行列式地计算技巧与方法总结材料(修改版).pdf

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1、标准实用 文案大全 行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2. 行列式计算的几种常见技巧和方法 2.1 定义法 2.2 利用行列式的性质 2.3 降阶法 2.4 升阶法（加边法） 2.5 数学归纳法 2.6 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.2 构造法 3.3 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 4.1 三角形行列式 4.2 “爪”字型行列式 4.3 “么”字型行列式 4.4 “两线”型行列式 4.5 “三对角”型行列式 4.6 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 5.1 降阶法和递推法 5.2 逐行相加减和套

2、用范德蒙德行列式 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 标准实用 文案大全 1.2 行列式的性质 性质 1 行列互换，行列式不变即 nn aaa aaa aaa aaa aaa aaa n2n1 n22212 n12111 nnn2n1 2n2221 1n1211 . 性质 2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式即 nnn2n1 ini2i1 n11211 kkk aaa aaa aaa k nn aaa aaa aaa n2n1 ini2i1 n11211 . 性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的 和，且这两个行列式除去该行（或列）

3、以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列） 一样即 111211112111121 11221212 121212 . nnn nnnn nnnnnnnnnnnn aaaaaaaaa bcbcbcbbbccc aaaaaaaaa 性质 4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零即 k aaa kakaka aaa aaa nnnn inii inii n 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 =0. 性质 5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变即 标准实用 文案大全 nnnn

4、 knkk kninkiki n aaa aaa caacaacaa aaa 21 21 2211 11211 nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 . 性质 6对换行列式中两行的位置，行列式反号. 即 nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 =- nnnn inii knkk n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 . 性质 7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零即 00000 nn1 -nn,n2n1 n11-n,11211 aaaa aaaa

5、. 2、行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时， 计算量大， 有一定的局限性 例 1 计算行列式 0004 0030 0200 1000 . 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 244！ 项，但由于出现很多的零，所以不 等于零的项数就大大减少具体的说，展开式中的项的一般形式是 4321 4321jjjj aaaa显然，如 标准实用 文案大全 果4 1 j，那么0 11j a，从而这个项就等于零因此只须考虑4 1 j的项，同理只须考虑 1,2, 3 432 jjj的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314 a

6、aaa，而 64321，所以此项取正号故 0004 0030 0200 1000 = 241 41322314 4321 aaaa . 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形. 该方法适用于低阶行列式 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下： nnn n n aaa a aa aaa aaaa 2211 nn 333 22322 1131211 000 00 0 ， nn nnnnn aaa aaaa aaa aa a 2211 321 333231 2221 11 0 00 000 . 例 2 计算行列式 nn n n baaa

7、 aaba aaa 21 211 21 1n 1 1 1 D. 解析：观察行列式的特点， 主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形 解：将该行列式第一行的1倍分别加到第2,3 （1n）行上去，可得 12 1 n 112 1 0000 D 000 n n n aaa b bbb b . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素 均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法 标准实用 文案大全 例 3 计算行列式 mxxx xmxx x

8、xmx D n n n n 21 21 21 . 解： mxxmx xmxmx xxmx n n i i n n i i n n i i 2 1 2 1 2 1 n D mxx xmx xx mx n n n n i i 2 2 2 1 1 1 1 m m xx mx n n i i 00 00 1 2 1 mxm n i i n 1 1 . 2.2.3 滚动消去法 当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍， 这种方法叫滚动消去法 例 4 计算行列式2 1221 23123 12212 1321 D n n nnn nn nn nn . 解：从最后一行开始每

9、行减去上一行，有 11111 11111 11111 1321 Dn nn 11111 20022 20002 1321nn 标准实用 文案大全 01111 00011 00001 11321 2 2 nn n2 1 211 n n n. 2.2.4 逐行相加减 对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零用连加法明显不行，这是我们可以 尝试用逐行相加减的方法 例 5 计算行列式 11111 000 0000 000 000 D 3 22 11 nn aa a aa aa . 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得： 1321 0000 0000 0000 0000 D

10、3 2 1 nn a a a a n nn n aaanaaan 21 n 21 n22 11111 . 2.3 降阶法 将高阶行列式化为低阶行列式再求解 2.3.1 按某一行（或列）展开 例 6 解行列式 1221 n 1000 0000 0010 0001 D aaaaa x x x x nnn . 解：按最后一行展开，得 nn nn n axaxaxaD 1 2 2 1 1 . 标准实用 文案大全 2.3.2 按拉普拉斯公式展开 拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了1-nk1k个行 . 由这 k 行元素所组成 的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即 nn22

11、11 AMAMAMD，其中 i A是子式 i M对应的代数余子式 即 nnnn nnnn nn BA BC A0 ， nnnn nn nnnn BA B CA 0 . 例 7 解行列式 b b b aaaa n D. 解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得 0000 000Dn b aaaa 0000 0000 2 1 nb aaaan 00 00 2 1 nb an 2 1n2 n abn . 2.4 升阶法 就是把 n 阶行列式增加一行一列变成n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算 行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法的最大特点就是要找每行或每

12、列相同的因子, 那么升 标准实用 文案大全 阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果 其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一 般行列的位置 例 8 解行列式D= 01111 10111 11011 11101 11110 . 解：使行列式D变成1n阶行列式，即 01110 10110 11010 11100 11111 D. 再将第一行的1倍加到其他各行，得： D= 10001 01001 00101 00011 11111 . 从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得： 10000 01000 00100 00010

13、1111)1n D （ 1n1 1n . 2.5 数学归纳法 有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法 标准实用 文案大全 去证明对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法 例 9 计算行列式 cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos n D. 解: 用数学归纳法证明. 当 1n 时，cos 1 D. 当2n时， 2cos1cos2 cos21 1cos 2 2 D. 猜想，nDn cos. 由上可知，当1n，2n时，结论成立 假设当 kn 时，结论成立即：kDk cos. 现证当1kn时，结论也成立 当

14、1kn时， cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos 1k D. 将 1k D按最后一行展开，得 cos2000 0cos210 01cos21 001cos cos21D 11 1k kk 1000 0cos210 01cos21 001cos 1 1 kk 标准实用 文案大全 1 cos2 kk DD. 因为 kDkcos，sinsincoscoscos1cos 1 kkkkDk ， 所以 1k D 1 cos2 kk DD sinsincoscoscoscos2kkk sinsincoscoskk 1cos k. 这就证明了当1kn时也成立，

15、从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立 即：nDn cos. 2.6 递推法 技巧分析：若n阶行列式D满足关系式 0 21nnn cDbDaD. 则作特征方程 0 2 cbxax. 若 0，则特征方程有两个不等根，则 1 2 1 1 nn n BxAxD 若0，则特征方程有重根 21 xx，则 1 1 n n xnBAD 在中， A，B均为待定系数，可令2, 1 nn求出 例 10 计算行列式 9400000 5940000 0005940 0000594 0000059 D n . 解：按第一列展开，得 21 209 nnn DDD. 标准实用 文案大全 即 0209 21nnn

16、DDD 作特征方程 0209 2 xx. 解得 5,4 21 xx. 则 11 54 nn n BAD . 当 1n 时， BA9 ； 当 2n 时， BA5461 . 解得 25,16 BA， 所以 11 45 nn n D. 3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法 拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和， 然后再求行列式的值拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可 直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变， 使其化为两项和 3.1.2 例题解析

17、 例 11 计算行列式 n nn n a aa a aa aa 11000 1000 00110 0011 0001 D 1 3 32 21 . 解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得 标准实用 文案大全 n nn n a aa a aa aa 110000 10000 001100 00101 0001 D 1 3 32 21 . 11000 1000 00110 0010 000 11000 1000 00110 0011 0001 1 3 32 21 1 3 32 2 n nn n nn a aa a aa aa a aa a aa a 上面第一个行列式的值为1，所以 n nn n

18、a aa a aa a 1100 100 001 001 1D 1 3 32 1 111nDa. 这个式子在对于任何2nn都成立，因此有 11 1 nn DaD n n n aaaaaaDaa 21 1 211221 1111 i j j i i a 1 n 1 11. 标准实用 文案大全 3.2 构造法 3.2.1 概念及计算方法 有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原 行列式的值 3.2.2 例题解析 例 12 求行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111

19、 . 解：虽然 n D不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1n阶的范德蒙德行列式来间接求出 n D的 值 构造1n阶的范德蒙德行列式，得 nn n nn nn n nn nn n nn n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xf 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 . 将xf按第1n列展开，得 n nn n nnnn xAxAxAAxf 1, 1 1 1,1, 21,1 ， 其中， 1n x 的系数为 nn nn nn DDA 1 1, 1. 又根据范德蒙德行列式的结果知 nij jin xxxxxxxxxf 1 21 . 由上式

20、可求得 1n x的系数为 标准实用 文案大全 nij jin xxxxx 1 21 . 故有 nij jinn xxxxxD 1 21 . 3.3 特征值法 3.3.1 概念及计算方法 设 n ， 21 是n级矩阵 A的全部特征值，则有公式 n A 21 . 故只要能求出矩阵 A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式 3.3.2 例题解析 例 13 若 n ， 21 是n级矩阵A的全部特征值， 证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为 零 证明：因为 n A 21 ，则 A可逆ni in 2, 1000A 21 . 即 A可逆当且仅当它的特征值全不为零 4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法

21、4.1 三角形行列式 4.1.1 概念 形如 nn n n n a aa aaa aaaa 333 22322 1131211 ， nnnnn aaaa aaa aa a 321 333231 2221 11 这样的行列式，形状像个三角形， 故称为“三角形”行列式 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知， 标准实用 文案大全 nn nn n n n aaa a aa aaa aaaa 2211333 22322 1131211 000 00 0 , nn nnnnn aaa aaaa aaa aa a 2211 321 333231 2221 11 0 00 000 . 4.2 “爪”字型行

22、列式 4.2.1 概念 形如 nn n ac ac ac bbba 22 11 210 ， nn n ca ca ca abbb 22 11 012 ， n nn bbba ac ac ac 210 11 22 ， 012 11 22 abbb ca ca ca n nn 这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式 4.2.2 计算方法 利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式此 方法可归纳为： “爪”字对角消竖横 4.2.3 例题解析 例 14 计算行列式 n a a a a 1 1 1 111 3 2 1 ，其中., 2, 1, 0nia

23、i 分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.), 3,2(nii列元素乘以 i a 1 后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式 标准实用 文案大全 解: n a a a a 1 1 1 111 3 2 1 n n i i a a a a a 0 0 0 111 1 3 2 2 1 n i i n a aaaa 2 132 1 . 4.3 “么”字型行列式 4.3.1 概念 形如 n nn bbba ac ac ac 210 11 22 ， nn n ab c ab cab ca 22 211 10 ， nn n ca ca ca abbb 22 11 012 ， 01

24、 112 22 ac bac ba c ba n nn ， 10 211 22 ca cab ab c ab n nn ， nn n ac ac ac bbba 22 11 210 ， 012 11 22 abbb ca ca ca n nn ， nn n ba bc ba bac ac 1 22 112 01 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常 称它们为“么”字型行列式 4.3.2 计算方法 利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式此方法可以归 纳为：“么”字两撇相互消 注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用 n a消去 n c，然后再用 1n a

25、消 去 1n c，依次类推 4.3.3 例题解析 标准实用 文案大全 例 15 计算1n阶行列式 n n n b b b D 1 11 11 11 1 1 1 . 解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得 n nn n i i n i i n b bb b b D 1 1 1 1 1 1 1 1 n i i n nn b 1 2 1 111 n i i nn b 1 2 3 11 . 4.4 “两线”型行列式 4.4.1 概念 形如 nn n ab b ba ba 00 000 00 00 1 22 11 这样的行列式叫做“两线型”行列式 4.4.2 计算方法 对于这样的行列式，

26、可通过直接展开法求解 4.4.3 例题解析 例 16 求行列式 nn n n ab b ba ba 00 000 00 00 D 1 22 11 . 解：按第一列展开，得 标准实用 文案大全 1 22 1 1 1 22 11 00 0 00 1 00 00 0 n n n n n n b ba b b a b ba aD n n n bbbaaa 21 1 21 1. 4.5 “三对角”型行列式 4.5.1 概念 形如 ba abba abba abba abba 100000 00000 00010 00001 00000 这样的行列式，叫做“三对角型”行 列式 4.5.2 计算方法 对于这

27、样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学 归纳法证明 4.5.3 例题解析 例 17 求行列式 ba abba abba abba abba n 100000 00000 00010 00001 00000 D . 解：按第一列展开，得 ba abba ba abba abba ab Dba nn 10000 0000 0010 0001 00000 D 121nn abDDba. 变形，得 211DnnnnaDDbaD. 标准实用 文案大全 由于 22 21 ,babaDbaD， 从而利用上述递推公式得 211DnnnnaDDbaD nn nnbaDDbaDD

28、b12 2 32 2 . 故 nnnnnn n n nn babbaDabbaDabaDD 122 1 11 21 nnnn babbaa 11 . 4.6 Vandermonde行列式 4.6.1 概念 形如 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n aaaa aaaa aaaa 这样的行列式，成为n级的范德蒙德行列式 4.6.2 计算方法 通过数学归纳法证明，可得 11 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 ij ji n n nnn n n aa aaaa aaaa aaaa . 4.6.3 例题解析 例

29、 18 求行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 . 解：虽然 n D不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1n阶的范德蒙德行列式来间接求出 n D的 值 构造 1n 阶的范德蒙德行列式，得 标准实用 文案大全 nn n nn nn n nn nn n nn n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xf 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 . 将xf按第 1n 列展开，得 n nn n nnnn xAxAxAAxf 1, 1 1 1,1

30、, 21, 1 ， 其中， 1n x的系数为 nn nn nn DDA 1 1, 1. 又根据范德蒙德行列式的结果知 nij jin xxxxxxxxxf 1 21 . 由上式可求得 1n x的系数为 nij jin xxxxx 1 21 , 故有 nij jinn xxxxxD 1 21 . 5、行列式的计算方法的综合运用 有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简 便易行下面就列举几种行列式计算方法的综合应用 5.1 降阶法和递推法 例 19 计算行列式 21000 12000 00210 00121 00012 D n . 分析：乍一看该行列式，并没有

31、什么规律但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1n 标准实用 文案大全 阶的形式 解：将行列式按第一行展开，得 21 2D nnn DD. 即 211 D nnnn DDD. 123 12211 DDDDDD nnnn . 11 1111 nnnn DDD 121nn. 5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例 20 计算行列式 4 3 4 2 3 3 3 2 2 3 2 2 1 3 1 2 4 2 4 3 2 3 2 2 21 2 1 4321 sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin sin1sin1sin1sin1 1111

32、D解：从第 一行开始，依次用上一行的1倍加到下一行，进行逐行相加，得 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4321 sinsinsinsin sinsinsinsin sinsinsinsin 1111 D. 再由范德蒙德行列式，得 41 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4321 sinsin sinsinsinsin sinsinsinsin sinsinsinsin 1111 ij ji D . 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 标准实用 文案大全 例 21 求行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xx

33、x xxx D 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 . 解：虽然 n D不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1n阶的范德蒙德行列式来间接求出 n D的 值 构造 1n 阶的范德蒙德行列式，得 nn n nn nn n nn nn n nn n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xf 21 111 2 1 1 222 2 2 1 222 2 2 1 21 1111 . 将xf按第1n列展开，得 n nn n nnnn xAxAxAAxf 1, 1 1 1,1, 21,1 ， 其中， 1n x的系数为 nn nn nn DDA 1 1, 1. 又根据范德蒙德行列式的结果知 nij jin xxxxxxxxxf 1 21 . 由上式可求得 1n x的系数为 nij jin xxxxx 1 21 . 故有： nij jinn xxxxxD 1 21 .