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1、标准文档 实用文案 裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能 前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前 后等式两边保持相等。 （1）若是 an等差数列，则) 11 .( 11 11nnnn aadaa ,) 11 .( 2 11 22nnnn aadaa （2） 1 11 1 1 nnnn）（ （3）) 11 ( 1 )( 1 knnkknn （4）) 12 1 12 1 ( 2 1 12) 12 1 nnnn）（ （5） )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn （6） nn
2、nn 1 1 1 （7）)( 11 nkn kknn 1.已知数列的前 n 项和为， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 n 项和为 解析 (1) 时 , 得 : 标准文档 实用文案 即3分 在 中令, 有, 即，5分 故对 2.已知 an是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为 Sn，S4=2S2+8 （）求公差d的值； （） 若 a1=1， 设 Tn是数列 的前 n项和，求使不等式Tn 对所有的 nN* 恒成立的最大正整数m 的值； 解析 （）设数列an的公差为d， S4=2S 2+8，即 4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得： 4d=8， 解得 d=24分 （）由a1
3、=1，d=2，得 an=2n-1， 5 分 =6分 Tn= = = ，8分 又不等式 Tn 对所有的n N*恒成立， 标准文档 实用文案 ，10分 化简得： m2-5m-60 ，解得： -1 m 6 m 的最大正整数值为612分 3.)已知各项均不相同的等差数列an的前四项和S4=14,且 a1,a3,a7成等比数列 . ()求数列 an的通项公式 ; ()设 Tn为数列 的前 n 项和 ,求 T2 012的值 . 答案 ()设公差为d,由已知得(3 分) 解得 d=1 或 d=0(舍去 ), a1=2. (5 分 ) 故 an=n+1. (6 分) ()=-,(8 分) Tn= - + -
4、+ -= -=. (10 分) T2 012= . (12 分) 4.)已知数列 an是等差数列 ,-=8n+4,设数列 |an|的前 n项和为 Sn,数列的前 n项和为 Tn. (1)求数列 an的通项公式 ; (2)求证 : Tn0, 故 q= . 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1, 所以 a1= . 故数列 an的通项公式为 an=. () bn=log3a1+log3a2+ +log3an =-(1+2+ +n) =-, 故=-=-2, 标准文档 实用文案 +=-2+=-. 所以数列的前 n项和为 -. 13.等差数列 an的各项均为正数,a1=3,其前 n项和为 Sn
5、,bn为等比数列 ,b1=1,且 b2S2=16,b3S3=60. ()求 an和 bn; ()求+. 答案 ()设 an的公差为d,且 d为正数 ,bn的公比为q, an=3+(n-1)d,bn=q n-1, 依题意有b2S2=q (6+d)=16, b3S3=q 2 (9+3d)=60,(2 分 ) 解得 d=2,q=2.(4 分) 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分) ()Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8 分) 所以+ =+ =(10 分 ) = = -.(12 分) 14.设数列 an的前 n项和 Sn满足 :Sn=nan-2n(n-1).
6、 等比数列 bn的前 n项和为 Tn,公比为 a1,且 T5=T3+2b5. 标准文档 实用文案 (1)求数列 an的通项公式 ; (2)设数列的前 n 项和为 Mn,求证 : Mn . 答案 (1)T5=T3+2b5,b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又 b4 0, a1=1. n2 时 ,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 即(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1). n-11, an-an-1=4(n 2), 数列 an是以 1 为首项 ,4 为公差的等差数列 , an=4n-3. (6 分) (2)证明 := ,(8 分 ) Mn= + = = ,(10 分) 又易知 Mn单调递增 ,故 MnM 1= . 综上所述 , M n . (12 分 )