平面 BDE. (2) 由(1)知AM 2 2 ， 2 2 ，1 ，D(2，0，0)，F(2，2，1)，DF (0，2，1)， AM DF 0，AM DF.同理 AM BF. 又 DFBF F，AM 平面 BDF. 题型 3空间的角的计算 例 3(2013苏锡常镇二模 )如图，圆锥的高 PO4，底面半径 OB2，D 为 PO 的中点， E 为母线 PB 的中点， F 为底面圆周上一点，满足EFDE. (1) 求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值；

13、 (2) 求二面角 F-OD-E 的正弦值 解： (1) 以 O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴， OB 所在的线为y 轴， OP 所在的线为z 轴，建 立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0， 0，2)，E(0，1，2) 设 F(x0，y0， 0)(x00，y00)，且 x 2 0y 2 04，则 EF (x0，y01， 2)，DE (0，1，0)， EFDE，即 EF DE ，则 EF DE y010，故 y01. F(3，1，0)，EF (3， 0， 2)，BD (0， 2，2) 设异面直线EF 与 BD 所成角为 ，则 cos EF BD |

14、EF |BD | 4 7 2 2 14 7 . (2) 设平面 ODF 的法向量为n1(x1，y1，z1)，则 n1OD ， n1OF ， 即 z10， 3x1y10. 令 x11，得 y13，平面 ODF 的一个法向量为n1(1，3，0)设平面 DEF 的法向量为n2(x2，y2，z2)， 同理可得平面DEF 的一个法向量为n2 1，0， 3 2 . 设二面角F-OD-E 的平面角为 ，则 |cos | n1n2 |n1|n2| 1 7 7 7 . sin 42 7 . （翻折问题）例 4. (2013 广东韶关第二次调研 )如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知 A45，C 实用文档 标准

15、文案 90，ADC105，ABBD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC(如图乙 )， 设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点 (1) 求证：DC平面 ABC； (2) 求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角 BEFA 的余弦值 解： (1) 平面 ABD 平面 BDC ，又 ABBD ，AB 平面 BDC ，故 AB DC，又 C90，DCBC， BCABC 平面 ABC ， DC?平面 ABC ，故 DC平面 ABC. (2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示， 设 CDa，则 BD AB2a，

16、BC3a，AD 2 2a，可得 B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0 ， 0，2a)，C 3 2a， 3 2 a，0 ， F(a，0，a)，CD 1 2a， 3 2 a，0 ，BF (a，0，a) 设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ，由 (1)知 DC平面 ABC ， cos 2 CD BF |CD | |BF | 1 2a 2 a2a 2 4 ，sin 2 4 . (3) 由(2)知 FE平面 ABC, 又 BE平面 ABC ，AE平面 ABC ， FE BE，FE AE， AEB 为二面角BEFA 的平面角.在AEB 中， AEBE 1 2AC 1 2 AB 2 BC2 7 2

17、 a， cosAEB AE 2BE2AB2 2AEBE 1 7，即所求二面角 BEFA 的余弦为 1 7. 课后巩固练习：1.(2013 江苏卷 )如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC 中， ABAC，ABAC 2， A1A4，点 D 是 BC 的中点 (1) 求异面直线A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 解： (1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以 A1B (2，0， 4)，C1D

18、 (1， 1， 4) 因为 cosA1B ，C1D A1B C1D |A1B |C1D | 18 2018 3 10 10 ，所以异面直线A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 3 10 10 . (2) 设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)， 因为 AD (1，1，0)，AC 1 (0，2，4)，所以 n1AD 0，n1AC 1 0，即 xy0 且 y2z0， 取 z1，得 x2， y 2，所以， n1(2， 2，1)是平面 ADC1的一个法向量 取平面 AA 1B 的一个法向量为n2(0，1，0)， 设平面 ADC1与平面 ABA 1所成二面角的大小为 . 由|cos| n1n2

19、|n1|n2| 2 91 2 3，得 sin 5 3 . 因此，平面ADC 1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 5 3 . 2. (2013新课标全国卷)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中， D、 E 分别是 AB、BB1的中点， AA1AC CB 2 2 AB. (1) 证明： BC1平面 A1CD；(2) 求二面角DA1CE 的正弦值 (1) 证明： 连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点 又 D 是 AB 中点，连结DF，则 BC1DF. 实用文档 标准文案 因为 DF平面 A1CD，BC1?平面 A1CD， 所以 BC1平面 A1CD. (2) 由 AC CB

20、 2 2 AB 得 ACBC. 以 C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设 CA 2，则 D(1，1，0)，E(0，2，1)， A1(2，0， 2)，CD (1， 1，0)，CE (0，2，1)，CA1 (2，0，2) 设 n(x1， y1，z1)是平面 A1CD 的法向量，则 n CD 0， nCA1 0， 即 x1y10， 2x12z10. 可取 n(1， 1， 1) 同理，设m 为平面 A1CE 的法向量，则 m CE 0， mCA1 0. 可取 m(2，1， 2) 从而 cosn，m n m |n|m| 3 3 ，故 sinn，m 6 3

21、 .即二面角D-A1C-E 的正弦值为 6 3 . 3. (2013重庆 )如图所示，四棱锥PABCD 中， PA底面 ABCD ，BCCD 2， AC4， ACB ACD 3 ，F 为 PC 的中点， AFPB. (1) 求 PA 的长； (2) 求二面角B-AF-D 的正弦值 解： (1) 如图，连结BD 交 AC 于 O，因为 BCCD，即 BCD 为等腰三角形，又AC 平分 BCD ， 故 AC BD.以 O 为坐标原点， OB 、OC 、AP 的方向分别为x 轴、 y 轴、z 轴的正方向，建立 空间直角坐标系Oxyz，则 OCCDcos 3 1，而 AC 4，得 AO ACOC3.又

22、 ODCDsin 3 3，故 A(0， 3，0)， B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(3，0，0) 因为 PA底面 ABCD ，可设 P(0， 3，z)，由 F 为 PC 边中点，得F 0， 1， z 2 ，又 AF 0，2， z 2 ，PB (3，3， z)，因 AFPB，故 AF PB 0，即 6 z 2 2 0，z23(舍去 23)，所以 |PA |2 3. (2) 由(1)知AD (3，3，0)，AB (3，3，0)， AF (0，2，3)设平面FAD 的法向量为n1(x1，y1，z1)， 平面 FAB 的法向量为n2(x2，y2，z2) 由 n1AD 0，n1AF 0， 得 3

23、x13y10， 2y1 3z10， 因此可取n1(3，3， 2)由 n2AB 0，n2AF 0， 得 3x23y2 0， 2y2 3z20， 故可取 n2(3，3，2)从而向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1， n2 n1 n2 |n1| |n2| 1 8. 故二面角B-AF-D 的正弦值为 3 7 8 . 4. (2013连云港调研 )在三棱锥SABC 中，底面是边长为2 3的正三角形，点S 在底面 ABC 上的 射影 O 恰是 AC 的中点，侧棱SB 和底面成45角 (1) 若 D 为侧棱 SB 上一点，当 SD DB 为何值时， CD AB； (2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大

24、小 解： 以 O 点为原点， OB 为 x 轴， OC 为 y 轴， OS 为 z 轴建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意知 SBO 45， SO 3.O(0， 0，0)，C(0，3，0)，A(0，3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0) 实用文档 标准文案 (1) 设BD BS (0 1)，则 OD (1)OB OS (3(1 )，0，3)，所以 CD (3(1 )，3，3) 因为 AB (3，3， 0)，CDAB ，所以 CD AB 9(1) 30，解得 2 3. 故 SD DB 1 2时， CDAB. (2) 平面 ACB 的法向量为n1(0，0，1)，设平面 SBC 的法向量n2

25、(x，y，z)，则 n2SB 0，n2 SC 0，则 3x3z0， 3y3z0， 解得 xz， y3z， 取 n2(1，3，1)， 所以 cosn1，n2 3 01011 1 212（ 3）21 5 5 . 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为 5 5 . 5. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA12，底面是边长为 1 的正方形， E、F 分别是棱B1B、DA 的中点 (1) 求二面角D1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF平面 AD1E. (1) 解：以 D 为坐标原点，DA 、DC、DD1分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图 则相应点的坐

26、标分别为D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)， ED1 (0， 0，2)(1， 1，1)(1， 1，1)， AE (1，1，1)(1， 0，0)(0，1，1)， AC (0，1，0) (1， 0，0)(1，1，0) 设平面 AED1、平面 AEC 的法向量分别为m(a，b，1)，n(c，d，1) 由 ED1 m0， AE m0 T ab10， b 10 T a 2， b 1， 由 AC n0， AE n0 T cd0， d10 T c 1， d 1， m(2， 1，1)，n (1， 1，1)， cosm，n m n |m| |n| 211 63 0，二面角D

27、1AEC 的大小为 90 . (2) 证明 ：取 DD1的中点 G，连结 GB、GF. E、F 分别是棱BB1、AD 的中点， GF AD 1，BED1G 且 BED1G，四边形BED1G 为平行四边形，D1EBG. 又 D1E、D1A 平面 AD1E，BG、GF平面 AD1E， BG平面 AD 1E，GF平面 AD1E. GF、 GB平面 BGF，平面BGF平面 AD1E. BF平面 AD 1E，直线BF平面 AD1E. (或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF平面 AD1E，亦可 ) 6. (2013苏州调研 )三棱柱 ABC A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中， 已知

28、AB2，AC 4，A1A3.D 是 BC 的中点 (1) 求直线 DB1与平面 A1C1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值 解： (1) 由题意， A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2， 0，3)，C1(0，4，3).A1D (1，2， 3)，A1C1 ( 0，4，0). 设平面 A1C1D 的一个法向量为 n(x，y，z)n A1D x2y3z0，nA1C1 4y0. x3z，y0.令 z1，得 x3.n(3， 0，1)设直线DB 1与平面 A1C1D 所成角为 ， DB1 (1， 2，3)，sin

29、 |cosDB1 n|310（ 2） 13 1014 3 35 35 . (2) 设平面 A1B1D 的一个法向量为m(a，b，c) A1B1 (2，0，0)，mA1D a 2b3c0，mA1B1 2a 0，a0，2b3c.令 c2，得 b3.m(0，3，2) 实用文档 标准文案 设二面角B1A1DC1的大小为 ， |cos| cos|m，n| |m n| |m| |m| |03 3021| 1310 2 65 ，则 sin 3 7 65 3 455 65 . 二面角 B1A1DC1的正弦值为 3 455 65 . 7. (2013 南通二模 )如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， A1B平面

30、ABC，ABAC ，且 AB ACA1B 2. (1) 求棱 AA1与 BC 所成的角的大小； (2) 在棱 B1C1上确定一点 P，使二面角P ABA1的平面角的余弦值为 2 5 5 . 解： (1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)， B(0， 2，0)，A1(0， 2， 2)，B1(0，4， 2)，AA1 (0，2，2)，BC B1C1 (2， 2，0)cos AA1 ，BC AA1 BC |AA1 |BC | 4 8 8 1 2，故 AA 1与棱 BC 所成的角是 3 . (2) P 为棱 B1C1中点，设 B1P B1C1 (2 ， 2 ，0)，则 P(2 ，

31、42 ，2) 设平面 PAB 的法向量为n1(x，y，z)，AP (2 ，42 ，2)， 则 n1AP 0， n1AB 0. x2yyz0， 2y0. z x， y0. 故 n1(1， 0， )， 而平面 ABA 1的法向量是 n2(1，0，0)，则 cos n1，n2 n1n2 |n1|n2| 1 1 2 2 5 5 ，解得 1 2，即 P 为棱 B 1C1 中点，其坐标为P(1， 3，2) 近六年高考题 1. 【2010 高考北京理第 16 题】 (14 分) 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， CE AC ， EF AC ，AB 2，CE EF 1. (1)

32、 求证：AF平面BDE； (2) 求证：CF平面BDE；(3) 求二面角A-BE-D的大小 【答案】 设 AC与 BD交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1 ，AG= 1 2 AC=1. 所以四边形AGEF为平行四边形 .所以 AF/平面 EG ， 因为EG平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF/平面 BDE. （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以 CE平面 ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.则 C（0，0，0） ，A（2，2，0） ， B（0，2，0）. 所以 22 (,1) 22 CF，(0,2,1)BE，(2,0

33、,1)DE.所以01 10CF BE,1010CF DE 所以CFBE,CFDE.所以CFBDE. (III) 由 （II） 知， 22 (,1) 22 CF是平面 BDE的一个法向量.设平面 ABE的法向量( , , )nx y z,则0n BA，0n BE. 实用文档 标准文案 即 ( , , ) ( 2,0,0) 0 ( , , ) (0,2,1) 0 x y z x y z 所以0,x且2 ,zy令1,y则2z. 所以(0,1,2)n. 从而 3 cos, 2| n CF n CF n CF 。 因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为 6 . 2 【2011 高考北京理第

34、 16 题】 （共 14 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，2AB，60BAD. （1）求证：BD平面 PAC ； （2）若PAPB，求 PB与 AC所成角的余弦值； （3）当平面 PBC与平面 PDC 垂直时，求 PA的长. 3. 【2012 高考北京理第 16 题】 （本小题共 14分） 如图 1，在 RtABC 中， C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC， DE=2，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2. (I)求证： A1C平面 BCDE； (II) 若 M 是

35、A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； (III) 线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由 D P A B C 实用文档 标准文案 1342 cos 2| |143132 2 2 CMn CMn ， CM与平面 1 ABE 所成角的大小45 。 4. 【2013 高考北京理第 17 题】( 本小题共 14 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的 实用文档 标准文案 正方形平面 ABC 平面 AA1C1C ，AB 3，BC 5， (1) 求证： AA1平面 ABC ； (2) 求二面角 A1BC1B1的

36、余弦值； (3) 证明：在线段 BC1上存在点 D，使得 AD A1B，并求 1 BD BC 的值 【答案】 解： (1) 因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC. 因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC. (2) 由(1) 知AA1AC，AA1AB. 由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4) 设平面A1BC1的法向量为n (x，y，z) ，则 1 11 0, 0, A B AC n n 即 340, 40. yz

37、x 令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0) 所以 cosn，m 16 |25 n m nm . 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为 16 25 . 5. 【2014 高考北京理第 17 题】 （本小题满分 13 分） 如图，正方体 MADE 的边长为 2，B，C分别为 AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDEP中，F为棱 PE 的中点，平面 ABF 与棱 FD ，PC分别交于G， H . （1）求证：FGAB/； （2）若 PA底面 ABCDE ，且 PA AE，求直线BC与平面 ABF 所成角的大小，并求

38、线段 PH 的长. 实用文档 标准文案 实用文档 标准文案 O F E C B A 6. 【2015 高考北京，理 17】如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形， 平面AEF平面EFCB，EFBC，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF 的中点 () 求证：AOBE；() 求二面角FAEB的余弦值； () 若BE平面AOC，求a的值 【解析】 解：（）证明：AEF为等边三角形， O为EF 中点， AOEF 又平面AEF 平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO平面EFCB，AOBE， 实用文档 标准文案 （）以O为原点建立如图坐标系,0,0E a，,0,0Fa，0,0,3A

39、a ， 2,3 2,0Ba ,0,3EAaa ， 2, 3 2,0EBaa 平面AEF的法向量 0,1,0m ； 设平面AEB的法向量 , ,nx y z ， 则 030 30 0 n EAxz xy n EB 取 3, 1,1n 15 cos, 5 15 m n m n mn 又二面角FAEB为钝角，二面角FAEB的余弦值为 5 5 （） BE 平面AOC，BEOC ， 2, 3 2,0OCa ， 2 23 23 20BE OCaaa ，解得2a（舍）或 4 3 a 考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质， 利用法向量求二面角以及利用

40、数量积为零解决垂直问题. 7.【2016高考北京理数】（本小题 14 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 平面 PAD平面 ABCD， PAPD ， PAPD ， ABAD ，1AB ， 2AD ， 5ACCD .（1）求证： PD 平面 PAB； （2）求直线 PB与平面 PCD 所成角的正弦值； （3）在棱 PA上是否存在点 M ，使得/ /BM平面 PCD ？若存在，求 AM AP 的 值；若不存在，说明理由. 【解析】面 PAD 面 ABCD AD 面PAD面 ABCD ABAD，AB 面 ABCD AB面PAD PD面PADABPD又PDPAPD面PAB 取AD中点为 O ，连

41、结 CO ， PO5CDAC COADPAPD POAD以 O 为原点， 如图建系易知 (0 01)P， ， ，(110)B ， ， ，(010)D， ， ，(2 0 0)C， ， ， 则(111)PB， ，(011)PD， ，(2 01)PC，( 210)CD， ， 设 n为面 PDC 的法向量，令 00(,1)nxy， 01 1,1 2 0 n PD n n PC ，则PB与面 PCD 夹角有 1 11 3 2 sincos, 3 1 113 4 n PB n PB n PB 假设存在M点使得BM面 PCD 设 AM AP ，0, My z由（2）知0,1 ,0A，0,0,1P，0, 1,1AP，1,1,0B， 0, 1, AMyz有0,1,AMAPM1,BMBM面 PCD ， n 为 PCD 的法向量 0BMn即 1 0 2 1 = 4 综上，存在M点，即当 1 4 AM AP 时，M点即为所求 . O x y z P A B C D 实用文档 标准文案