线性代数知识点归纳.pdf

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1、标准实用 文案大全 线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ( 定义法 ) 12 12 12 11121 21222() 12 12 () n n n n nj jj njjnj j jj nnnn aaa aaa Daaa aaa 1 （降阶法） 行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122 , 0,. ijijinjn Aij a

2、Aa Aa A ij 标准实用 文案大全 ( 化为三角型行列式) 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11 22 1122 * 0* 0* 00 nn nn b b Ab bb b 若AB与都是方阵（不必同阶）, 则 = =() mn AOAAO A B OBOBB OAA A B BOBO 1 关于副对角线： (1) 2 11 2121 121 11 () n n nn nn nnn nn aOa aa a aa aOaO 1 范德蒙德行列式： 12 222 12 1 111 12 n ij n ji n nnn n xxx xxxxx xxx 111 ab型公式： 1

3、(1) () n abbb babb anb abbbab bbba ( 升阶法 ) 在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ( 递推公式法 ) 对n阶行列式 n D找出 n D与 1n D或 1n D, 2n D之间的一种关系称为递推公式，其中 n D, 1n D, 2n D等结构相同，再由递推公式求出 n D的方法称为递推公式法. (拆分法 ) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ( 数学归纳法 ) 2. 对于n阶行列式A，恒有： 1 ( 1) n nknk k k EAS，其中 k S为 k 阶主子式；

4、 3. 证明0A的方法： 标准实用 文案大全 、AA； 、反证法； 、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解； 、利用秩，证明()r A n ； 、证明0 是其特征值 . 4. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1) ijij ijijijij MAAM 第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆 3. 矩阵的秩的性质 4. 矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 称为mn矩阵 . 记作： ij m n Aa或 m n A 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等 : 两个矩阵

5、同型，且对应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵 A的乘积记作A 或A，规定为() ij Aa. c. 矩阵与矩阵相乘：设() ijm s Aa, () ijs n Bb, 则() ijm n CABc， 其中 1 2 121 122 (,) j j ijiiisijijissj sj b b caaaa ba ba b b 注： 矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式 00 ABBA ABA或B=0 不成立 . 标准实用 文案大全 a. 分块对角阵相乘： 1111 2222 , AB AB AB 1111 2222 A

6、 B AB A B , 11 22 n n n A A A b. 用对角矩阵 左 乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 行向量； 1111211 111 121 1 22122222122222 1212 00 00 00 nn nn mmmmnmmmmmmn abbbababa b abbba ba ba b B abbba ba ba b c. 用对角矩阵 右乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 列向量 . 1112111 112 121 2122221212222 121122 00 00 00 nmn nmn mmmnmmmmmn bbbaaba b

7、a b bbbaa ba ba b B bbbaa ba ba b d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 方阵的幂的性质： mnm n A AA，()() mnmn AA 矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 T A. a. 对称矩阵和反对称矩阵: A是对称矩阵 T AA. A是反对称矩阵 T AA. b. 分块矩阵的转置矩阵： T TT TT ABAC CDBD 伴随矩阵： 11211 12222* 12 n T n ij nnnn AAA AAA AA AAA ， ij A为A中各个元素的代数余子式. * AAA AA E, 1 *

8、 n AA, 1 1 AA. 分块对角阵的伴随矩阵： * * * ABA BAB * ( 1) ( 1) mn mn AA B BB A 标准实用 文案大全 2. 逆矩阵的求法方阵A可逆0A. 伴随矩阵法 1 A A A 注 ： 1 abdb cdcaadbc 1主换位 副变号 初等变换法 1 ()()A EE A 初等行变换 分块矩阵的逆矩阵： 1 1 1 AA BB 1 1 1 AB BA 1 111 ACAA CB OBOB 1 1 11 AOAO CBBCAB 1 2 3 11 1 1 2 1 3 a a a a a a , 3 2 1 11 1 1 2 1 3 a a a a a a

9、 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义 1 ABBAEAB ） 3. 行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 称为 行最简形矩阵 4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换 初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式 ij rr ( ij cc )( , )E i j 1 ( , )( , )E i jE i j( , )E i j1 irk(ick) ( ( )E i k 1 1 ( ) ( ) k E i kE i

10、( )E i kk 矩阵转置的性质：() TT AA() TTT ABB A T AA 11 ()() TT AA()() TT AA 矩阵可逆的性质： 11 ()AA 111 ()ABBA 1 1 AA 11 ()() kkk AAA 伴随矩阵的性质： 2 () n AAA()ABB A 1n AA 11 ()() A A AA ()() kk AA () ()1 ()1 0 ()1 nr An r Ar An r An 若 若 若 ABA B k k AAAAA AA E（无条件恒成立） 标准实用 文案大全 ij rrk( ij cck)( , ( )E i j k 1 , ( ) , (

11、)E i j kE i jk , ( )E i j k1 ?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对A施行一次初等 行 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵 左 乘A； 对A施行一次初等 列变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵 右乘A. 注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩关于 A 矩阵秩的描述： 、()r Ar ， A中有r阶子式不为0，1r阶子式 ( 存在的话 ) 全部为 0； 、()r Ar ， A的r阶子式全部为0； 、()r Ar ， A中存在r阶子式不为0； ? 矩阵的秩的性质： ()AOr A1; ()0AOr A;

12、0() m n r Amin( , )m n ()()() TT r Ar Ar A A ()()r kAr Ak其中0 ( )() ,() 0 m nn s r Ar Bn ABr AB BAx 若若0 的列向量全部是的解 ()r ABmin( ), ( )r A r B 若 P 、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. 若 ()( ) () m n Ax r ABr B r An ABOBO A ABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律 ； 若 ()() () n s r ABr B r Bn B在矩阵乘法中有右消去律 . ( )

13、rr EOEO r ArAA OOOO 若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型 . ()r AB()( )r Ar B, max( ), ()r A r B( ,)r A B()()r Ar B ( )( ) AOOA rr Ar B OBBO , ( )( ) AC rr Ar B OB 标准实用 文案大全 ?求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法 6 矩阵方程的解法(0A) ：设法化成AXBXAB(I)或 (II) A BE X 初等行变换 (I) 的解法：构造()() AE BX 初等列变换 (II)的解法：构造 TTT T A XB XX (II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I) 的

14、方法求出，再转置得 第三部分线性方程组 1. 向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩 4. 向量空间 5. 线性方程组的解的判定 6. 线性方程组的解的结构（通解） （1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1. 线性表示： 对于给定向量组 12 , n，若存在一组数12 , n k kk使得 1122nn kkk， 则称是 12 , n的线性组合，或称称 可由 12 , n的线性表示 . 线性表示的判别定理: 可由 12 , n的线性表示 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： 、 11112211 211

15、22222 1122 nn nn mmnmnn a xaxaxb a xaxaxb axaxaxb 有解 、 1112111 2122222 12 n n mmmnmm aaaxb aaaxb Ax aaaxb 标准实用 文案大全 、 1 2 12n n x x aaa x （全部按列分块，其中 1 2 n b b b ）； 、 1122nn a xa xa x（线性表出） 、有解的充要条件：()(,)r Ar A n （ n为未知数的个数或维数） 2.设, m nn s ABA的列向量为 12 , n,B的列向量为12 , s， 则 m sABC 11121 21222 1212 12 ,

16、s s ns nnns bbb bbb c cc bbb iiAc，(, )is1,2 i为i Axc的解 121212 , sss AAAAc cc 12 , s c cc可由 12 , n线性表 示. 即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵 . 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵 . 即： 1112111 2122222 12 n n nnmnnm aaac aaac aaac 111122121 211222222 11222 n n mmmnm aaac aaac aaac 3. 线性相关性 标准实用 文案大全 判别方法： 法 1 法 2 法 3 推论 标

17、准实用 文案大全 ? 线性相关性判别法（归纳） ? 线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关 . （向量个数变动） 原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组 12 , n中任一向量i(1i )n都是此向量组的线性组合. 若 12,n线性无关，而12,n线性相 关, 则可由 12 , n线性表示 , 且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识 向量组的秩向量组

18、 12 , n的极大无关组所含向量 的个数，称为这个向量组的秩. 记作 12 (,) n r 标准实用 文案大全 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 向量组等价 12,n和 12,n可以相互线性表示 . 记作： 1212 , nn 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组 12 , s可由向量组12 , n线性表示 , 且s n，则 12 , s线性相关 . 向量组 12 , s线性无关 , 且可由12 , n线性表示 , 则sn. 向量组 12 , s可由向量组12 , n

19、线性表示 , 且12 (,) s r 12 (,) n r, 则两向量组等价； 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设A是mn矩阵 , 若( )r Am，A的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论 线性方程组的矩阵式Ax向量式 1122nn xxx 1112111 2122222 12 , n n mmmnnm aaaxb aaaxb Ax aaaxb 其中 1 2 ,2, j j j mj jn1 （1）解得判别定理 标准实用 文案大全 （2）

20、线性方程组解的性质： 1212 12 121122 1212 (1), (2), (3), , (4), (5), (6 k kkk Ax Axk k Axk AxAxAx AxAx 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解 齐次方程组 是的解 对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 2112 12 112212 112212 ), (7), 1 00 k kkk kkk AxAx Ax Ax Ax 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则 也是的解 是的解 (3) 判断 12 , s是 Ax的基础解系的条件： 12 , s线性无关； 12 ,

21、s都是 Ax的解； ()snr A每个解向量中自由未知量的个数. (4) 求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤 12 112 (1() (2)()() (3) (4)1 0,., (5) A b r A br Arn nr Axb Ax Axb xkk 0 n-r 0 ) 将增广矩阵通过初等行变换化为； 当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元； 令所有自由元为零，求得的一个； 不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的; 写出非齐次线性方程组的 阶梯形矩阵 特解 基础 解系 通解 2 12 . ,., n rn r n r k k kk其中为任意常数 . 标准

22、实用 文案大全 （5）其他性质 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是Ax的一个解， 1, ,s是Ax的一个解 1, , , s 线性无关 Ax与Bx同解（,A B列向量个数相同）()() A rr Ar B B , 且有结果： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵 m n A与 l n B的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P）； 矩阵 m n A与 l n B的列向量组等价AQB（右乘可逆矩阵Q） . 第四部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算

23、 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化 1.标准正交基n个n维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1. 向量 12 , T n a aa与 12 , T n b bb的内积 1 122 1 (,) n iinn i a ba ba ba b 与正交( ,)0. 记为： 向量 12 , T n a aa的长度 2222 12 1 ( ,) n in i aaaa 是单位向量 (,)1. 即长度为 1的向量 . 2. 内积的性质 ： 正定性 ：( ,)0,(,)0且 对称性 ：( ,)(,) 标准实用 文案大全 线性性 ： 1212 (,)(,)(,) (,)(,)kk 3.

24、设A是一个n阶方阵 , 若存在数和n维非零列向量x, 使得 Axx， 则称是方阵A的一个特征值，x为方阵A的对应于特征值的一个特征向量. A的特征矩阵0EA（或0AE）. A的特征多项式( )EA（或( )AE） . ( )是矩阵A的特征多项式()AO 12n A 1 n i A tr，Atr称为矩阵A的迹 . 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 . 若0A, 则0为A的特征值 , 且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量. ()1r AA一定可分解为A= 1 2 12 , n n a a bbb a 、 2 1 122 () nn Aa ba ba bA, 从而

25、A的特征值 为： 11 122nn Aa ba ba btr, 23n 0. 注 12 , T n a aa为A各行的公比， 12 , n b bb为A各列的公比 . 若A的全部特征值 12 , n， ()f A是多项式 , 则: 若A满足()f AOA的任何一个特征值必满足() i f0 ()fA的全部特征值为 12(),(),()nfff；12( )() ()()nf Afff. A与 T A有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法 (1) 写出矩阵A的特征方程0AE，求出特征值 i. (2) 根据()0 i AE x得到A对应于特征值 i的特征向量 . 标准实

26、用 文案大全 设()0 i AE x的基础解系为12, i n r 其中() ii rr AE. 则A对应于特征值 i的全部特征向量为1 122 , ii nrn r kkk 其中 12 , i nr k kk为任意不全为零的数. 5.A与B相似 1 P APB（P为可逆矩阵 ） A与B正交相似 1 PAPB（P为正交矩阵 ） A可以相似对角化A与对角阵相似 . （称是A的相似标准形） 6. 相似矩阵的性质： EAEB, 从而,A B有相同的特征值, 但特征向量不一定相同. 注 是A关于 0的特征向量 , 1 P 是B关于 0的特征向量 . ABtrtr AB从而,A B同时可逆或不可逆 ()

27、()r Ar B 若A与B相似 , 则A的多项式()fA与B的多项式()fA相似 . 7. 矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵A可对角化 ( 即相似于对角阵) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 这时 ,P为A的特征向量拼成的矩阵， 1 PAP为对角阵 , 主对角线上的元素为A的特征值 . 设 i为对应于 i 的线性无关的特征向量, 则有： 1 21 n P AP . A可相似对角化() ii nrEAk，其中 i k为 i 的重数A恰有n个线性无关的特征向量. 注：当 i0为A的重的特征值时，A可相似对角化 i的重数 ()nr AAx基础解系的个数. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值A

28、可相似对角化. 标准实用 文案大全 8. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数, 特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量. 若A有重的特征值, 该特征值 i 的重数 =() i nrEA； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值. 9. 正交矩阵 T AAE 正交矩阵的性质： 1T AA； TT AAA AE； 正交阵的行列式等于1 或-1 ； A是正交阵 , 则 T A，

29、1 A也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组. 10. 标准实用 文案大全 11.施密特正交规范化 123 ,线性无关 , 11 21 221 11 3132 3312 1122 (,) (,) (,)(,) (,)(,) 正交化 单位化： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量 代入方程，确定其自由变量. 第四部分二次型 1. 二次型及其矩阵形式 2. 二次型向标准形转化的三种方式 3. 正定矩阵的判定 1. 二次型 111211 212222 1212 11 1

30、2 (,)(,) n nn n T nijijn ij nnnn n aaax aaax f x xxa x xxxxx Ax aaax 其中A为对称矩阵， 12 (,) T n xx xx A与B合同 T C ACB. （,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵） 正惯性指数二次型的规范形中正项项数 p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp 符号差2 pr (r为二次型的秩) 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：()( )r Ar B 标准实用 文案大全 2. 12 (,) T n f x xxx Ax

31、经过 正交变换 合同变换 可逆线性变换 xCy化为 2 1 n ii fd y 标准形 . 正交变换法 配方法 （1）若二次型含有 i x的平方项，则先把含有 i x的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; （2） 若二次型中不含有平方项，但是0 ij a (ij), 则先作可逆线性变换 1,2, iij jij kk xyy xyyknki j xy 且, 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1) 中方法配方 . 初等变换法 3.正定二次型 12 , n xxx不全为零， 12 (,) n f x xx0. 正定矩阵正定二

32、次型对应的矩阵. 4.( ) T f xx Ax为正定二次型（之一成立）： （1）x， T x Ax0； （2）A的特征值全大于0； （3）f的正惯性指数为n； 标准实用 文案大全 （4）A的所有顺序主子式全大于0； （5）A与E合同，即存在可逆矩阵C使得 T C ACE； （6）存在可逆矩阵P，使得 T AP P； 5.（1）合同变换不改变二次型的正定性. （2） A为正定矩阵 ii a0；0A. （3）A为正定矩阵 1 , T AAA也是正定矩阵. （4） A与B合同，若A为正定矩阵B为正定矩阵 （5）,A B为正定矩阵AB为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵. 6. 半正定矩阵的判

33、定 一些重要的结论 ( ) , n T A r An A A AxxAx A Ax A A AE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为 0 只有零解， 0 总有唯一解 是正定矩阵 R 12 , si Ap ppp nBABEABE 是初等阵 存在 阶矩阵使得或 标准实用 文案大全 注 ：全体n维实向量构成的集合 n R叫做n维向量空间 . ( ) A r An AA A AxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是 的特征值 有非零解 , 其基础解系即为关于0的特征向量 具有 向量组等价 矩阵等价 () 反身性、对称性、传递性 矩阵相似 () 矩阵合同 () 关于 12 , n e ee： 称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； 12,ne ee线性无关； 12 ,1 n e ee； tr =E n； 任意一个n维向量都可以用 12 , n e ee线性表示 .