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1、实用文档 文案大全 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些 东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属 于。 （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 （3）元素的无序性 : 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 （2）集
2、合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c b、描述法： 区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 xR| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn图: 画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作： N
3、正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 6、集合间的基本关系 （1）. “包含”关系（ 1）子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含 关系，称集合 A是集合 B的子集。记作：BA（或B ） 注意：BA有两种可能（ 1）A是 B的一部分； （2）A与 B是同一集合。 实用文档 文案大全 反之: 集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 A B或 BA （2）. “包含”关系（ 2）真子集 如果集合BA ，但存在元素 xB且 xA，则集合 A是集合 B的真子集 如果 A B,且 A B 那就说集合 A是集合 B的真子集，
4、记作AB(或 BA)读作 A真含 与 B （3）“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等” 如果 A B 同时 BA 那么 A=B （4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 （5）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。A A 如果 AB, BC , 那么 AC 如果 AB且 BC，那么 AC 有 n 个元素的集合，含有2 n 个子集， 2 n-1 个真子集 7、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义 由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集记作 AB （读作A交 B）， 即 AB=x|xA，且 xB
5、 由所有属于集合A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做A,B 的并 集记作： AB（读作 A 并 B），即AB =x|xA，或 xB) 全集：一般，若一个集合汉语我们 所研究问题中这几道的所有元素， 我们就称这个集合为全集，记作：U 设 S是一个集合，A是 S的一个子集， 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或 余集）记作ACS， CSA=,|AxSxx且 韦恩图示 AB 图 1 A B 图 2 性质A A=A A = A B=B A A BA A B B A U A=A A U =A A U B=B U A A U B A U BB (CuA
6、)(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(AB) AU(CuA)=U A(CuA)= S A 实用文档 文案大全 二、函数的概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使 对于集合 A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x) 和它对 应，那么就称f ：AB为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA （1）其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A叫做函数的定义域； （2）与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫 做函数的值域 2函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3函数的表
7、示方法：（1）解析法：明确函数的定义域 （2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可 以是连续的曲线、直线、折线、离散的点 等等。 （3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定 义域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标， 函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过 来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)， 均在 C上 . (2) 画法 A、描点法： B 、图象变换法：平移变换；伸缩变换
8、；对称变换，即平 移。 （3）函数图像平移变换的特点： 1）加左减右只对x 2）上减下加只对y 3 ）函数 y=f(x) 关于 X轴对称得函数y=-f(x) 4）函数 y=f(x) 关于 Y轴对称得函数y=f(-x) 5）函数 y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x) 6）函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到x 轴上面去， x 轴上面图像不动得 函数 y=| f(x)| 7）函数 y=f(x) 先作 x0 的图像，然后作关于y 轴对称的图像得函数 f(|x|) 三、函数的基本性质 1、函数解析式子的求法 （1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系 实用文
9、档 文案大全 时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法： 2）待定系数法： 3）换元法： 4) 拼凑法： 2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域 是使各部分都有意义的x的值组成的集合 . (6) 指数为零底不可以等于零， (7) 实际问题中的函数
10、的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法：表达式相同 （与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致 ( 两点必须同时具备) 4、区间的概念： （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5、值域（先考虑其定义域） （1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把Y 关于 X的函数关系式化成X 关于 Y 的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。 (3) 配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的 值域，注意定义域的范围。 (4) 代换法（换元法）：作变量代换，针对根
11、式的题型，转化成二次函数的 类型。 6. 分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 （2）各部分的自变量的取值情况 （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 7映射 一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使 实用文档 文案大全 对于集合 A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f ：AB为从集合 A到集合 B的一个映射。 记作“f（对应关系） ： A（原象）B（象）” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1) 集合A中的每一
12、个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3) 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。 所以函数是映射，而映射不一定的函数 8、函数的单调性 ( 局部性质 ) 及最值 （1）、增减函数 （1）设函数 y=f(x) 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D内的 任意两个自变量x1，x2，当 x11，且nN * 当 n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。 此时， a 的 n 次方根用符号表示。 当 n 为偶数时，正
13、数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的 n 次方根用符号表示，负的n 的次方根用符号表示。正的n 次 方根与负的 n 次方根可以合并成（a0）。 注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00 n 。 当n是奇数时，aa nn ，当n是偶数时， )0( )0( | a a a a aa nn 式子 n a叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数。 3、分数指数幂 正数的分数指数幂的 )1,0( * nNnmaaa nm n m ，)1, 0( 11* nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义 实用
14、文档 文案大全 4、有理数指数米的运算性质 （1） r a srr aa ),0(Rsra； （2） rssr aa )( ),0(Rsra； （3） srr aaab)( ),0(Rsra 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂a a（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数 幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念： 一般地，函数 )1,0(aaay x 且叫做指数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？ 2、指数函数的图象和性质 a1 01 时，若 X11 0a
15、1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 0 1 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 0 1 1 定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R上递增在 R上递减 函数图象都过定点 （1， 0）函数图象都过定点（1，0） 三、幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数特别地，
16、 当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸； （3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右 实用文档 文案大全 边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图 象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 第三章函数的应用 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交 点的横坐标。 即：方程有实数根， 函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点 3、函数零点的求法： （1）（代数法）求方程的实数根； （2） （几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： （1） 0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函 数有两个零点 （2） 0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交 点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 （3） 0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点