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1、标准实用 文案大全 线面角的三种求法 1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是 解由斜线段， 垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元 素，它可以起到联系各线段的作用。 例 1 （ 如图 1 ） 四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直， SBA=45 , SBC=60 , M 为 AB 的中点，求（ 1）BC与平面 SAB所成的角。 （2）SC与平面 ABC所成的角。 解: （1） SC SB,SC SA, B M H S C A 图 1 SC 平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB上的射影， SBC是直
2、线 BC与平面 SAB所成的角为60。 （2） 连结 SM,CM ，则 SM AB, 又 SC AB,AB 平面 SCM, 面 ABC 面 SCM 过 S作 SHCM 于 H, 则 SH平面 ABC CH即为 SC 在面 ABC内的射影。 SCH 为SC与平面 ABC 所成的角。 sin SCH=SH SC SC与平面 ABC所成的角的正弦值为77 （ “垂线”是相对的，SC是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线 . 作面的垂线常根据面面垂 直的性质定理， 其思路是： 先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂 线，则得面的垂线。 ） 2. 利用公式 sin =h 其中是斜
3、线与平面所成的角， h 是 垂线段的长， 是斜线段的长，其中求出垂线段 的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线 段的长。 例 2 （ 如图 2）长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求 AB与面 AB1C1D 所成 的角。 解：设点 B 到 AB1C1D的距离为 h, VB AB1C1=VABB1C113SAB1C1h= 1 3 SBB1C1AB ，易得 h=125 设 AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=h AB=4 5 标准实用 文案大全 A 1 C1 D1 H 4 C B 1 2 3 B
4、A D 图 2 AB与面 AB1C1D 所成的角为arcsin 45 3. 利用公式cos=cos1cos2 （如图 3） 若 OA为平面的一条斜线，O 为斜足， OB 为OA 在面内的射影， OC 为面内的 一条直线，其中为OA 与OC 所成的角， B O A C 图 3 1为OA 与OB 所成的角，即线面角， 2为OB 与OC 所成的角，那么 cos =cos1cos2（同 学们可自己证明） ，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一 切角中最小的角（常称为最小角定理） 例 3（如图 4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60, ，求直线OA 与 面 OBC所
5、成 的角的余弦值。 解： AOB= AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线OD上，则 AOD即为 OA与面 OBC 所成的角，可知 DOC=30 ,cos AOC=cos AOD cosDOC cos60=cosAOD cos30 cos AOD= 33 OA 与 面 OBC所成的角的余弦值为33。 O D A C B 图 4 （一）复习： 1直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内） 2 思考： 当直线a与平面的关系是aA时， 如何反映直线与平面的相对位置关系呢？ （可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量） （二）新课讲解： 1平面的斜线和平面所成的角：
6、标准实用 文案大全 已知，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面，B为垂足，则直 线AB是 斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C， 又设AO与AB所成角为 1， AB与AC所成角为 2， AO与AC所成角为，则易知： 1 | | cosABAO， 212 | | cos| coscosACABAO 又| |cosACAO， 可以得到： 12 coscoscos， 注意： 2 (0,) 2 （若 2 2 ，则由三垂线定理可知， OAAC，即 2 ；与“AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C” 不相符）。 易得： 1 coscos又 1 ,(0
7、,) 2 即可得： 1 则可以得到： （1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成 角中最小的角； （2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平 面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。 说明 ：1若a，则规定a与所成的角是直角； 2若/a或a，则规定a与所成的角为0； 3直线和平面所成角的范围为：090； 4 直 线 和 平 面 所 成 角 是 直 斜 线 与 该 平 面 内 直 线 所 成 角 的 最 小 值 （ 12 coscoscos） 。 2例题分析： 例 1如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜足，,AOO为垂足，B
8、C为内 的一条直线，60 ,45ABCOBC，求斜线AB和平面所成角。 解：AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角， 又 12 coscoscos， coscos60122 cos coscos45222 ABC ABO CBO ， 45BAO，即斜线 AB和平面 所成角为45 例 2如图，在正方体 1 AC中，求面对角线 1 A B与对角面 11 BB D D所成的角。 解 （法一）连结 11 AC与 11 B D交于O，连结OB， 111 DDAC， 1111 B DAC， 1 AO平面 11 BB D D， 1 A BO是 1 A B与对角面 11 BB D D所成的角
9、， 在 1 Rt A BO中， 11 1 2 AOA B， 1 30A BO （法二）由法一得 1 A BO是 1 A B与对角面 11 BB D D所成的角， 又 11 2 coscos45 2 A BB， 1 1 6 cos 3 B B B BO BO ， 2 1 O C B A O C B A 1 B 1 A 1 C A B C 1 D D O 标准实用 文案大全 11 1 1 2 cos3 2 cos cos2 6 3 A BB A BO B BO ， 1 30A BO 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹 角。另外，在条件允许的情况下，用公
10、式 21 coscoscos求线面角显得更加方便。 例 3已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。 解：过A作AO平面BCD于点O，连接,CO BO DO， ABACAD，O是正三角形BCD的外心， 设四面体的边长为a，则 3 3 COa， 90AOC，ACO即为AC与平面BCD所成角， 3 cos 3 ACO，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为 3 3 五课堂练习：课本第45 页练习第 1，2，3 题；第 47 页习题 9.7 的第 1 题。 六小结： 1线面角的概念； 2 12 coscoscos及应用步骤： 12 ,在图形中所表示的角。 七作业：课本第45 页练习第 4 题、第 47 页习题 9.7 的第 2 题。 补充： 1 如图，PA是平面的斜线，BAC在平面内，且满足90BAC，又已知 60PABPAC，求PA和平面所成的角。 2如图，已知 PA 正方形 ABCD所在平面，且 24,6 10PCPBPD，求PC和平 面ABCD所成的角。 O D C B A A P C B A B C D P 标准实用 文案大全 标准实用 文案大全 标准实用 文案大全 标准实用 文案大全